Quelques précurseurs des Mathématiques « Modernes ».
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Quelques précurseurs des Mathématiques « Modernes ». EUCLIDE v. –350 VIETE François 1540-1603 BOLZANO Bernard MÖBIUS August Ferdinand LOBATCHEVSKY Nikolaï 1781-1848 1790-1868 GRASSMANN Hermann GALOIS Evariste ABEL Niels Henrik SYLVESTER James Joseph BOOLE George CAYLEY Arthur 1809-1877 premier usage de la méthode axiomatique (pour la géométrie dans l’espace) algèbre littérale, càd. étude du calcul algébrique sans référence aux quantités représentées premier traitement des paradoxes de l’infini théorie des invariants ; notion de transformation linéaire montre que différents systèmes d’axiomes sont possibles pour la géométrie ... et sont utiles (géométrie non euclidienne) fondation de l’algèbre linéaire 1811-1932 1802-1829 1814-1897 premières recherches en théorie des groupes, en rapport avec la résolution des équations premières utilisations des matrices 1815-1864 1821-1895 première étude de lois de composition étude et premier dénombrement des groupes abstraits ; établit le pont entre géométrie euclidienne, géométrie non-euclidienne, et calcul avec les complexes axiomatique de la géométrie euclidienne et noneuclidienne étude systématique des groupes de transformations notion générale de loi de composition Montre que toute axiomatique doit se baser sur des notions non définies, dites « primitives » théorie des ensembles ; mise en évidence des paradoxes liés à l’utilisation de l’infini montre le lien entre isométries de l’espace et mouvement : le mouvement de tout corps sur un intervalle de temps infinitésimal peut être réduit à une isométrie étude des propriétés de figures invariantes pour un groupe de transformations ; trouve plusieurs isomorphismes entre groupes définit la mathématique comme une activité de classification ; fonde la topologie (géométrie des surfaces déformables) recherches en axiomatique : arithmétique, vectoriels premier programme de recherches mathématiques systématiques (23« problèmes » ouverts) 1793-1856 RIEMANN Bernhard 1826-1866 JORDAN Camille 1838-1922 HANKEL Hermann PASCH Moritz 1839-1873 1843-1930 CANTOR Georg 1845-1918 HELMHOLTZ Hermann Ludwig Ferdinand von 1821-1894 KLEIN Félix 1849-1925 POINCARE Henri 1854-1912 PEANO Guiseppe 1858-1932 HILBERT David 1862-1943 2 Découvertes Un siècle de découvertes mathématiques. * , ** : découvertes considérées comme particulièrement importantes. Axiomatique, théorie du raisonnement 1895 * Cantor 1897 Burali-Forti 1899 Hilbert 1902 ** Russell 1903 Hilbert 1905 Richard 1908 * 1910 * Zermelo puis von Neumann, Bernays ... Zermelo 1913 * Brouwer ... 1920 Lukasiewicz Skolem ... Tarski 1924 Montre que l’ensemble de tous les ensembles ne peut exister (par une contradiction dans le calcul de son cardinal). Par un paradoxe ("paradoxe des catalogues"), montre qu’on ne peut définir en toute liberté des ensembles d’ensembles. Axiomatique complète de la géométrie plane et spatiale, sans référence à la notion « commune » de points et droites. Montre que les axiomes de la géométrie euclidienne sont exempts de contradiction. Crise des fondements de la mathématique, retombée des travaux de Cantor : une approche naïve des ensembles infinis et de la notion de définition fait apparaître des contradictions ; on est obligé de prévoir plusieurs niveaux de langage mathématique (un pour parler des maths, un pour parler de celui qui parle des maths etc.), et de refuser le nom d’ensemble à des collections trop vastes. Crée avec Whitehead un système logique (théorie des types) pour obvier à ces contradictions. Montre que les axiomes de certaines géométries noneuclidiennes (Lobatchevsky) sont exempts de contradictions. Par un paradoxe, fait apparaître que toutes les méthodes de classement des objets mathématiques ne sont pas nécessairement bonnes. Axiomatique de la théorie des ensembles. Enonce l’axiome du choix : étant donné une infinité d’ensembles, il existe un moyen systématique de sélectionner un élément dans chacun d’eux ; cet axiome semble raisonnable et est admis par la majorité des mathématiciens, mais peut