les lois de newton

D1 – Des lois de Newton à la cinématique
L'idée est d'utiliser la simulation numérique pour étudier des situations d'application de la seconde loi de
Newton et introduire ainsi une description cinématique : connaissant la force qui s’exerce sur un objet (et la
masse de celui-ci), la deuxième loi de Newton permet de déterminer l'accélération (du centre d'inertie). Mais
connaissant l'accélération, il est possible de déterminer la nouvelle vitesse, et connaissant la vitesse, on peut
calculer la nouvelle position. Ce calcul peut être répété autant de fois que l'on veut, et c'est sur ce principe
que différents logiciels simulent des mouvements. On peut ainsi visualiser toutes les grandeurs cinématiques
avant d’en donner des définitions précises.
Par ailleurs, on évite de privilégier (implicitement) les situations « canoniques » trop particulières
(mouvements rectilignes, forces constantes, etc.). Le travail d'investigation porte donc d'emblée sur des cas
« complexes » (force électrostatique, par exemple1).
Les exemples donnés ici ont été réalisés avec Interactive Physique. D’autres logiciels utilisent également les
lois de Newton et permettent ce type de simulation.
Introduction : un logiciel qui applique la deuxième loi de Newton
Dans un premier temps, on introduit le logiciel de simulation qui sera exploité par la suite. Il convient, en
particulier, de préciser que le logiciel est fondé : 1) sur l'application des lois de la mécanique – calcul des
forces par application de lois comme celle de l'interaction électrostatique (loi de Coulomb), de l'attraction
universelle, de la force de rappel d'un ressort, etc., et 2) sur l'application des lois de Newton de la mécanique.
Cela suppose que le référentiel par défaut est galiléen et que, à chaque étape du calcul, l'accélération du
centre d'inertie est calculée par application de la deuxième loi de Newton.
1.1. Une situation simple
Il convient donc de montrer que le logiciel respecte bien ce qui est annoncé à propos de la deuxième loi de
Newton et qu’il ne contient pas les « trajectoires solutions » préprogrammées.
Il suffit pour cela de proposer une activité de construction d’une situation théorique où une partie des
paramètres ne sont pas précisés à l'avance : on s'intéresse par exemple à l'action électrostatique exercée par
une charge fixe sur une charge pouvant se déplacer, mais initialement immobile. On ne fixe aucun autre
paramètre (positions, charges, masses). L'important est de considérer une situation où la force n'est pas
constante. Le guide d'activité pourra alors être le suivant (avec IP) :
On veut réaliser un système-modèle de deux « objets » entre lesquels s'exerce une interaction
électrostatique uniquement. (Sélectionner « normal » dans le « monde électrostatique » et « aucune »
dans le « monde gravitation »).
Placer deux objets dans le plan, dont l'un sera fixé (y fixer une ancre). Choisir des valeurs pour la
charge de chacun d'eux.
On veut vérifier que la deuxième loi de Newton est bien appliquée à chaque « instant » : on choisit
donc de représenter les vecteurs force et accélération. (Il peut être nécessaire de « calibrer » les
longueurs des vecteurs en fonction des valeurs des grandeurs, en particulier en fonction de la charge.)
Exécuter la simulation : quelles observations faites-vous ? Comment peut-on vérifier que
l'accélération est bien proportionnelle à la force ? (Pour la majorité des élèves, la représentation des
flèches va suffire ; pour d'autres, il faudra représenter a en fonction de F.) Comment peut-on vérifier
que la constante de proportionnalité est bien la masse de l'objet ? (Pour cette question, il est
nécessaire de faire afficher les valeurs des grandeurs relatives à l'accélération et à la force :
commande « mesures ».)
1. La connaissance de l’expression de cette force n’est pas nécessaire dans cette activité, mais on pourra, si
on le juge utile, rappeler ce qui a été vu en classe de première. Les études présentées ici pourraient être
menées avec l’interaction gravitationnelle.
Exemple d'écran au cours d'une exécution2 (fichier Newton1.ip)
1.2. Une situation plus générale
L'étude peut alors être poursuivie en considérant le cas où le mobile a une vitesse initiale non nulle. Le guide
d'activité peut être du type :
Réinitialiser la simulation et attribuer une vitesse initiale quelconque au mobile. Lancer la simulation.
Quelles observations faites-vous ? L'accélération est-elle toujours proportionnelle à la force ? Dans
quelle partie de la trajectoire l'accélération est-elle quasiment perpendiculaire à la vitesse ? Comment
est-ce possible ?
(fichier Newton1.ip)
1.3. Comment le logiciel détermine-t-il vitesse et position au cours du temps ?
Il s'agit ici d’expliquer que le programme peut tracer une trajectoire sans avoir la « solution » analytique : il
calcule les positions successives en appliquant à chaque étape les définitions et lois de la mécanique.
Ainsi, à partir de la définition, en tant que dérivées, de la vitesse et de l’accélération, on peut écrire :
v i 1  v i  a i   t
xi 1  xi  v i   t .
Pour effectuer le calcul, on considère les égalités suivantes :
v i 1  v i  a i   t
xi 1  xi  v i   t .
