RELATIONS DANS LE TRIANGLE RECTANGLE

2 BEP date :
Ph. Georges Maths 1/5
c
b
a
C
B
A
R
Q
P
RELATIONS dans le TRIANGLE RECTANGLE
I- Tour de Pise
II- Relation de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est
égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
AC2 = AB2 + BC2 ou a2 = c2 + b2
Calcul de la longueur inconnue d'un côté
a) Dans un triangle rectangle en B on connaît : AB = 5,7 cm et BC = 3,2 cm
AB2 + BC2 = AC2 soit AC2 = 5,72 + 3,22 AC = 42 73 AC 6,5 cm
b) Dans un triangle rectangle PQR, on a :
PR = 5,1 m et PQ = 6,3 m.
PR2 + QR2 = PQ2 soit QR2 = PQ2 – PR2
ce qui donne : QR2 = 6,32 – 5,12
QR = 13 68 QR
3,7 m
III- Réciproque du théorème de Pythagore
Si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres
côtés, alors le triangle est rectangle.
Exemple :
Le triangle ABC dont les mesures sont, AB = 5,1 , AC = 6,8 et BC = 8,5, est-il rectangle ?
BC2 = 8,52 = 72,25 AB2 + AC2 = 5,12 + 6,82 = 72,25
Le triangle ABC est rectangle en A.
IV- Cercle circonscrit
Le cercle qui passe par les trois sommets d'un triangle est le cercle circonscrit au triangle.
Dans un triangle, les trois médiatrices se coupent en un même point qui est le centre du cercle
circonscrit au triangle.
Théorème du cercle
Si [AB] est un diamètre du cercle et si M est un point du cercle, alors [AM] est perpendiculaire
à [BM]. ;AMB = 90°
ou : Tout triangle inscrit dans un cercle, dont un côté est un diamètre du cercle, est un triangle
rectangle.

Ph. Georges Maths 2/5
C
B
A
côté adjacent
côté opposé
on considère cet
angle
c
b
a
C
B
A
V- Médiane d'un triangle - Centre de gravité
La médiane est la droite qui joint un sommet au milieu du côté opposé.
Les trois médianes d'un triangle se coupent en un même point appelé centre de gravité du triangle.
Bricolage
Construire un triangle dans du carton (pensez au cercle circonscrit).
Planter un clou à l'horizontale dans le centre de graviter du triangle.
Placer le triangle dans des différentes positions en le faisant tourner autour de l'axe.
Qu'observez vous ?
VI- Médiatrice d'un segment
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment et qui passe par son milieu.
Tout point d'une médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment.
Construction d'une médiatrice
- tracer un segment [AB] ;
- tracer un arc de cercle de centre A et de rayon supérieur à la demi-longueur du segment ;
- tracer un arc de cercle de centre B et de même rayon ;
- joindre les points d'intersection des deux arcs de cercle.
VI- Relations trigonométriques
Le triangle ABC est rectangle en B.
On considère l'angle aigu ;A
cos ;A =
Error!
Error!
sin ;A =
Error!
Error!
tan ;A =
Error!
Error!
Moyen mnémotechnique : SohCahToa ou cos ;A =
Error!
sin
Error!
=
Error!
tan
Error!
=
Error!
1- Propriétés
a) Relation fondamentale de la trigonométrie – Relation entre sinus et cosinus
sin2 ;A + cos2 ;A =
2
2
2
22
22
AC
AC
AC
ABBC
AC
AB
AC
BC 
et d'après le théorème de Pythagore : AC2 = BC2 + AB2
On obtient : sin2 ;A + cos2 ;A = 1
La somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle est égale à 1.
b) On peut écrire :
Error!
=
Error!
Error!
=
Error!
d'où : tan
Error!
=
Error!
pour cos
Error!
0
La tangente d'un angle est égale au rapport du sinus par le cosinus de l'angle.
c) Angles complémentaires