conduire à des paradoxes : des notions aussi élémentaires que celle de volume deviennent impossibles à définir correctement. Intuitionnisme : refuse l’axiomatique de la théorie des ensembles, l’induction infinie, le tiers-exclu, la démonstration par l'absurde. But : faire des mathématiques plus proches de l’intuition commune. Théorie des modèles : méthodes pour fabriquer une structure répondant à des axiomes donnés. Prouve que l’axiome du choix est équivalent à la proposition : « pour tout a infini, a² = a ». Découvertes v.1928 Lukasiewicz 1929 Gödel 1931 ** Gödel 1934 Skolem 1934 Zassenhaus 1935 Dieudonné Chevalley - Weyl... 1938 Gödel 1961 * Robinson Luxemburg 1963 Cohen 1967 Bishop 3 Principes de la logique floue : admet des énoncés vrais, faux et partiellement vrais ; très utilisée aujourd’hui en informatique et en robotique (Zadeh 1965) ; utilisations en statistique. Métathéorème de la complétude : le système logique mis au point par Russell (cf 1902) peut prouver toute formule vraie de la logique classique. Théorèmes d’incomplétude : une théorie suffisamment forte pour faire de la théorie des nombres (nombres premiers etc.) ne peut prouver elle-même qu’elle est correcte. Il faut donc différents niveaux de pensée. Gentzen (1936) prouve que la démonstration est possible « de l’extérieur ». Arithmétique non standard, cohérente avec les axiomes de Peano ; permet de faire de l’arithmétique avec des entiers infinis. Le « théorème des 4 ensembles », première démonstration utilisant des diagrammes de Venn («patates»). Création du groupe Nicolas Bourbaki, qui tente de faire de la mathématique un tout cohérent par l’usage systématique de la méthode axiomatique. L’hypothèse du continu (il n’y a pas de nombre entre 0 et C ) est cohérente avec les autres axiomes de la théorie des ensembles ; l’axiome du choix (voir 1910) aussi. Analyse non standard : variante de l’analyse admettant l’existence de nombres infiniment petits. Permet parfois des démonstrations plus aisées que l’analyse standard (avec limites et ). La négation de l’hypothèse du continu (il y a des nombres entre 0 et C ) est cohérente avec la théorie des ensembles; voir aussi 1938 ; on ne pourra donc jamais démontrer si l’hypothèse du continu est vraie ou fausse. Prouve que la théorie des ensembles « à la Cantor » est exempte de contradictions, en en construisant un modèle. Découvertes 4 Structures diverses 1901 * Wilson - Gibbs 1905 Wedderburn 1908 * Hensel 1910 Steinitz 1914 Fréchet 1920 Weyl 1934 1939 * Löwig groupe Bourbaki (voir axiomatique, 1935) 1941 1941 Albert Gel’fand 1942 ** Eilenberg - McLane Axiomatique des vecteurs ; analyse vectorielle (étude de fonctions dont les variables et/ou les valeurs sont des vecteurs) ; essentiel en physique (électromagnétisme). Théorème : si un ensemble est un corps (un groupe commutatif avec l'addition, un groupe avec la multiplication et la multiplication distribue l'addition), et comporte un nombre fini d'éléments, alors c'est un champ (la multiplication aussi est commutative). La démonstration fait appel à des sujets aussi variés que : vectoriels, classes latérales, combinatoire, divisibilité, polynômes à inconnues dans , plan de Gauss. Théorie des corps p-adiques ; des ensembles de nombres munis d’une distance aux propriétés inattendues. Axiomatique de l’algèbre ; son cadre naturel est la théorie des corps (cf 1905 pour la définition). Axiomatique des espaces abstraits, cadre de la topologie, et des espaces métriques, càd. avec une loi de distance. Axiomatique des espaces affins (géométrie avec parallélisme mais sans mesures). Toutes les bases d’un vectoriel ont le même cardinal. Définit la mathématique comme l’étude des ensembles munis d’une structure. En profite pour éditer une œuvre (encore incomplète !) étudiant systématiquement les structures. Théorie des opérations non associatives. Théorie des algèbres normées, ou vectoriels munis d’une opération de multiplication interne et d’une distance. Utilisée en mécanique quantique. Théorie des catégories : donne une place centrale aux notions de loi de composition, et de morphisme. Découvertes 5 Théorie des