Exercice (exercice de construction)

Exercice (exercice de construction)
1) Sur une feuille blanche, construire un triangle ABC de dimensions : AB=19 cm, AC=17 cm,
BC=13 cm.
2) Construire ∆1 et ∆2 , les bissectrices des angles ABC et BAC : on appelle I leur point
d’intersection. Tracer C1, le cercle inscrit au triangle ABC.
3) ∆1 coupe C1 en deux points : on appelle B1 celui des deux qui est plus proche de B. Tracer la
tangente à C1 en B1 : elle coupe [BC] en B2 et [BA] en B3.
4) Tracer C2, le cercle inscrit dans le triangle BB2B3 (l’une des bissectrices est déjà tracée !).
5) Construire de même les deux cercles « coincés » entre les sommets A et C et le cercle C1.
Exercice (exercice de réflexion)
Soit un trapèze ABCD. Les bissectrices des angles BAD et ADC se coupent en K.
1) Démontrer que le point K est équidistant des côtés [AB] et [DC] du trapèze.
2) Les bissectrices des angles ABC et BCD se coupent en L. Que peut-on dire du point L par
rapport aux côtés [AB] et [DC] (justifier) ?
3) Quel est l’ensemble des points équidistants des deux droites (AB) et (DC) (sans justifier) ?
Exercice
Tracer un triangle ABC quelconque, puis tracer successivement (en utilisant que deux droites
remarquables sur trois pour chaque point afin de ne pas surcharger la figure) :
* Son centre de gravité
* Son orthocentre
* Le centre de son cercle circonscrit
Quelle remarque particulière peut-on faire concernant ces trois points ?
Exercice
Tracer un triangle ABC rectangle en A ; on appelle I le milieu de [AC] : tracer la médiatrice
(d) du côté [AC] .
1) Démontrer que (d) coupe [BC] en son milieu J (penser à un chapitre du début de
l’année).
2) Démontrer que la médiatrice (d’) de [BC] coupe (d) en J (il suffit de montrer que J
est sur chacune des droites).
3) En déduire où est le centre du cercle circonscrit à ABC et tracer ce cercle.
4) Recopier et compléter le théorème suivant (que nous venons de démontrer) :
« Dans un triangle ................., le centre du ................................ est le ................ de
l’hypoténuse ».
Exercice
1) Tracer un triangle ABC n’ayant pas d’angle obtus. Tracer son cercle orthocentre et son
centre de gravité.
2) Tracer un triangle IJK ayant un angle obtus. Tracer son orthocentre et son centre de
gravité.
3) Tracer un triangle RST rectangle en R, dont l’hypoténuse mesure 7 cm.
a) Où se trouve l’orthocentre de ce triangle ?
b) Tracer le cercle circonscrit à RST. Où se trouve son centre ?

Tracer la médiane issue de R. Expliquer pourquoi elle mesure forcément 3,5 cm.
Exercice
Soit un triangle ABC.
(AD) est le hauteur issue de A, E est un point de la droite
(AD).
La parallèle à (AB) passant par E coupe (BC) en F.
La perpendiculaire à (EC) passant par F coupe (AD) en H.
Le but de l'exercice est de démontrer que (BH) est
perpendiculaire à (AC). Pour cela, suivre les consignes :
1) Démontrer que H est l'orthocentre du triangle FEC.
2) Démontrer que (CH) est perpendiculaire à (AB).
3) Démontrer que (BH) est perpendiculaire à (AC).
Exercice
Soit ABC un triangle ayant trois angles aigus, et O le centre de son cercle circonscrit.
1) Démontrer que
Bˆ O A
= 180°-2
Bˆ A O
et que
Cˆ O A
= 180°-2
Oˆ A C
.
2) On remarque que
Bˆ O C
+
Bˆ O A
+
Cˆ O A
=360°. En utilisant cette remarque et la question
précédente, démontrer que la mesure de
Bˆ O C
est double de celle de
Bˆ A C
. Vérifier ensuite
au rapporteur.
3) Sans démonstration, peut-on donner dans le triangle deux autres relations semblables ?
Exercice
Soit ABC un triangle non rectangle, et O le centre du cercle C circonscrit au triangle ABC.
On appelle H l'orthocentre de ABC et M le milieu de [BC]. Enfin, D est le point
diamétralement opposé à A sur le cercle C .
1) Faire une figure.
2) On admettra que les triangles ABD et ACD sont rectangles respectivement en B et C.
Démontrer que le quadrilatère BHCD est un parallélogramme.
3) Démontrer que D est le symétrique de H par rapport à M.
4) Vérifier sur la figure que les symétriques D' et D" de H par rapport aux milieux de [AB] et
[AC] sont sur le cercle C .
Exercice1
Construire le triangle ABC dont les droites (d1),
(d2) et (d3) sont les hauteurs.
Exercice2
(d1) et (d2) sont les 2 médianes d'un triangle DEF.
Construire le point F.

Exercice3
ABCD est un parallélogramme de centre O. On
appelle I et J les milieux respectifs de [AD] et [CD].
a. Faire une figure soignée.
b. Démontrer que les droites (AJ), (CI) et (BD)
sont concourantes.
On appelle G ce point de concours.
c. En supposant que la diagonale [BD] mesure 54
cm de long, calculer la distance OG.
Exercice 2 (exercice de construction)
1) Construire un triangle ABC de dimensions AB = 10 cm, AB = 11cm et AC = 6 cm. Construire les milieux
A', B' et C' des segments respectifs [BC], [AC] et [AB].
2) Tracer les 3 hauteurs de ABC issues de A, B et C dont les pieds respectifs seront appelés D, E et F
3) Construire le cercle (C) circonscrit au triangle A'B'C' : effacer ensuite les traits de construction, excepté le
centre P de ce cercle. Ce cercle passe par 3 points appartenant aux côtés du triangle ABC, différents de A', B' et
C' : que constate-on ?
4) La droite (AD) recoupe (C) en I, la droite (BE) recoupe (C) en J, et la droite (CF) recoupe (C) en K. Que
peut-on dire des points I, J et K pour les segments [AH], [BH] ET [CH] ?
5) Sans laisser les trais de constructions, construire O, le centre du cercle circonscrit au triangle ABC : tracer
ensuite le segment [OH] : que constate-on ?
6) Le cercle (C) est appelé le cercle d'Euler du triangle ABC. On l'appelle aussi le cercle des 9 points : quels
sont ces 9 points dans cet exercice ?
Exercice 3

ABC est un triangle, O le centre du cercle circonscrit,
H son orthocentre. M est le milieu de [BC].
On rappelle un résultat démontré dans le DM
précédent : le point D, symétrique de H par rapport à
M, est un point du cercle circonscrit à ABC. De plus,
les points A et D sont diamétralement opposés sur ce
cercle.
1) Coder la figure ci-contre comme il convient, en
fonction des hypothèses.
2) Soit G, le centre de gravité du triangle ADH :
démontrer que G appartient à [OH] et à [AM].
3) Quelle est la position de G sur le segment [AM] ?
Que peut-on en déduire pour G par rapport au triangle
ABC (expliquer) ?
4) Quelle est la position de G sur le segment [OH] ?
5) Recopier et compléter : "Dans un triangle (non
équilatéral), le centre O du cercle circonscrit au
triangle, le centre de gravité G et l'orthocentre H sont
.......... et OG = .....OH."
H
O
D
A
B C
M