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Évolution des systèmes mécaniques
Chapitre 3 – Étude de mouvements plans
Chapitre 3. Partie B
B- A la découverte des lois de Kepler… ou comment se meuvent
satellites, comètes et planètes autour d'astres "centraux".
«Combien de détours ais-je du faire, sur combien de murailles ais-je du tâtonner dans
les ténèbres de mon ignorance avant de trouver la porte qui mène à la lumière du vrai
…Ainsi, ai-je rêvé de la vérité. » Johannes Kepler (1571-1630).
A partir des observations de Tycho Brahé, Kepler a pu établir autour de 1610 des lois qui permettent
de décrire et prévoir le mouvement des planètes du système solaire dans le référentiel héliocentrique (centré sur le soleil
et dont les axes pointent 3 directions “ fixes ”.
Activité B1 : les trajectoires sont-elles circulaires ? 1ère loi de Kepler (1609)
Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre de chaque planète est une ellipse dont
le centre du soleil occupe un des foyers
Une ellipse de foyers F1 et F2 est l’ensemble des points M d’un plan tels que
MF1 + MF2 = constante = 2a (où a est le demi grand axe de l’ellipse). Par rapport
à F1, qui coïncide ici avec le centre S du Soleil, le point le plus proche porte le nom
de périhélie P et le point le plus éloigné celui d’aphélie A. Pour la Terre on parle de
périgée et d’apogée.
La trajectoire du centre de la Terre autour du Soleil est pratiquement un cercle dont
le centre est le centre du Soleil. La distance moyenne entre le centre de la Terre et le
centre du Soleil vaut D = 150x106 km = 1 u.a. (unité astronomique).
c
On appelle excentricité « e » de l’ellipse la grandeur e  .
a
1) Que vaut approximativement l'excentricité de la trajectoire de la Terre autour du soleil ?
2) Reformuler alors la 1ère loi de Kepler dans ce cas précis.
Travail personnel à faire à la maison : Cas de la comète de Halley
1. Sur la reproduction de la trajectoire (annexe), tracer au mieux le grand axe, placer le centre O, mesurer le demi-grand axe et
en déduire la position des 2 foyers.
2. Donner la valeur du demi-grand axe a en u.a. et en mètres.
3. Pour 2 dates différentes, vérifier que les points correspondants appartiennent bien à une ellipse de demi grand axe a dont
l’un des foyers est S, centre du Soleil. Remarque : le schéma étant à l'échelle les mesures peuvent être laissées en cm.
4. Le mouvement de la comète de Halley est-il uniforme ?
5. Sans faire de calculs, entourer la zone de la trajectoire où la vitesse de la comète est maximale.
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Activité B2 : des ellipses, mais à quelle vitesse ? 2e loi de Kepler (1609)
Le segment de droite reliant le centre du soleil au centre de chaque planète balaie des aires
proportionnelles à la durée mise pour les parcourir (“loi des aires”).
Cas de la comète de Halley
1. Construire 3 aires balayées pendant deux ans (par ex.) par le rayon vecteur reliant le centre du Soleil au centre de la comète.
2. À l’aide du papier millimétré transparent, estimer les valeurs de ces 3 aires.
3. Comparez ces valeurs et concluez quant à l’accord de ces mesures avec la deuxième loi de Kepler.
On a représenté en noir sur le schéma ci-contre la portion d'aire balayée
B
depuis le point A durant une durée t. En utilisant la deuxième loi de
A
Kepler (dans le cas général d’une trajectoire elliptique) représentée l'aire
balayée pendant la même durée t à partir de B.
1. En déduire la bonne proposition parmi les 3 proposées ci-dessous :
S
o
le
il
 les valeurs de la vitesse sont les mêmes en A et en B
 la vitesse est plus grande en A qu'en B
 la vitesse est plus grande en B qu'en A
2. Dans le cas où la trajectoire est un cercle, utiliser la 2e loi de Kepler pour qualifier le mouvement le plus précisément
possible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Évolution des systèmes mécaniques
Chapitre 3 – Étude de mouvements plans
Documents annexes
Trajectoire de la comète de Halley
Selon des annales chinoises, les premières observations de la comète de Halley datent d’au moins
240 av. J.C. Edmund Halley (1656 – 1743) ayant déterminé les orbites des 24 comètes les plus
brillantes a observé que les orbites des comètes de 1531, 1607 et 1682 se ressemblaient : il en a
tiré la conclusion qu’il s’agit de la même comète. Il a alors prédit le retour de cette comète pour
1758. La comète fut au rendez-vous en décembre 1758 !... Et vous pouvez prédire qu'elle est
revenue assez récemment en . . . . . . . et que son prochain passage aura lieu en . . . . . . . .
la comète de Halley a pu également être observée en l'an 1066. Une comète attira en effet l'attention de
l'armée de Guillaume le Conquérant et on la retrouve sur la célèbre tapisserie de Bayeux, qui illustre
l'invasion de l'Angleterre par les Normands.