2 BEP date :
Ph. Georges Maths 3/5
Dans le triangle ABC, on remarque que :
cos ;A =
Error!
et sin
Error!
=
Error!
donc cos ;A = sin ;C
de même : sin ;A =
Error!
et cos
Error!
=
Error!
donc sin
;A = cos ;C
Or ;A + ;C = 90° signifie que les deux angles sont complémentaires.
Le sinus et le cosinus de deux angles complémentaires sont égaux.
Si  +  = 90° alors sin  = cos  et cos  = sin .
2- Mesure des angles
Le radian (rad) est l'unité légale du système international.
Le degré (°) est l'unité usuelle.
Les angles  remarquables sont les suivants :
 (°)
0
30
45
60
90
180
360
 (rad)
0
Error!
Error!
Error!
Error!
2 
On peut écrire une relation de proportionnalité entre les mesures en degrés et en radians.
Error!
=
Error!
3- Valeurs trigonométriques des angles remarquables À apprendre par cœur
On considère un angle  exprimé en radians.
 (rad)
0
Error!
Error!
Error!
Error!
 (°)
0
30
45
60
90
sin 
0
Error!
Error!
Error!
1
cos 
1
Error!
Error!
Error!
0
tan 
0
Error!
1
3
VIII- Relations métriques dans le triangle rectangle
1. Dans le triangle rectangle ABC : cos ;B =
Error!
Dans le triangle rectangle ABH : cos ;B =
Error!
En identifiant ces deux expressions :
Error!
=
Error!
x : mesure en degrés
y : mesure en radians
H
B
A
C
Error!
Error!
Error!
Error!
O
Error!
Error!
cos 
sin 

Ph. Georges Maths 4/5
d'où : AB 2 = BH BC
Dans un triangle rectangle, la mesure d'un côté de l'angle droit est moyenne proportionnelle entre la
mesure de l'hypoténuse et la mesure de sa projection orthogonale sur l'hypoténuse.
2. Dans le triangle rectangle ABH : tan ;B =
Error!
Dans le triangle rectangle ACH : tan ;CAH =
Error!
Les angles ;B et ;CAH sont égaux car ;B + ;BAH = 90°
et ;CAH + ;BAH = 90° soit ;B = ;CAH.
On peut donc écrire : tan ;B = tan ;CAH et
Error!
=
Error!
d'où : AH 2
= BH HC
Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur relative à l'hypoténuse est moyenne
proportionnelle entre les mesures des deux segments qu'elle détermine sur celle-ci.
3. Dans le triangle rectangle ABC : sin ;B =
Error!
Dans le triangle rectangle ABH : sin ;B =
Error!
soit
Error!
=
Error!
d'où AB AC = AH BC
Dans un triangle rectangle, le produit des mesures des côtés de l'angle droit est égal au produit de la
mesure de l'hypoténuse par la mesure de la hauteur relative à celle-ci.
IX- Utilisation des relations trigonométriques
1- Construction d'un angle
On utilise une fonction trigonométrique pour construire un angle avec une bonne précision.
Exemple : construction d'un angle de 36°
On utilise le cosinus. cos 36° 0,81 ou cos 36° 8
1;10
L'angle ;AOB a pour mesure 36°.
Programme de construction
- Placer un point O sur une droite ;
- Placer le point A sur la droite avec OA = 8,1 cm ;
- Tracer un arc de cercle de centre O et de rayon 10 cm ;
- Tracer la perpendiculaire à au point A.
- Placer le point B, intersection de la perpendiculaire et de l'arc de cercle.
2- Mesure d'un angle
H
B
A
C
H
B
A
C
B
A
O
10 cm
8,1 cm

2 BEP date :
Ph. Georges Maths 5/5
On utilise une fonction trigonométrique pour mesurer un angle avec une bonne précision.
Mesure d'un angle ;xOy donné
- Placer le point M sur Oy tel que OM = 10 cm ;
- Placer le point H projection orthogonale du point M sur Ox ;
- Mesurer la longueur OH.
- Calculer le rapport
Error!
=
Error!
= cos
Error!
- Déterminer la valeur de ;xOy
Dans l'exemple, on obtient cos ;xOy = 8
7;10 = 0,87
A l'aide de la calculatrice, on obtient ;xOy 29,5°
O
H x
M y
10
8,7