groupes 1898 1902 1906 1938 1947 1957 * 1959 1963 1972 * 1980 1983 Weber Huntington Burnside Première axiomatique des groupes. Axiomes « classiques » des groupes. Conjecture que tout groupe simple (càd. n’ayant pas de sous-groupe invariant) non cyclique est de cardinal pair. Les groupes simples jouent pour les groupes le même rôle que les nombres premiers. Frucht Tout groupe fini est isomorphe au groupe formé des automorphismes d’un certain graphe (isomorphismes du graphe avec lui-même), avec la loi usuelle de composition. Markov - Post Il n’existe pas d’algorithme permettant de déterminer de manière systématique si deux combinaisons des générateurs d’un groupe représentent le même élément du groupe ("problème des mots"). Chevalley - Steinberg Théorie des groupes simples ; construction utilisant les Suzuki - Ri ressources de la topologie, de l’algèbre des champs finis, du calcul vectoriel, de la géométrie des pavages, de la théorie des isomorphismes et des plongements (isomorphismes entre une structure et une partie d'une autre). Navikov Construit un groupe infini dont tous les éléments sont d’ordre fini. Feit - Thompson Démontrent la conjecture de Burnside (voir 1906). Gorenstein Etablit un programme pour la classification des groupes simples. Ce programme sera achevé en 1980 (voir cette date) par Aschbacher, Gorenstein, Fischer etc. Griess - Fischer Construisent un groupe simple de cardinal énorme, le « monstre », groupe de rotations d’un espace vectoriel de dimension 196883. Ceci achève la classification des groupes simples. Thurston Utilise les groupes d’isométries conservant des figures de papiers peints pour faire avancer la classification des surfaces de dimension 3. Découvertes 6 Topologie 1902 Boy 1910 Tietze 1912 * Brouwer 1920 Redemeister 1926 Alexander - Briggs 1928 * Alexander 1930 ? Hopf 1933 Leray - Schauder 1968 Ringel - Youngs 1976 ** Haken – Appel 1988 Kulpa-Turzansky 1990 Mori 2002 Découvre une surface pour laquelle le nombre de Poincaré est 1. Elle se recoupe. Le nombre chromatique de la surface de Möbius est 6. (le nombre chromatique est le nombre de couleurs nécessaires pour colorier une carte sur la surface en question ; la surface de Möbius est un ruban dont on a collé les extrémités après l’avoir tordu à 180°). Théorème du point fixe : si l’on prend une feuille de papier déposée à plat, si on la froisse et si on dépose la boule sur l’ancien emplacement de la feuille, un des points de la feuille au moins se trouvera à la verticale de son ancien emplacement. Ce théorème implique qu’il est impossible de « coiffer » une sphère couverte de cheveux sans créer de pli ou d’épi ... et qu’à tout moment, il existe un point de la terre où il n’y a pas de vent. Notion d’isomorphisme de nœuds ; début des tentatives de classification. Décomposition des nœuds en « nœuds premiers ». La « multiplication » est ici le fait de faire deux nœuds l’un après l’autre. Attribue à chaque nœud un polynôme, la multiplication des nœuds (cf 1926) étant isomorphe à celle des polynômes. Ceci permet une classification des nœuds, mais assez grossière ; elle sera améliorée par Jones en 1984. Montre que l’impossibilité de « coiffer » une sphère (cf 1912) est liée au fait que son nombre de Poincaré est 2. Equivalent du théorème du point fixe dans un vectoriel de dimension infinie ; aide à trouver les solutions de certaines équations différentielles. Lien entre le nombre chromatique d’une surface (voir 1910) et son nombre de Poincaré : à 3 exceptions près (sphère, plan, surface de Klein), le nombre chromatique est la plus grande solution de l’équation x² - 7x + 6 = 0 (arrondie à l’entier inférieur), où est le nombre de Poincaré (conjecture énoncée par Heawood en 1890). Toute carte sur un plan ou une sphère peut être coloriée avec 4 couleurs seulement (dém. par ordinateur, et donc contestée). Toute bijection continue conserve la dimension des espaces vectoriels et autres ; utilise Brouwer 1912. Progrès importants dans la classification topologique des surfaces de dimension 3. Démonstration de la conjecture de Poincaré, classifiant les surfaces fermées finies. Découvertes 