Données :
-Périhélie : 0,59 u.a. (0,5845 à 0,5932)
-Aphélie : 35 u.a.
-Excentricité : e = c / a = 0,967 (0,9666
à 0,9675)
-Période de révolution : T = 76,1 ans
-Diamètre du noyau :  10 km
-Inclinaison sur l’écliptique : 162,2°
(mouvement rétrograde)
Échelle : 1cm = 2 u.a.
Données expérimentales relatives au système solaire (activité B3)
PLANÈTE PÉRIODE T (an)
Mercure
Vénus
Terre
Mars
Jupiter
Saturne
Uranus
Neptune
RAYON MOYEN a ( ua)
0.2408
0.3871
0.6152
0.7233
1.0000
1.0000
1.8808
1.5237
11.862
5.2026
29.457
9.5547
84.020
19.218
164.77
30.109
Évolution des systèmes mécaniques
Chapitre 3 – Étude de mouvements plans
Activité B3 : lien entre période de révolution et demi-grand axe : 3e loi de Kepler
Dès 1595, Kepler, jeune professeur de mathématiques du collège de Graz est persuadé qu’il y a un lien entre le rayon moyen de
l’orbite d’une planète du système solaire et sa vitesse sur son orbite. Mais il faudra à Kepler une très longue patience et des
efforts incroyables pour trouver empiriquement une relation entre le rayon « a » de l’orbite moyenne d’une planète et sa période de
révolution T (Cette relation est la « troisième loi de Kepler »). Ce n’est qu’en 1618 que la troisième loi de Kepler, apparaît pour la
première fois dans un ouvrage intitulé Harmonices mundi grâce aux mesures les plus précises de Tycho Brahe.
« Le 8 mars 1618, il a déjà écrit la loi correcte, mais l’a écartée, la croyant imprécise à cause d’une erreur de calcul. Toutefois, le
15 mai, l’idée se représente à lui et, finalement, « l’emporte sur les ténèbres de son esprit ». Il a fallu « 22 ans d’attente » pour que
Kepler détienne la clé de l’Harmonie céleste : « Enfin, il est certain et tout à fait exact que la proportion qui lie les temps
périodiques de chaque couple de planètes est précisément la proportion sesquialtère des distances moyennes ».
Quelle est cette proportion « sesquialtère » ? C’est ce que vous allez découvrir.
D'abord une définition :
La période de révolution d’un satellite est la durée nécessaire pour que le satellite fasse une révolution
complète autour de l’astre “attracteur” ou "central". Elle n'a rien à voir avec la période de rotation propre.
Le tableau donné en annexe donne la période de révolution T autour du Soleil et le rayon moyen « a » de l’orbite pour
les planètes du système solaire. (Remarque : Kepler disposait des données pour les seules 5 planètes connues à l’époque.
Mercure, Vénus, Terre, Mars et Jupiter). Vous retrouvez ces données dans le fichier situé dans le dossier "Documents" (R:).
1er modèle numérique
Imaginer quelle a pu être le premier modèle de Kepler quant à la relation entre T et « a » ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tester ce modèle à partir du tableau des donnés en traçant et exploitant une courbe judicieusement choisie et conclure.
Deuxième modèle numérique.
Kepler réfléchit alors à l’action du Soleil sur les planètes. Il pose comme hypothèse que c’est lui qui exerce une force qui diminue
comme le carré de la distance au soleil et qui les fait se déplacer ; de plus, comme Aristote, il pense que la vitesse et la force sont
proportionnelles. Logiquement, croit-il, cette force doit être inversement proportionnelle à la distance « a » de la planète au Soleil.
2a
Dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme, la période s'exprime par T 
où v est la vitesse dans le référentiel
v
héliocentrique. Déduire du raisonnement précédant une relation donnant T en fonction de a : . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tester ce second modèle et conclure
À la recherche d’un troisième modèle.
k
Kepler est ensuite persuadé que la bonne solution est de la forme T    a où  est une constante.
Tester la compatibilité de cette hypothèse avec les données expérimentales et trouver la valeur de k à l’aide du tableur.
k = . . . . . . . ., ce qui peut s'écrire :
T...
a...
 cste
Recopier ci-dessus la 3e loi de Kepler donnée dans le document "éléments de modélisation"
-----------------------------------------
Activité B4 : Interprétation à l'aide de la 2e loi de Newton
Position 1
Position 2
On souhaite étudier le mouvement du centre d'inertie S d'un satellite de masse m en orbite
autour d’un objet "attracteur" de masse M, de centre O. On suppose que le satellite n’est
soumis qu’à l’action de cet objet attracteur. La distance séparant O et S est notée r.
O
1. Exprimer et représenter la force exercée sur le satellite.
e
2. En appliquant la 2 loi de Newton dans le référentiel du centre de l'objet attracteur,
qu'on considèrera galiléen pour le mouvement du satellite, exprimer le vecteur
accélération du satellite. Cette relation peut être considérée comme un cas particulier d'équation différentielle vérifiée
par le vecteur vitesse. Compléter le document "éléments de modélisation".
