Chapitre III. Ecritures fractionnaires I- 2012 Différentes significations d’une écriture fractionnaire. a- Partage : La surface hachurée occupe les 3 du rectangle. 4 On partage le rectangle ci-dessus en 4 parties égales et on réunit 3 parties sur 4, on obtient la surface hachurée. b- Quotient de deux nombres : Définition : Soient a et b deux nombres décimaux, avec b différent de zéro, a le quotient du nombre a par le nombre b peut s’écrire . b a a b a Est le nombre qui multiplié par b donne a : b b Exemple : Le quotient de 12,84 par 2,5 peut s’écrire 12,84 car : 2,5 12,84 2,5 12,84 2,5 Remarque : Une écriture fractionnaire peut être : 72 72 8. Un nombre entier : car 9 9 7 7 Un nombre décimale : car 1, 4 5 5 Un nombre qui n’est ni décimal ni entier : 2 3 c- Proportion d’une quantité par rapport à une autre. Exemple : Dans une classe, il y a 18 filles sur 30 élèves. 18 3 ou Le nombre de filles représente du nombre total des élèves. 30 5 Les mathématiques au collège Page 1 Chapitre III. Ecritures fractionnaires Vocabulaire : On dit que 18 30 2012 est la proportion du nombre de filles par rapport au nombre total d’élèves. Remarque : On peut aussi exprimer une proportion à l’aide d’un pourcentage : 18 3 60 , donc 60 % des élèves sont des filles. 30 5 100 II- Egalité de nombres en écriture fractionnaire. 1- Proposition 1 : On ne change pas une écriture fractionnaire en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur, par un même nombre non nul. Pour tous les nombres a, b, c et d avec b et c différents de zéro. a ac a ac b bc b bc Exemple : 4,5 4,5 2 9 11,5 11,2 2 22,4 8 82 4 12 12 2 6 2- Proposition 2 : On peut toujours exprimer un quotient de deux nombres décimaux par un quotient de deux nombres entiers. Exemple : III- 5,14 5,14 100 514 6,71 6,71 100 671 Comparaison de nombres en écriture fractionnaire. 1- Proposition 3 : Un nombre sous la forme d’une écriture fractionnaire est inférieur à 1 ; si son numérateur est inférieur au dénominateur. Exemple : 5326 1 6014 Les mathématiques au collège 12354 9583 Page 2 Chapitre III. Ecritures fractionnaires 2012 2- Proposition 4 : Si des nombres en écriture fractionnaire ont le même dénominateur, alors ces nombres sont rangés dans le même ordre que leurs numérateurs. Exemple : 4,17 5 4, 22 5 7 5 7 ,3 5 3- Proposition 5 : Si des nombres en écriture fractionnaire ont le même numérateur, alors ces nombres sont rangés dans l’ordre inverse que celui de leurs dénominateurs. Exemple : 7 15 IV- 7 14, 2 7 13 Opérations et fractions : Définition : On appelle fraction toute écriture fractionnaire, dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers. Exemple : 12 17 ; 3 4 1- Multiplication de deux fractions : a- Règle 1 : Pour calculer le produit de deux fractions (ou écritures fractionnaires). On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. b- Exemple : 2 3 5 7 25 3 7 10 21 c- Utilisation : Prendre une fraction d’un ensemble, revient à multiplier cette fraction par le nombre d’éléments qui constituent cet ensemble. 2 Exemple : dans une classe de 30 élèves les sont des filles. 3 Les mathématiques au collège Page 3 Chapitre III. Ecritures fractionnaires 2012 Pour calculer le nombre de filles dans cette classe il suffit de 2 2 30 2 30 60 20 . calculer 30 3 3 1 31 3 2- Addition de deux fractions : a- Si les deux fractions ont le même dénominateur : Règle 2 : Pour additionner deux fractions qui ont le même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur en commun. 6 Exemple : 11 7 6 11 7 7 17 7 b- Si les deux fractions n’ont pas le même dénominateur : Règle 3 : Pour additionner deux fractions qui n’ont pas le même dénominateur. On commence par les réduire au même dénominateur. On utilise la règle 2. Exemple : 3 5 11 3 9 15 55 9 55 15 15 64 15 3- Quotient de deux fractions : a- Remarque : Diviser un nombre par un deuxième nombre, revient à multiplier le premier nombre par l’inverse du deuxième nombre. b- Exemple : 12 4 3 12 et 1 4 12 3 4 c- Règle 4 : Pour calculer le quotient de deux fractions, il suffit de multiplier la première fraction par l’inverse de la deuxième fraction. d- Exemple : 11 3 Les mathématiques au collège 5 8 11 3 8 5 88 15 Page 4