7 Algèbre et Arithmétique 1903 * 1909 1923 1929 1930 1932 1934 1937 * 1949 1950 1952 * 1957 1959 1966 Le nombre 2 67 1 n’est pas premier (on croyait auparavant que, si x est premier, 2 x 1 l’est aussi). Carmichael Il y a une infinité de nombres pseudo-premiers absolus. On sait que si a est premier, alors a n a est un multiple de n, et ce pour tout n ("petit théorème de Fermat"). Un nombre pseudo-premier absolu est un nombre qui satisfait cette condition, sans toutefois être premier. Le plus petit est 561. Mordell L’équation 2 x 3 k n’a qu’un nombre fini de solutions entières (couples - x) si k est un nombre fixé > 0. Gel’fond e est transcendant (voir 1930). Champernowne Le nombre 0,12345678910111213... est transcendant (n’est pas la solution d’une équation à coefficients entiers). Ingham Si x est assez grand, il existe un nombre premier entre x 3 et ( x 1) 3 . Gel’fond - Schneider Si est un nombre rationnel positif autre que 0 et 1, et si est transcendant (voir 1930), alors est transcendant. Vinogradov Tout nombre pair assez grand est la somme de 2 premiers ; tout nombre impair assez grand, la somme de 3. Réponse partielle à la conjecture de Goldbach (1742), qui affirme qu’ils le sont tous. Selberg - Erdös limx ( x).ln( x)/ x = 1 (démonstration plus simple que celle de Hadamard et de la Vallée-Poussin en 1895, qui utilisait des fonctions sur ). (x) désigne le nombre de premiers < x. Shapiro Démonstration « élémentaire » que toute progression arithmétique contient une infinité de nombres premiers (1ère démonstration : Dirichlet en 1837, par l’analyse). Robinson Première preuve par ordinateur d’un résultat mathématique: 2 521 1 est premier. Berger Il existe une infinité de nombres pairs m tels que a m a soit multiple de m (le premier avait été découvert par Lehmer en 1950). Bose - Parker – A part pour n = 2 et n = 6, il existe un carré gréco-latin Shrikande d’ordre n (avec l’aide d’un ordinateur). Un carré gréco-latin d’ordre n est un tableau n n, dans chaque case duquel on note deux symboles, l’un pris dans une liste de n, l’autre pris dans une autre liste de n, de manière qu’aucune ligne ni colonne ne contienne deux fois le même symbole (en pratique, 2 carrés latins superposés). Baker Il n’existe qu’un nombre fini de familles de nombres x,y,m,n tels que x m y n 1 . (conjecture de Catalan : le seul cas est 32 2 3 1 ). Cole Découvertes 1970 1977 1980 * 1988 1990 1995 ** 2002 * 8 Matijasevitch - Jones Expression d’un polynôme à 26 variables qui prend pour valeurs tous les nombres premiers, et eux seuls, lorsque les variables parcourent . Larson Démontre que « tout nombre premier qui est supérieur de 1 à un multiple de 4, est décomposable d’une et une seule manière en somme de 2 carrés », en passant par la résolution d’un problème ... d’échecs ! Cohen – Lenstra Test par ordinateur pour vérifier si un nombre est premier (nécessite à l’époque quelques secondes pour un nombre de 100 chiffres). Elkies – Fries Il existe une infinité de solutions entières de l’équation x 4 y 4 z 4 t 4 . La plus petite est : x = 95800, y = 217519, z = 414560, t = 422481 (trouvée par ordinateur). frères Chudnovsky Calcul de 2 milliards de décimales de . Wiles Démontre la conjecture de Fermat (1637) : quel que soit n supérieur à 2, il n’existe pas d’entiers non nuls x, y, z tels que x n y n z n . Mihailescu Démontre la conjecture de Catalan (1844) : il n'y a pas deux entiers consécutifs qui soient des puissances (> 1) d'entiers, sauf 8=2³ et 9=3². 9 Découvertes Algorithmique Définition : algorithme : méthode systématique de résolution d’un problème 1934 Church 1936 * Turing 1936 Turing 1943 Turing 1958 1960 Rabin - Hartmanis 1970 Cook 1970 * Merkle - Diffie – Hellman puis Rivest – Shamir - Adelman 1976 Conway 1985 Deutsch 1994 Shor Fait dériver tous les raisonnements que l’on peut demander à une machine de quelques opérations élémentaires. Ce qui laisse la voie libre à Turing (1936, 1er). « Machine de Turing », machine automatique pouvant traiter tous les algorithmes si on lui donne assez de mémoire et de temps. Revient à démontrer que tous les ordinateurs ont les mêmes capacités. Le