La connaissance de la position initiale x0, de la vitesse initiale v0 et de l'accélération a0 est indispensable pour
démarrer le calcul que l’on commence à la date t1 :
v1  v 0  a 0   t
x1  x 0  v 0   t .
Les valeurs obtenues pour x1 et v1 permettent ensuite de calculer a1:
a 1  F( x1 ) / m ,
puis
v 2  v1  a 1   t
x 2  x1  v1   t
et ainsi de suite.
2. La désignation des vecteurs dans le logiciel Interactive Physique ne comporte pas de flèche au dessus-du
symbole.
Cette méthode est dite d'Euler : on peut montrer alors, dans le menu Monde/Précision la présence de cet
algorithme :
On pourra aussi faire remarquer à ce niveau que le cas F  0 entraîne a  0 : le mouvement est donc à
vitesse constante (conformément3 au principe d'inertie).
En fonction du temps dont on dispose, ou à
l'occasion d'une activité de type exercice, on
pourra attirer l'attention sur l'importance du
choix du pas de calcul t : l'étude du
mouvement d'un projectile vers un obstacle
peut illustrer le propos.
(fichier Newton2.ip)
De même, on pourra revenir sur le choix de la méthode et montrer que la sélection de "Précise" entraîne la
sélection d'une autre méthode d'intégration.
À ce niveau, il n'est pas utile d'insister d’avantage sur la méthode d'Euler. La question sera reprise en
troisième partie.
2. Testons notre compréhension et nos connaissances
L'activité va ensuite porter, à travers des questions de prévision des mouvements, sur la bonne
compréhension de la loi de Newton, et en particulier l'indépendance de la direction de la vitesse et de celle de
la force.
On considérera cette fois une force qui reste constante (et de direction quelconque, c'est-à-dire non verticale).
La situation est donc théorique et apparemment simple. Les questions de prédiction sont alors du type
suivant.
On considère le cas d'un objet soumis à une force constante4 :
3. L'expression « conformément à » indique qu'il s'agit à ce niveau non pas de l'application du principe
d'inertie, mais du fait que la deuxième loi de Newton est (évidemment) en cohérence avec la première loi.
4. Pour obtenir ce type de représentation avec IP, il faut définir la force comme un champ ; sinon, la
représentation est celle, inhabituelle, d'une flèche épaisse dirigée vers le centre d'inertie.
Premier cas : la vitesse initiale est nulle. Quelle va être la trajectoire de l'objet ? Comment celle-ci
sera-t-elle décrite au cours du temps ?
Deuxième cas : la vitesse initiale n'est pas nulle ; elle est de même direction et de même sens que F .
Quelle va être le mouvement de l'objet ? Même question dans le cas où la vitesse initiale a même
direction, mais sens contraire.
Troisième cas : la vitesse initiale n'est pas nulle et fait un angle quelconque avec F . Quelle va être la
trajectoire de l'objet ? Comment celle-ci sera-t-elle décrite au cours du temps ?
Les prévisions étant faites, les trajectoires dessinées sur le cahier de laboratoire, la simulation avec IP
permet de confronter les prévisions des élèves avec la réponse du modèle.
(Fichier Newton3.ip)
3. Des lois de Newton à la cinématique
Cette partie est spécifiquement consacrée à l'étude des « conséquences cinématiques » de la deuxième loi de
Newton. Avant de présenter une solution par intégration mathématique, l'idée est de travailler l'intégration
via la méthode numérique d'Euler. L'objectif est alors à la fois de rendre opérationnelles les différentes
relations différentielles et de faire comprendre le comportement linéaire de v(t) et quadratique de x(t) dans le
cas simple d'un mouvement unidimensionnel à accélération constante.
3.1. Première situation
On reprend le cas d'un mobile initialement au repos et soumis à une force constante. Cette fois, compte tenu
du but de la tâche (étude quantitative de la position et de la vitesse au cours du temps), le choix d'une
orientation de la force suivant un axe privilégié est justifié. Par exemple, une force suivant l'axe Ox :
Questions
Quelle est l'allure de la courbe représentant ax(t) ?
Quelle est l'allure de la courbe représentant vx(t) ?
Quelle est l'allure de la courbe représentant x(t) ?
Cette première étape qualitative peut alors être confrontée aux réponses du modèle :
Sur la base des graphiques obtenus avec le logiciel, on peut alors poser les questions suivantes :
Quelle est la valeur de l'accélération ? Est-elle conforme à l'application de la deuxième loi de
Newton ?
À quoi correspond l'accélération dans le graphique vx(t) ?
Commenter la courbe x(t). Quelle est la fonction mathématique correspondante ?
À cette étape de l'activité, il s'agit de revenir sur la méthode d'Euler, pour bien faire comprendre la linéarité
de vx(t) et la dépendance quadratique de x(t).
3.2. Seconde situation
Les mêmes questions peuvent être posées sur le cas d'un mobile dont la vitesse initiale est de même direction
que la force mais de sens contraire. Les graphiques sont généralement source de difficultés chez les élèves.