3. Justifier qualitativement que le mouvement est plan.
-----------------------------------------
Position 1
Cas d'une orbite circulaire.
4. A l'aide de l'expression générale de l'accélération donnée en complément, montrer que le
O
mouvement circulaire est forcément uniforme (ce qui est conforme à la 2e loi de Kepler dans
le cas de l'orbite circulaire).
5. Vérifier que ce mouvement circulaire uniforme permet de vérifier l'équation différentielle
établie en 2. à condition que la vitesse prenne une valeur que l'on exprimera.
6. Justifier alors que sur une même orbite, tous les satellites vont à la même vitesse.
7. Dans le cas d’un tel mouvement circulaire uniforme, exprimer la période T en fonction du rayon r (ainsi que de G et
M) et vérifier que cette expression est conforme à la 3e loi de Kepler dans le cas circulaire uniforme.
Évolution des systèmes mécaniques
Chapitre 3 – Étude de mouvements plans
Activité B5 : Cas des satellites géostationnaires en orbite autour de la Terre
Un satellite géostationnaire est un satellite terrestre restant en permanence à la verticale d’un même point de la surface de
la Terre.
1. Montrer que le mouvement d’un tel satellite ne peut être que dans le plan de l’équateur.
2. Si le mouvement d’un tel satellite est circulaire uniforme, à quelle altitude doit-il forcément si situer.
3. Quel peut être l’intérêt d’un tel satellite ?
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Activité B5 : Cas des satellites géostationnaires en orbite autour de la Terre
Un satellite géostationnaire est un satellite terrestre restant en permanence à la verticale d’un même point de la surface de
la Terre.
1. Montrer que le mouvement d’un tel satellite ne peut être que dans le plan de l’équateur.
2. Si le mouvement d’un tel satellite est circulaire uniforme, à quelle altitude doit-il forcément si situer.
3. Quel peut être l’intérêt d’un tel satellite ?
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Activité B5 : Cas des satellites géostationnaires en orbite autour de la Terre
Un satellite géostationnaire est un satellite terrestre restant en permanence à la verticale d’un même point de la surface de
la Terre.
1. Montrer que le mouvement d’un tel satellite ne peut être que dans le plan de l’équateur.
2. Si le mouvement d’un tel satellite est circulaire uniforme, à quelle altitude doit-il forcément si situer.
3. Quel peut être l’intérêt d’un tel satellite ?
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Activité B5 : Cas des satellites géostationnaires en orbite autour de la Terre
Un satellite géostationnaire est un satellite terrestre restant en permanence à la verticale d’un même point de la surface de
la Terre.
1. Montrer que le mouvement d’un tel satellite ne peut être que dans le plan de l’équateur.
2. Si le mouvement d’un tel satellite est circulaire uniforme, à quelle altitude doit-il forcément si situer.
3. Quel peut être l’intérêt d’un tel satellite ?
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Activité B5 : Cas des satellites géostationnaires en orbite autour de la Terre
Un satellite géostationnaire est un satellite terrestre restant en permanence à la verticale d’un même point de la surface de
la Terre.
1. Montrer que le mouvement d’un tel satellite ne peut être que dans le plan de l’équateur.
2. Si le mouvement d’un tel satellite est circulaire uniforme, à quelle altitude doit-il forcément si situer.
3. Quel peut être l’intérêt d’un tel satellite ?
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Activité B5 : Cas des satellites géostationnaires en orbite autour de la Terre
Un satellite géostationnaire est un satellite terrestre restant en permanence à la verticale d’un même point de la surface de
la Terre.
1. Montrer que le mouvement d’un tel satellite ne peut être que dans le plan de l’équateur.
2. Si le mouvement d’un tel satellite est circulaire uniforme, à quelle altitude doit-il forcément si situer.
3. Quel peut être l’intérêt d’un tel satellite ?
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Activité B5 : Cas des satellites géostationnaires en orbite autour de la Terre
Un satellite géostationnaire est un satellite terrestre restant en permanence à la verticale d’un même point de la surface de
la Terre.
1. Montrer que le mouvement d’un tel satellite ne peut être que dans le plan de l’équateur.
2. Si le mouvement d’un tel satellite est circulaire uniforme, à quelle altitude doit-il forcément si situer.
3. Quel peut être l’intérêt d’un tel satellite ?
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Activité B5 : Cas des satellites géostationnaires en orbite autour de la Terre
Un satellite géostationnaire est un satellite terrestre restant en permanence à la verticale d’un même point de la surface de
la Terre.
1. Montrer que le mouvement d’un tel satellite ne peut être que dans le plan de l’équateur.
2. Si le mouvement d’un tel satellite est circulaire uniforme, à quelle altitude doit-il forcément si situer.
3. Quel peut être l’intérêt d’un tel satellite ?