reste n'est qu'une question de temps. Il existe des problèmes pour lesquels on ne pourra pas trouver d’algorithme (en effet, le cardinal de l’ensemble des problèmes est supérieur à celui de l’ensemble des algorithmes). Conséquence : il n’existe aucun algorithme pour tester la véracité des énoncés mathématiques. Colossus, première machine logique électronique (ordinateur). Algol : premier langage informatique adapté à la résolution de problèmes mathématiques. Enoncé d’un problème admettant des algorithmes, mais aucun algorithme « efficace » (càd. qui reste assez rapide lorsque les données prennent de l’ampleur) Classification des problèmes selon le degré de rapidité des algorithmes que l’on peut leur appliquer. Cryptographie à clef révélée, étude de codes avec lesquels on peut coder facilement en disposant d’une clef, mais pas décoder, si l’on ne dispose pas d’une deuxième clef. Permet à tout le monde de coder un message qui ne pourra être lu que par certains. Utilise des propriétés des nombres premiers. Jeu de la Vie, modélisant l’évolution d’une population de microbes dans une boîte plate. Conway a démontré qu’il existe un isomorphisme entre les parties de Jeu de la Vie et les énoncés logiques, de telle manière qu’à une population qui survit éternellement correspond une proposition vraie, et vice versa. Mais on ne connaît pas cet isomorphisme … Imagine des ordinateurs « quantiques », ne donnant pas toujours la solution à un problème, mais hyper-rapides lorsqu’ils en donnent une. Montre que les ordinateurs quantiques sont capables de factoriser un entier en un temps "raisonnable", mettant ainsi en danger la cryptographie (v. 1970). Le problème de la factorisation appartient à une catégorie "difficile" de la classification de Cook (cf. 1970). Découvertes 10 Géométrie, Algèbre Linéaire 1896 * 1900 Peano von Koch 1935 Whitney 1939 Sprague 1961 Richardson 1965 Leech 1966 Berger 1968 Scott 1975 * Mandelbrot 1977 Szilassi 1978 Duijvestijn Courbe continue recouvrant la surface d’un carré. Courbe de longueur infinie entourant une surface finie : le «flocon de von Koch», une des premières fractales (cf 1975). Matroïdes, généralisation des espaces vectoriels. Permet de définir des notions telles que : indépendance linéaire, bases, etc., sans utiliser de coordonnées. Première décomposition d’un carré de taille entière en carrés plus petits, de tailles toutes différentes et entières, sans recouvrements. Généralisation de la notion de dimension à des dimensions non entières : par exemple la côte d’un pays ; la dimension devient une mesure de la régularité. Empilement particulier de sphères (ou ce qui en tient lieu) dans un vectoriel de dimension 24. Chaque sphère en touche 196560 autres. Le groupe des isomorphismes qui conservent l’empilement en échangeant les sphères joue un rôle important dans la théorie des groupes simples. Application : permet de créer un code dont les mots ont 24 bits (0 ou 1) et tel que deux mots différents aient au moins 7 bits différents (code correcteur d’erreurs). Il n’y a pas d’algorithme pour savoir si un polygone ou autre objet peut recouvrir le plan sans trous ni chevauchements. Lié à l’existence de pavages irréguliers (cf 1984). Publie 367 démonstrations différentes du théorème de Pythagore. Fractales : objets dont la structure est la même à quelque échelle qu’on les regarde. Une fractale a une dimension (cf 1961) non entière. Les attracteurs étranges (cf Analyse, 1971) en sont un cas particulier. Les fractales fournissent une bonne modélisation des montagnes, de la surface interne des poumons, des côtes et frontières, ... et expliquent de nombreux phénomènes physiques et chimiques. Découvre un polyèdre à 21 sommets et 7 faces, tel que deux faces quelconques se touchent. Il n’a donc pas de diagonales ; et il faut donc 7 couleurs pour le colorier. Il peut être dessiné sur un tore et non sur une sphère. La plus petite décomposition possible d’un carré (cf 1939) est celle d’un carré de taille 112 en 21 carrés. Découvertes 1984 * 1988 1998* 11 Penrose- Shechtman- Quasi-cristaux : réseaux ayant les propriétés de régularité à Kramer - Neri