Terminale S2 - Devoir pour le 1— Mars 2010

Une introduction aux nombres complexes -Terminale S2 - Devoir 2 pour le 12 /11/12
Il est permis de rendre une copie pour plusieurs élèves (en précisant un peu qui a fait quoi)
p et q sont des réels fixés dont au moins un n'est pas nul.
L'équation, d'inconnue x, x3 + px + q = 0 est désignée par ( E ).
On désigne par f la fonction définie sur IR par f x   x3  px  q .
0 ) Montrer que C f , la représentation graphique de f dans le plan muni d’un repère admet le
point J 0 ; q pour centre de symétrie (méthode à l’ex 1 page 85).
1 ) On admet le résultat suivant : si une fonction est dérivable sur un intervalle, on peut tracer
sa représentation graphique G d'un seul coup de crayon; en d'autres termes, G ne présente
« pas de trou ». Ce résultat est assez intuitivement évident. Remarquons qu’il implique :
Si une fonction f est dérivable sur un intervalle [a;b] et vérifie f(a).f(b) < 0 alors :
a) l'équation f(x) = 0 a au moins une solution sur l'intervalle ]a;b[.
b) Si de plus, f est strictement monotone sur [a;b], c'est-à-dire f strictement croissante sur
[a;b] ou bien f strictement décroissante sur [a;b], alors cette solution est unique dans ]a;b[.
(pour nous, ceci deviendra un théorème au chapitre 6)
Montrer à l'aide de calculs de limites que ( E ) possède au moins une solution.
2) a ) Donner le tableau de variations de f en distinguant les cas p > 0 , p = 0 et p < 0.
Dans le cas où p < 0, on désigne par  et  les racines de f ' x  en convenant que    .
b ) En déduire que ( E ) ne peut avoir plus de trois solutions.
3 ) On désigne par  le nombre 4p3 + 27q2.
Donner un résultat donnant un lien entre le signe de  et le nombre de solutions de ( E ).
Il y a des calculs à faire. Travailler à plusieurs élèves est autorisé en cas de difficultés.
Demander quoi que ce soit à Internet, des étudiants, profs etc.. est interdit !
Le cas intéressant, pour lequel trouver une idée est nécessaire, est le cas où p < 0. Il faut alors
évidemment faire quelques dessins et s’intéresser à f   et f   …
A la fin, il faut incorporer les deux autres cas au résultat final (ça, c 'est facile).
On veut à la fin un résultat du type : si  < 0, alors..., si  = 0, alors..., si  > 0, alors...,
Ce nombre  est appelé discriminant de l'équation (E), comme pour le degré 2, car en le
calculant on peut discriminer (= séparer) les cas possibles pour le nombre de solutions.
Ne pas utiliser les résultats vus avec le  = b2 - 4ac bien connu : (E) est de degré 3 !
4 ) On admet l'évidence (pourquoi est ce vrai ? C’est 1b) ) suivante :
Pour tout réel fixé z, l'équation, d'inconnue x, x3 = z a une unique solution. Cette solution
1
est désignée par
3
1
z ou z 3 et est appelée racine cubique de z . C’est z 3 sur la calculatrice.
 
Cette dernière notation est pratique car elle permet d’étendre l’identité a n
p
 a n. p au cas où
1
n et p ne sont pas des entiers. De même, si x  0,
Deux exemples :
3
27 3
 et
8
2
3
x est aussi noté
n
x (rarement !) ou x 2 .
 1000  10 .
De même si n est un entier (positif) impair, on définit
entier (positif) pair, on définit
2
x x
1
n
n
1
n
x  x pour tout réel x et si n est un
pour tout réel x  0 ; on y reviendra.
Supposons que  > 0. Soient u et v les nombres : u  3
q 1 
q 1 
et v  3
.


2 6 3
2 6 3
a ) Montrer sans trop de calculs que u + v est une solution de ( E ).
(Commencer par prouver que pour tous les nombres u et v, (u + v)3 =u3 +v3 +3uv(u + v))
b ) Montrer que ce nombre u + v est le même que celui de la formule du début de l’activité 1
page 232 du livre.
c ) Faire l’activité 1 page 232 du livre. On a de la chance car on s’épargne la question, difficile
mais faisable, assez calculatoire bien sûr : comment Cardan a-t-il découvert cette formule ?
Commentaire sur les question s 1b) et 2d)
Soit n un entier. On rappelle qu'un polynôme de degré n (en la variable x) est une expression du
type an x n  ...a2 x 2  a1 x  a0 où les nombres a0 , a1 , ...an sont fixés avec an  0.
On peut admettre le théorème suivant (qui n’est plus au programme) :
Soit a un réel fixé. Si P(x) est un polynôme dont a est une racine (ce qui signifie que a est une
solution de l’équation P (x)=0), alors on peut mettre (x-a) en facteur dans P(x),
c'est-à-dire qu 'on peut trouver un polynôme Q(x) tel que P(x) = (x- a).Q(x).
Bien sûr, ce théorème est faux si des cosinus ou des exponentielles interviennent dans P(x) !
La réciproque de ce théorème est évidente : si (x-a) est en facteur dans P(x), alors P(a)=0.
Commentaire (plus important) sur la question 2c)
On peut constater que cet étrange nombre i est utilisé au cours des calculs mais qu'ensuite il «
s'évapore » comme un rêve, ce qui était rassurant pour les Italiens du seizième siècle : on
utilise i mais il n'apparaît pas dans le résultat final (« tout est rentré dans l'ordre »).
Depuis, les mathématiques ont fait des progrès et l'existence du nombre i a été justifiée ( c' est
le début du cours qui sera présenté à la rentrée). Ce nombre i n'a (finalement !) rien
d'extravagant : comme on le verra, il peut être utilisé pour simplifier certaines questions de
géométrie plane; il est également utile en physique (pas au niveau du lycée malheureusement).
L’égalité i 2  1 ne contredit pas ce qu’on savait avant : i n’est pas un nombre réel !
5 ) Notons qu’en divisant par a’, toute équation du type a ' X 3  b' X 2  c' X  d ' '  0 se
ramène à une équation du type X 3  bX 2  cX  d  0 désignée par (E’).
Montrer qu’on peut trouver un nombre  (dépendant de b, c et d) tel que
X est solution de (E’)  X   est solution d’une équation du type ( E ).
Avec un changement d’inconnue, la résolution de ( E ) permet celle d’autres équations de degré 3.