RELATIONS DANS LE TRIANGLE RECTANGLE

2 BEP
date :
RELATIONS dans le TRIANGLE RECTANGLE
I- Tour de Pise
II- Relation de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est
AC2 = AB2 + BC2
ou
C
b
égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
A
a2 = c2 + b2
a
c
B
Calcul de la longueur inconnue d'un côté
a) Dans un triangle rectangle en B on connaît : AB = 5,7 cm et BC = 3,2 cm
AB2 + BC2 = AC2 soit
AC2 = 5,72 + 3,22
AC =
42
AC  6,5 cm
73
P
b) Dans un triangle rectangle PQR, on a :
PR = 5,1 m et PQ = 6,3 m.
PR2 + QR2 = PQ2
soit
QR2 = PQ2 – PR2
R
ce qui donne : QR2 = 6,32 – 5,12
QR =
13
68
QR  3,7 m
Q
III- Réciproque du théorème de Pythagore
Si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres
côtés, alors le triangle est rectangle.
Exemple :
Le triangle ABC dont les mesures sont, AB = 5,1 , AC = 6,8 et BC = 8,5, est-il rectangle ?
BC2 = 8,52 = 72,25
AB2 + AC2 = 5,12 + 6,82 = 72,25
Le triangle ABC est rectangle en A.
IV- Cercle circonscrit
Le cercle qui passe par les trois sommets d'un triangle est le cercle circonscrit au triangle.
Dans un triangle, les trois médiatrices se coupent en un même point qui est le centre du cercle
circonscrit au triangle.
Théorème du cercle
Si [AB] est un diamètre du cercle et si M est un point du cercle, alors [AM] est perpendiculaire
à [BM].
;AMB = 90°
ou : Tout triangle inscrit dans un cercle, dont un côté est un diamètre du cercle, est un triangle
rectangle.
Ph. Georges
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V- Médiane d'un triangle - Centre de gravité
La médiane est la droite qui joint un sommet au milieu du côté opposé.
Les trois médianes d'un triangle se coupent en un même point appelé centre de gravité du triangle.
Bricolage
Construire un triangle dans du carton (pensez au cercle circonscrit).
Planter un clou à l'horizontale dans le centre de graviter du triangle.
Placer le triangle dans des différentes positions en le faisant tourner autour de l'axe.
Qu'observez vous ?
VI- Médiatrice d'un segment
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment et qui passe par son milieu.
Tout point d'une médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment.
Construction d'une médiatrice
- tracer un segment [AB] ;
- tracer un arc de cercle de centre A et de rayon supérieur à la demi-longueur du segment ;
- tracer un arc de cercle de centre B et de même rayon ;
- joindre les points d'intersection des deux arcs de cercle.
VI- Relations trigonométriques
C
Le triangle ABC est rectangle en B.
On considère l'angle aigu
on considère cet
angle
;A
cos ;A = Error!
Error!
sin ;A = Error!
Error!
tan ;A = Error!
Error!
Moyen mnémotechnique :
Error!
côté opposé
SohCahToa
B
côté adjacent
A
ou
cos ;A = Error!
sin Error! =
tan Error! = Error!
1- Propriétés
a) Relation fondamentale de la trigonométrie – Relation entre sinus et cosinus
2
sin
2
;A + cos
2
et d'après le théorème de Pythagore :
On obtient :
2
BC2  AB2 AC2
 BC   AB 

;A = 
 
 
AC2
AC2
 AC   AC 
AC2 = BC2 + AB2
sin2 ;A + cos2 ;A = 1
La somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle est égale à 1.
b) On peut écrire : Error! = Error!
Error! = Error!
d'où :
tan Error! =
pour cos Error!  0
Error!
La tangente d'un angle est égale au rapport du sinus par le cosinus de l'angle.
c) Angles complémentaires
C
b
Ph. Georges
Maths
A
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a
c
B
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date :
Dans le triangle ABC, on remarque que :
cos ;A = Error!
donc
cos
et sin Error! = Error!
;A = sin ;C
sin ;A = Error!
de même :
et cos Error! = Error!
donc
sin
;A = cos ;C
Or
;A + ;C = 90° signifie que les deux angles sont complémentaires.
Le sinus et le cosinus de deux angles complémentaires sont égaux.
Si  +  = 90° alors sin  = cos  et cos  = sin .
2- Mesure des angles
Le radian (rad) est l'unité légale du système international.
Le degré (°) est l'unité usuelle.
Les angles  remarquables sont les suivants :
 (°)
0
30
45
60
90
180
360
 (rad)
0
Error!
Error!
Error!
Error!