etc. grande échelle des cristaux, mais pas leur arrangement microscopique. Lam - Swiercz Il n’existe pas de plan projectif d’ordre 10, c’est-à-dire de Thiel - McKay configuration de 111 points, regroupés en 111 droites de 11 points, deux droites se coupant toujours, et deux points étant toujours sur une droite. La démonstration, longue et informatisée, pose le problème de la validité des démonstrations invérifiables. NB : il existe des plans projectifs de tous les ordres égaux à une puissance de nombre premier. Si l’ordre est k, il y a k²+k+1 points, autant de droites, k+1 points par droite, k droites passant par un point. Hales Démonstration de la conjecture de Kepler (datant de 1611): l'empilement de sphères le plus serré est celui utilisé pour les fruits dans un cageot : couches hexagonales disposées en quinconce. Découvertes 12 Statistiques et Probabilités 1900 * Borel Loi forte des grands nombres : si un même événement de nature quantitative (une variable aléatoire) est mesuré plusieurs fois, la moyenne des observations tendra vers la moyenne des valeurs possibles de la variable (par exemple, après un grand nombre de parties de « pile ou face » avec une pièce non truquée, on obtiendra presque exactement 50 % de chaque résultat). 1925 Fisher Théorie des estimateurs : sur base d’observations 1930 ... Neuman - Pearson - statistiques partielles, donner une description aussi fiable Wald que possible de valeurs numériques relatives à un grand ensemble d’éléments (ce qui rend légitime de réaliser un sondage « représentatif » sur un nombre limité de personnes). 1933 * Kolmogorov Axiomatique du calcul des probabilités, considéré comme un cas particulier d’intégrale (voir analyse : 1898). 1938 Benford Montre que les nombres utilisés dans les sciences exactes et humaines ont plus souvent 1 que 9 comme premier chiffre. A « deviné » le théorème en constatant que les premières pages des tables de logarithmes sont plus sales que les dernières ! 1942 Metropolis - Ulam Méthode « de Monte Carlo » pour le calcul d’intégrales compliquées : on effectue le calcul sur un nombre fini mais grand de points définis aléatoirement. Applications en physique subatomique. 1950 Blyth - Lehmann – Montrent que la moyenne des valeurs observées est la Hodges meilleure approximation de la vraie valeur (le meilleur estimateur, voir 1930) lorsqu’on considère une seule série de données. 1961 James - Stein Montrent que la moyenne des valeurs observées n’est pas le meilleur estimateur de la vraie valeur lorsqu’on considère un ensemble de données en parallèle et proches l’une de l’autre (ici, les performances d’une série d’athlètes). 1965 Chaitin – Définissent une suite de nombres aléatoire comme une suite Kolmogorov qui ne peut être décrite en résumé. Découvertes 13 Analyse 1898 Borel 1902 * Lebesgue 1903 Hadamard 1903 Fredholm 1909 * Riesz - Fréchet 1914 Polya 1936 1945 * Sobolev Schwartz 1966 Carleson 1971 Ruelle – Takens 1975 Feigenbaum 1984 de Branges Théorie de la mesure : cadre général pour le théorie des intégrales ; permet des calculs beaucoup plus variés que la théorie « classique ». Synthèse des idées sur l’équation de propagation des ondes, une équation différentielle très étudiée. Théorie des équations intégrales, càd. des équations qui font intervenir simultanément comme inconnues une fonction et son intégrale. Théorie des espaces de fonctions : espaces vectoriels de dimension infinie munis d’un produit interne ; but : résoudre des équations intégrales (voir 1903). Classification des fonctions de dans , telles que l’image de tout entier positif soit un rationnel. A part les polynômes, toutes ces fonctions croissent très vite (les exponentielles sont celles qui croissent le moins vite). Présente une riche famille d’espaces de fonctions (cf 1909). Théorie des distributions. Les distributions sont des applications linéaires d’un espace de fonctions vers ou vers . Utilité en physique quantique. Montre la cohérence de la théorie de Fourier (XIXè), qui décompose une vaste famille de fonctions en combinaison linéaire de fonctions sinus et cosinus. Attracteurs étranges : ensembles de