Leçon 22

Leçon 22
Vibrations transversales d'une corde : équation de propagation. Corde de
Melde : ondes stationnaires, résonance (PC).
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Bibliographie : distinguer la corde (ondes progressives) de la corde de Melde (ondes stationnaires, résonance).
 Tec & Doc Ondes : chapitre 4. Le mieux.
 Ellipses Ondes : dur deux chapitres. Bien aussi.
 Hachette Ondes : chapitre 2. Moyen mais bien pour les manips ; défaut : ne montre pas bien que les ondes
stationnaires sont dues aux conditions aux limites alors que TecDoc le fait.
 Dunod Méca des Fluides : chapitre 10. Moyen.
I. EQUATION DE D’ALEMBERT POUR UNE CORDE :
On prend comme modèle la corde en caoutchouc dirigée suivant Ox, & une perturbation transver-
sale (définir les ondes transversales & longitudinales) suivant Oy.
1. Les hypothèses du modèle : on suppose que :
 il n’y a pas de pertes d’énergie de l'onde dans le milieu ;
 le milieu est homogène & isotrope ;
 le milieu n’est pas dispersif ;
Il résulte de la première hypothèse qu’il n'y a pas amortissement de l'onde, & des autres que la vitesse de
propagation de l’onde
dt
dx
V
est une constante.
2. Etablissement de l'équation de propagation à une dimension pour une corde : bien préciser
les 3 hypothèses de calcul. On isole une tranche dx de corde, de masse linéique
cste dl
dm
, & on
appelle
tx,
l'angle entre la tangente à la corde & l'horizontale, supposé petit (hypothèse 1). La corde
est tendue avec la tension F appliquée à l’extrémité. On appelle
txT ,
la tension de la corde en un point
& à un instant quelconques. La vibration étant transversale, l’accélération est seulement suivant Oy (hy-
pothèse 2). La projection de la RFD donne alors (en négligeant la pesanteur, hypothèse 3, justifiée sur la
corde entière qui est soutenue, donc le poids est compensé par des réactions, mais moins net sur
l’élément) :
sur Oy :
txtxTtdxxtdxxT
t
y
dx ,sin.,,sin.,
2
2
sur Ox :
txtxTtdxxtdxxT ,cos.,,cos.,0 
. Au premier ordre : la norme de la tension
est une constante T = F, & un DL donne :
2
2
2
2.... x
y
dxF
x
dxF
t
y
dx 
, car
 x
y
tan
, d’où
l'équation de d'Alembert :
F
V
x
y
Vx
y avec 0, 12
2
22
2
.
3. Intégration de l'équation de propagation : par le changement de variable
VtxVtx ,
, l’équation d'onde devient
0
2
y
, dont la solution est :
)()(,  GFy
,
soit aussi :
VtxGVtxFtxy ,
.
4. Le théorème de Fourier : l’onde, phénomène périodique, peut être décomposée en série de Fou-
rier, ce qui revient à prendre des cosinus pour les fonctions F & G. L'argument des cosinus étant néces-

sairement sans dimension s'écrira : k. (x ± V. t). La double périodicité (en x & t) implique :
kV
&
VT
. Définir l'onde plane (purement sinusoïdale), & donc une onde quelconque est donc une super-
position d’ondes planes.
5. Généralisation : pour une onde se propageant suivant une direction quelconque, l'équation du
plan d'onde fournit l’expression de la phase, d’où on déduit la forme la plus générale d’une onde plane
en notations réelles :
rktFf o
.cos 
& en complexes :
rktjFff o
.expRe 
, où
uk  2
est appelé vecteur d'onde. Alors
j
t
,
kj
& la relation de dispersion
222 Vk
conduit à la forme la plus générale de l'équation d’onde, ou équation de d’Alembert. Interprétation :
l'équation d’onde étant en V2, ne distingue pas V & -V (onde incidente & onde réfléchie). Les deux
termes apparaissent toujours dans la solution mathématique, ce sont les conditions aux limites qui dé-
terminent le choix :
 milieu ouvert (infini) : pas de conditions aux limites, pas d’onde réfléchie, paramètres continus, onde
progressive (x & t dans le même cosinus).
 milieu fermé (fini) : conditions aux limites, onde réfléchie, paramètres discontinus, onde stationnaire
(x & t dans des cosinus différents).
II. CORDE DE MELDE :
Pour la corde en caoutchouc, on a deux types de conditions aux limites : une extrémité est nécessai-
rement tenue, l'autre est libre ou non. Montrer (manip) que l'onde réfléchie est de l'autre côté si la corde
est libre, & du même côté sinon. Comme on a en vue la corde de Melde, on suppose une corde fixée à
ses deux extrémités (malgré le vibreur), d’où les conditions aux limites : y (x = 0, t) = y (x = L, t) = 0,
t
. D’après ce qui précède, on a :
kxtYkxtYtxy oo  cos'cos,
.
1. Calcul de y(x, t) : on écrit les deux conditions aux limites :
 en x = 0 :
oooo YYtYtYtxy  '0cos'cos,0
(réflexion totale de l'onde) & on trans-
forme la différence de cosinus en produit :
kxtYtxy osinsin2, 
.
En x = L :
n
L
nkLkLtY no 2 0sinsin2 
quantification. D’où la solution :
 L
Vt
n
L
x
nYtxy non sinsin,
, ressemble à une série de Fourier. Dans le cas de l'acoustique,
l’ensemble des {Yon} constitue le timbre responsable de la richesse du son (violon par exemple), le dia-
pason ne fournissant que le fondamental, donc purement sinusoïdal.
2. Interprétation : les longueurs d'onde & les pulsations possibles sont :
n
L
n2
&
L
Vt
n
n
.
Si ces conditions sont vérifiées, on a la condition de résonance. Préciser que n = 1 correspond au fonda-
mental, n = 2 à l'harmonique 2, etc.. & montrer comment sortir les sons sur une corde de guitare par
exemple. Manip : montrer à l'aide du stroboscope que les ondes ne sont stationnaires que si la condition
de résonance est réalisée. Dans ce cas, on peut vérifier les relations précédentes, n étant donné par le
nombre de fuseaux.
Chaque terme de la série de Fourier correspond à un mode propre. Au sens des mathématiques, c'est
un vecteur propre, qui correspond donc à la résonance. Si on connaît bien le sujet, on peut faire
l’analogie avec la Mécanique Quantique (fonction d’onde, mesure). La notion de paquet d’onde corres-
pond à une variation continue, & la série de Fourier devient l'intégrale de Fourier.