2
On peut écrire une relation de proportionnalité entre les mesures en degrés et en radians.
Error! = Error!
x : mesure en degrés
y : mesure en radians
3- Valeurs trigonométriques des angles remarquables
À apprendre par cœur
On considère un angle  exprimé en radians.
 (rad)
0
 (°)
0
sin 
0
Error! Error! Error!
1
cos 
1
Error! Error! Error!
0
tan 
0
Error!
Error! Error! Error! Error!
30
45
1
60
sin 
90
Error!
Error!
Error!
3

O
Error!
Error!
Error!
cos 
VIII- Relations métriques dans le triangle rectangle
1. Dans le triangle rectangle ABC :
cos ;B = Error!
B
H
Dans le triangle rectangle ABH : cos ;B = Error!
En identifiant ces deux expressions : Error! = Error!
Ph. Georges
Maths
A
C
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d'où :
AB 2 = BH  BC
Dans un triangle rectangle, la mesure d'un côté de l'angle droit est moyenne proportionnelle entre la
mesure de l'hypoténuse et la mesure de sa projection orthogonale sur l'hypoténuse.
2. Dans le triangle rectangle ABH :
tan ;B = Error!
;CAH = Error!
Dans le triangle rectangle ACH : tan
Les angles ;B et
et
;CAH sont égaux car
;CAH +
;BAH = 90°
B
;B +
soit ;B =
On peut donc écrire : tan ;B = tan
H
;BAH = 90°
;CAH.
A
et Error! = Error!
;CAH
d'où :
C
AH 2
= BH  HC
Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur relative à l'hypoténuse est moyenne
proportionnelle entre les mesures des deux segments qu'elle détermine sur celle-ci.
B
3. Dans le triangle rectangle ABC : sin ;B = Error!
H
Dans le triangle rectangle ABH : sin ;B = Error!
soit Error! = Error!
d'où
AB  AC = AH  BC
Dans un triangle rectangle, le produit des mesures des côtés de l'angle droit est égal au produit de la
C
A
mesure de l'hypoténuse par la mesure de la hauteur relative à celle-ci.
IX- Utilisation des relations trigonométriques
1- Construction d'un angle
On utilise une fonction trigonométrique pour construire un angle avec une bonne précision.
B
Exemple : construction d'un angle de 36°
On utilise le cosinus.
L'angle
cos 36°  0,81
10 cm
ou
cos 36° 
8
1;10
;AOB a pour mesure 36°.
A
O
8,1 cm
Programme de construction
- Placer un point O sur une droite  ;
- Placer le point A sur la droite  avec OA = 8,1 cm ;
- Tracer un arc de cercle de centre O et de rayon 10 cm ;
- Tracer la perpendiculaire à  au point A.
- Placer le point B, intersection de la perpendiculaire et de l'arc de cercle.
2- Mesure d'un angle
Ph. Georges
Maths
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On utilise une fonction trigonométrique pour mesurer un angle avec une bonne précision.
Mesure d'un angle
;xOy donné
- Placer le point M sur Oy tel que OM = 10 cm ;
M
y
H
x
- Placer le point H projection orthogonale du point M sur Ox ;
10
- Mesurer la longueur OH.
- Calculer le rapport Error! = Error! = cos Error!
- Déterminer la valeur de
Dans l'exemple, on obtient cos
;xOy
O
;xOy =
A l'aide de la calculatrice, on obtient
Ph. Georges
8,7
8
= 0,87
7;10
;xOy  29,5°
Maths
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