points d’un espace vers lesquels les valeurs d’une fonction convergent, mais de manière irrégulière. L’informatique permettra de les représenter, avec une certaine esthétique. Découvre que la théorie des attracteurs étranges (voir 1971) est régie par un nombre (appelé depuis « de Faigenbaum ») qui pourrait prendre dans l’analyse une importance considérable. Affaire à suivre ... Une application du plan de Gauss dans lui-même, qui peut être représentée par un développement en somme de puissances, ne peut « étirer » les formes plus que z l’application qui envoie z sur ; le coefficient de x n (1 z)² dans le développement ne peut être supérieur à n, quel que soit n (conjecture de Bieberbach). Découvertes 14 Mécanique 1895 1896 * 1905 ** 1908 1916 * 1918 * 1918 1925 ** 1929 1934 * 1950 Korteweg - de Vries Equation différentielle décrivant le mouvement des masses d’eau ; explique les phénomènes de marées intenses, les mascarets (vagues solitaires remontant les fleuves). Lorentz Détermine le groupe des transformations qui laissent invariantes les équations de l’électromagnétisme et de la propagation de la lumière (équations de Maxwell). Einstein Relativité restreinte : les transformations de Lorentz (voir 1896) ne conservent pas les masses, longueurs, temps. Conséquences : -l'espace et le temps cessent d’être des notions absolues. Ce qui avait été entr'aperçu, mais fermement rejeté, par Lorentz ; - la masse peut se transformer en énergie et vice-versa. Minkowski Espace de dimension 4, muni d’une opération de distance « originale », cadre naturel pour l’étude de la relativité restreinte et de l’électromagnétisme. Einstein Relativité générale : ramène la gravité à une propriété géométrique de l’espace : les corps déforment l’espace autour d’eux comme un poids sur un drap tendu. Noether Les lois de la mécanique de Newton peuvent être déduites des propriétés supposées d’homogénéité de l’espace (invariance des phénomènes en fonction de l'endroit, du moment et de la direction). Sundmann Solution du problème des trois corps (mouvement de trois objets soumis à l’attraction gravitationnelle les uns des autres), exacte mais inutilisable : c’est un système de 9 équations différentielles. de Broglie Mécanique quantique : description du mouvement des Schrödinger - Dirac - particules atomiques ; utilise des applications linéaires entre Heisenberg espaces de dimension infinie (voir Analyse : 1909). Robertson - Tolman Déterminent la forme la plus générale que peut prendre l'opération de distance dans un univers soumis à la gravité. Leray Première apparition du chaos (voir 1962) et des attracteurs étranges (voir Analyse : 1971), dans l’étude de l’écoulement tourbillonnaire des fluides. Achèvement de la mécanique hamiltonienne, qui ramène l’étude des mouvements des corps ponctuels à celle d’une application linéaire (appelée « forme de Hamilton ») dans l’espace vectoriel dual de celui des droites tangentes à une certaine surface dans un espace vectoriel de dimension élevée. C’est aussi compliqué que ça en a l’air ! Découvertes 1962 Kolmogorov Arnol’d - Moser 1972 Thom 1989 Laskar 15 Le mouvement des astres dans le système solaire pourrait être chaotique, càd. que de petites variations dans les données numériques (position et vitesse) peuvent conduire à des modifications importantes dans le mouvement ; il est donc difficile de prévoir l’évolution à long terme du système solaire (c’est le même phénomène qui rend la météo imprévisible). Ce phénomène a reçu le nom d’« effet papillon », terme aujourd'hui très galvaudé. Confirme la complexité du problème des trois corps (voir Sundmann 1918). En étudiant les mécanismes de différenciation cellulaire, met au point la théorie des catastrophes : classification des situations où un système peut évoluer de deux manières différentes à partir de la même situation initiale. Le mouvement des astéroïdes est effectivement chaotique (voir 1962). Par contre, le mouvement de la lune empêche celui de la terre de devenir chaotique, et a donc joué un rôle essentiel dans la pérennité de la Vie. Découvertes 16 Applications 1900 1912 1920 1922 1926 * 1930 1931 