2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127
TPE réalisé par les élèves Maxime Juramy, Mathieu LanFranco, Timo Jolivet et Michel Pham.
Suivi par les professeurs M. Ghilini et M. Strozza.
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127

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Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à 2 dont les seuls diviseurs
positifs sont 1 et lui-même.
Depuis des siècles des mathématiciens se sont intéressés aux nombres premiers et ont
essayé, par tous les moyens, de percer le mystère qui se cache derrière eux.
Jusqu’à il y a quelques décennies, trouver une fonction qui fabriquerait des nombres
premiers était juste un grand défi mathématique, mais l’enjeu est maintenant beaucoup
plus important.
La raison pour laquelle tant d’énergie est investie dans la recherche de ces nombres est
qu’ils ont aujourd’hui une très grande utilité dans le domaine de la cryptographie et de la
protection de données en général.
Nous répondrons à la problématique en étudiant deux différents aspects du sujet :
La recherche des nombres premiers : nous nous sommes confrontés nous-
mêmes à ce problème et avons essayé d’élaborer des méthodes afin de trouver
des nombres premiers. Nous exposerons donc nos propres travaux ainsi que
ceux effectués par les "grands" mathématiciens au fil des siècles.
L’application des nombres premiers : nous verrons ici à quoi les nombres
premiers sont utiles en nous basant sur un exemple : le système de cryptage RSA
sur lequel nous avons fait des expériences et des tests afin de voir quel rôle ont
les nombres premiers dans son utilisation.
-

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Voyons de quelle manière les mathématiciens recherchent ces nombres,
avec des moyens variés, de la théorie sur papier datant de plusieurs siècles
ou encore de l’algorithme intelligent traité par un ordinateur
supercalculateur…
A) Les recherches avant l’ordinateur
Nous exposons ici tout ce qui a été utile pour nos recherches (et pour les
recherches en général). Ce sont des résultats théoriques qui pourront être
exploités par un ordinateur par la suite.
 Il existe une infinité de nombres premiers :
La quête d’un plus grand nombre premier ne sera jamais terminée : il existe une
infinité de nombres premiers. Ce résultat fut démontré par Euclide.
La preuve est simple : (par l’absurde)
Supposons que lP, l’ensemble des nombres premiers, soit fini.
Soit alors
1
p
=2 ;
2
p
=3 ; … ;
n
p
les x nombres premiers.
1...
21  n
pppN
Ce nombre n’est ni divisible par
1
p
,
2
p
ni par
n
p
.
Et pourtant
N
(comme tout nombre) admet un diviseur premier p.
Donc p est premier et
n
pppp ;...;; 21
 n ppp ;...;; 21
lP , contraire à l’hypothèse.
 Les Cribles :
Une des méthodes les plus courantes pour trouver des nombres premiers est la
méthode des "cribles" (dont le plus connu est celui d’Eratosthène).
Le principe est simple ; on dresse la liste de tous les nombres compris entre 1 et
un entier n choisi. On procèdera ensuite à l’élimination de tous les nombres qui ne sont
pas premiers dans le tableau (on enlève d’abord tous les nombres pairs et > 2).

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Exemple : Le crible d’ Eratosthène :
On désire trouver la liste des nombres premiers inférieurs à 100.
On dresse donc la liste.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
On raye tous les multiples de 2 supérieurs à 2.
On procède ensuite de la même manière pour 3.
Pas pour 4 car cela a déjà été fait avec 2. Donc on ne vérifiera
plus avec aucun entier pair.
On continue donc avec 5, 7 et cela jusqu’à
n
(10 dans ce cas).
Les nombres restants et non rayés sont donc des nombres
premiers.
 Les nombres de Fermat et de Mersenne :
Il existe des nombres que l’on appelle nombres de Fermat et nombres de
Mersenne (nom de leurs inventeurs).
Fermat :
122 n
n
F
Mersenne :
21
p
p
M
, avec p premier
Ces nombres qui ne sont pas toujours premiers constituent un moyen efficace de
noter les nombres premiers et aussi de les rechercher sans être encombré par la taille
d’un nombre de l’ordre de
1000000
2
par exemple.
Fermat pensait que sa formule ne donnait que des nombres premiers. Cependant
ils ne sont tous premiers que jusqu’au cinquième.

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 Le "petit" théorème de Fermat :
Le théorème dit :
Soit p un nombre premier et a un entier non divisible par p.
Alors
pap01
1
On peut donc utiliser ce résultat et dire que si p est premier, alors
pap01
1
.
Cela nous permettra donc de vérifier si p est premier ou non.
 La densité des nombres premiers :
Densité de nombres premiers autour de
n :
)ln(
1n
Quantité de premiers inférieurs à n :
ln( ) 1
n
n
Le nième premier est environ égal à
)ln(. nn
Ecart moyen entre deux premiers
consécutifs :
)ln( n
Ces formules, qui donnent des résultats imprécis permettent de donner
une approximation du comportement des nombres premiers.
Ces formules permettent d’étudier, entre autres, la répartition et la densité des nombres
premiers. Le couplage de ces formules et d’un ordinateur puissant peu donner des
résultats intéressants.
B) Nos propres recherches
Nous avons utilisé les outils exposés dans la partie A) afin d’effectuer des
tests probabilistes, d’étudier le comportement des nombres premiers et
d’essayer de trouver une fonction génératrice de nombres premiers.
 Approche d’une fonction des nombres premiers (EXCEL) :
Nous allons chercher une fonction qui nous donnerait tous les nombres premiers,
ou du moins, une fonction qui nous en donnerait le plus possible ou qui nous
rapprocherait de ceux-ci, car il n’a été trouvée pour l’instant aucune fonction qui à
chaque « x » associe une valeur « y » qui correspond à un nombre premier.