Condensateur

Corrections des exercices sur les Condensateurs
Exercice - 1 – Energie 1
Un condensateur de capacité C, initialement chargé sous une tension V est
rapidement connecté à un autre condensateur de capacité C’, initialement déchargé,
par l’intermédiaire d’un circuit électrique de résistance R.
R
C
C’
Figure – Décharge d’un condensateur dans un autre
La décharge de C et la charge de C’, en série, se fait avec la constante de temps
CC'
  RC eqv  R
.
C  C'
On demande d’établir le bilan des énergies libres du système, de calculer l’énergie
perdue et de comparer cette énergie à celle consommée par effet Joule dans R.
1
L’énergie libre électrostatique initiale du système est Wes1  CV 2 .
2
L’énergie finale, une fois le régime transitoire terminé, s’écrit en fonction de C, C’
et de la tension commune aux bornes des deux condensateurs U est obtenue par.
1
Wes 2  (C  C' )U2
2
Afin de connaître cette tension U, on introduit la conservation de la charge
électrique lors du transfert d’énergie. En effet, le système est isolé de l’extérieur et la
charge électrique, quantité matérielle, n’a pu que se conserver. Initialement, la
charge du système est Q ; puis cette charge se répartit en q et q’ telles que :
Q  CV  q  q'  (C  C' )U
C
U
V
C  C'
Wes 2 
1
C2 V 2
1 C2
(C  C' )

V2
2
2
2 C  C'
(C  C' )
La variation d’énergie stockée dans le système des deux condensateurs est :
1 CC'
V2
2 C  C'
C’est une diminution. L’énergie perdue est cédée au milieu extérieur au système
par transfert thermique, dans la résistance R. La puissance de ce transfert est
Wes 2  Wes1  
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1
d’autant plus grande que le temps de décharge est petit, donc que la résistance R
est plus faible.
Pour le vérifier, on calcule l’énergie dissipée par effet Joule. Soit i, le courant
instantané dans le circuit.
La forme de ce courant est exponentielle. Sa valeur initiale est
V
, car à cet
R
instant, le condensateur de capacité C’ est sous tension nulle. La constante de
temps est .
V
t
i  exp(  )
R

L’énergie perdue par effet Joule est donnée par



2

W Joule  Ri dt  R
0
0
V2
R2
exp( 2t / )dt  
1 V2

2 R
1 2 CC'
V
2
C  C'
La puissance moyenne lors de la transformation du système, si l’on suppose que
le processus est pratiquement terminé au bout de 5, est donnée par :
W Joule 
p moy 
1 V2 
1 V2

2 R 5 10 R
Si l’on fait R voisin de 0, le processus est violent. La puissance thermique
transférée conduit à un important échauffement, même si la quantité d’énergie cédée
est indépendante de R.
L’association de ces deux sources de tension, les condensateurs, n’est pas
recommandée. En électronique de puissance, si la résistance R est celle d’un
interrupteur passant, donc de faible valeur, ce branchement conduit à la destruction
thermique du composant. Il est donc interdit.
Exercice 2 – Atténuateur à circuits RC traité par impédance opérationnelle
Pour des rappels sur « impédance opérationnelle » Cliquer sur Ressources
Soit le problème suivant : On reconnaît un pont diviseur de tension. Sans les
ER 2
condensateurs, u 
.En régime transitoire, les capacités parasites vont
R1  R 2
ralentir la réponse par rapport au cas du régime continu. On ajoute pour cela des
condensateurs, pour retrouver dans l’idéal la relation précédente.
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2
1
C2p
I
E E
p
E
(p)
R1
U(p)
1
C1 p
R2
a) Exprimer la sortie U(p) et la réponse u(t)
C1 R 2  R1
1
1  R1C1p
R2
E R2
1 C1  C 2 R 2
U
E
( 
R 2R1
R 2  R1
p R 2  R1
R 2  R1 p
1
(C1  C 2 )
p
R 2  R1
R 2R1(C 2  C1)
u(t )  E
R2
C1 R 2  R1
(R 2  R1)t
[1  (
 1) exp( 
)]
R 2  R1
C2  C1 R 2
R 2R1(C2  C1)
b) Montrer que si R1C1  R2C2 , l’atténuateur est compensé en temps u 
C1 R 2  R 1
1  0
C 2  C1 R 2
ER 2
compensé et u 
.
R1  R 2
Si
ER 2
R1  R 2
soit R1C1  R2C2 , l’atténuateur est parfaitement
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