1935 1943 1944 1947 1947 Bachelier Application de la théorie des promenades aléatoires (modélisation de la marche d’un ivrogne) à l’évolution des cours en bourse. Zermelo Montre que tout jeu opposant deux joueurs, sans intervention du hasard, sans possibilité de bluff, avec un nombre fini de coups possibles (ex. : échecs) possède une stratégie permettant à l’un des deux joueurs de gagner à coup sûr. Ne dit rien quant à la forme de cette stratégie, ni quant au gagnant. Borel Théorie mathématique des jeux ; classification des problèmes selon le nombre de joueurs et l’intervention possible d’événements aléatoires (jet de dé p.ex.) Charlier Résout le paradoxe d’Olbers (avec tant d’étoiles, pourquoi le ciel est-il noir ?) en imaginant une structure organisée, fractale, de l’univers (voir Géométrie : 1975). von Neumann Théorème du minimax : établit l’existence d’une stratégie optimale dans tout jeu opposant deux joueurs, avec "somme nulle" (l'un perd ce que l'autre gagne). Cette stratégie peut être soumise à des choix aléatoires (pile, je fais ceci - face, je fais cela). Kraitchik Utilisation des matrices pour représenter les résultats possible d’un jeu à deux joueurs. Très utilisé aujourd'hui en Sciences Politiques. Rado - Doublas Résolution du problème de Plateau : détermination par le calcul de la surface minimale sous-tendue par une courbe fermée dans l’espace. Il y a une solution empirique facile, qui consiste à plonger la courbe (matérialisée par du fil de fer) dans de l’eau savonneuse et à observer la forme de la bulle ainsi créée. Volterra - d’Ancona Dynamique des populations : équations donnant l’évolution de populations animales. Nash - von Neumann Applications de la théorie des jeux aux choix de stratégies militaires. von Neumann Applications de la théorie des jeux aux décisions microMorgenstern économiques. Intervention de jeux coopératifs (une alliance est possible, tous peuvent gagner si l'alliance fonctionne bien). Dantzig Algorithme du simplexe, pour la résolution de problèmes d’optimisation sous une série de contraintes (comment maximiser la quantité de produits vendue compte tenu de limitations de matières premières, de main-d'œuvre, d’espace pour les machines ...) Golay Premier code rigoureusement déterminé afin de pouvoir repérer des erreurs de transmission (brouillage) et les corriger. Voir Géométrie : 1965. Découvertes 1948 Shannon 1954 Yang - Mills 1956 ** Li - Yang 1961 1962 Hu Gell Mann – Ne'eman 1962 Doob - Meyer 1968 Dijkstra 1973 Baracs 1981 Rubik 17 Théorie de l’information : détermination des procédures les plus efficaces pour transmettre un renseignement, et de la quantité d’information transmissible par un canal donné. Son cadre naturel est le calcul binaire. La théorie des particules élémentaires est régie par des groupes de transformations de particules. Contrairement à toute attente, certains phénomènes de la physique nucléaire sont asymétriques (distinguent la gauche de la droite). Démontre la validité de l’algorithme du chemin critique. Hypothèse des quarks : une classification des particules atomiques permet une description plus simple si l'on admet l'existence de particules encore plus fines, dont les protons, neutrons etc. sont des "combinaisons linéaires". L'existence de ces particules semble maintenant démontrée. Les fluctuations des cours boursiers suivent une évolution moyenne partiellement prédictible (cf 1900). Résolution des blocages dans les centraux téléphoniques et les réseaux d’ordinateurs par l’utilisation de procédures aléatoires. Topologie structurale : théorie de la flexibilité des carcasses. Puzzle à 3 dimensions : un cube étant décomposé en 26 petits cubes aux facettes colorées, reconstituer des faces de couleur uniforme. L’ensemble des transformations possibles forme un groupe de plusieurs milliards de milliards d’éléments. Cinq mouvements élémentaires suffisent à les engendrer. On connaît un algorithme de résolution qui fait intervenir au maximum 52 mouvements. On sait qu’il existe un algorithme en 20 mouvements au maximum, mais sa recherche est si difficile qu’il a été surnommé « algorithme de Dieu ».
