Espaces vectoriels de type fini

E désigne ici un K-ev (où K est un sous corps de C)
I Les théorèmes fondamentaux
A) Existence de base
Théorème :
On suppose que E admet une famille génératrice finie g. Alors, de g, on peut
extraire une base de E.
Démonstration :
Montrons par récurrence que, pour tout
Nm
, « si E admet une famille
génératrice g de cardinal m, alors, de g, on peut extraire une base de E » (P(m))
 P(0) : Si E admet une famille de cardinal 0, c’est que
E
E0
et la famille
vide est une base de E.
 P(1) : Si E admet une famille génératrice de cardinal 1, disons
)( 1 ug 
:
- Si
E
u0
1
, alors
E
E0
, et est alors une base de E, extraite de g.
- Si
E
u0
1
,
)( 1 u
est une famille libre et génératrice de E, extraite de g (car
égale à g).
 P(2) : Si E admet une famille libre et génératrice de cardinal 2, disons
),( 21 uug 
:
- Si
),( 21 uu
est libre, alors c’est une base de E, extraite de g.
- Si elle ne l’est pas, alors l’un des
i
u
, disons
2
u
, est combinaison linéaire des
« autres » (c'est-à-dire
1
u
). Alors
)( 1 u
est génératrice de E. D’après P(1), on
peut donc en extraire une base de E.
 Soit
*Nm
. Supposons P(m). Montrons
)1P( m
. Si E admet une famille
génératrice de cardinal
1m
, disons
),...,( 121  m uuug
:
- Si
),...,( 121 m uuu
est libre, alors elle est une base de E, extraite de g.
- Si elle ne l’est pas, alors l’un des
i
u
, disons
1m
u
est combinaison linéaire des
autres. Alors
),...,( 21 m uuu
est génératrice de E. D’après P(m), on peut donc en
extraire une base de E, ce qui achève la récurrence.
Conséquence :
(1) Tout K-ev de type fini admet une base (finie)
(2) « théorème d’extraction de base » : de toute famille génératrice finie d’un
K-ev, on peut extraire une base (finie) de ce K-ev.
B) Dimension
Théorème et définition :
Soit E un K-ev de type fini. Alors toutes les bases de E ont le même cardinal, il est
appelé la dimension de E, noté
)dim( E
.
Démonstration :
Lemme :
Pour tout entier
Nn
,
1n
vecteurs qui sont combinaisons linéaires de n
vecteurs de E forment toujours une famille liée.
En effet, montrons ce lemme par récurrence sur n :
 Pour
0n
: « 1 vecteur combinaison linéaire de 0 vecteur est lié ». C’est vrai
car une combinaison linéaire de 0 vecteurs, c’est
E
0
Espaces vectoriels de type fini

 Pour
1n
: « 2 vecteurs combinaison linéaire de 1 vecteur forment une
famille liée ». Si
100 uv
et
111 uv
, alors
),( 10 vv
est liée :
Si
0
0
, alors
0
0
1
1vv
. Sinon
E
v0
0
. Donc
0
v
et
1
v
sont colinéaires.
 Soit
2n
, supposons le résultat vrai pour
1n
.
Considérons
1n
vecteurs
n
vvv ,..., 21
, combinaisons linéaires de n vecteurs
n
uuu ,...,21
. On a donc des scalaires
ji,
avec
ni 0
et
nj 1
tels que :
)(...
)(...
)(...
,22,11,
1,122,111,11
0,022,011,00
nnnnnnn
nn
nn
Luuuv
Luuuv
Luuuv
- Si
0,,0 , ni ni
, alors
n
vvv ,..., 21
sont combinaisons linéaires des
1n
vecteurs
121 ,..., n
uuu
. Par hypothèse de récurrence,
),...,( 121 n vvv
est liée.
Donc
),...,( 21 n vvv
l’est aussi.
- Si l’un des
ni,
, pour
ni ,0
n’est pas nul, disons
nn,
(sinon on échange les
lignes), alors les transformations
n
nn
ni
ii LLL
n
,
,
pour
1,0  ni
donnent :
.......................................................
.......................................................
,..., de linéairen Combinaiso
11
2100
nnn
n
nn
vv
vv
uuuvv
Les vecteurs
1,0,  nivv nii
forment donc une famille liée puisque ce sont n
vecteurs combinaisons linéaires de
1n
(hypothèse de récurrence). Il existe donc
des scalaires
121 ,..., n
non tous nuls tels que
0)(
1
0
n
iniii vv
. Donc
0.
1
0
n
inii vv
avec
 1
0
n
iii
, ce qui prouve que
),...,( 21 n vvv
est liée car
au moins l’un des
i
est non nul, ce qui achève la récurrence.
Maintenant :
Soient B, B’ deux bases (finie) de E, notons m, n leur cardinal.
 B est génératrice de E. donc chacun des m vecteurs de B’ est combinaison
linéaire des n vecteurs de B. donc
nm 
(sinon, selon le lemme, B’ serait liée)
 De même,
mn 
. Donc
mn 
Exemple important :
n
K
est de dimension n : on en connaît une base de cardinal n
(la base canonique)
Remarque :
 Si E est de dimension 0, alors
E
E0
 Si E est de dimension 1, alors E est une droite vectorielle.
Vocabulaire : "E de type fini" = "E de dimension finie".
Théorème « de la base incomplète » :
Soit E un K-ev de dimension finie n. Alors toute famille libre de E peut être
complétée en une base de E.
Démonstration :
Soit L une famille libre de E.
 Si L est vide, il suffit de la compléter avec une base de E.

 Sinon,
),...,( 21 p uuuL 
, où
*Np
Soit
),...,( 21 n eeeB
une base de E.
- Si L est génératrice de E, alors L est une base de E.
- Sinon, l’un au moins des
niei,1, 
n’est pas combinaison linéaire de
p
uuu ,..., 21
(car sinon L serait génératrice). Soit alors
ni ,1
1
tel que
),...,(Vect 21
1pi uuue 
. Alors la famille
),,...,(' 1
21 ip euuuL 
est libre. Si elle est
génératrice, c’est une base de E. Sinon, on recommence. Au bout d’un
moment, on obtient une famille libre et génératrice (puisque, au pire,
),...,,,...,( 2121 np eeeuuu
est génératrice).
Conséquence du théorème :
Soit E un K-ev de dimension n. Alors :
(1) Les familles libres de E ont au plus n vecteurs.
(2) Si une famille libre de E est de cardinal n, alors c’est une base de E.
Remarque : la démonstration du théorème montre que, pour compléter une famille
libre en une base de E, on peut imposer de piocher les éléments qui complètent dans une
base, fixée d’avance, de E.
Conséquence du théorème « d’extraction de base » :
Soit E un K-ev de dimension n. Alors :
(1) Les familles génératrices de E sont de cardinal
n
.
(2) Si une famille génératrice de E est de cardinal n, alors c’est une base de E.
Théorème :
Soit E un K-ev. Alors :
majoréest de libres familles des cardinal le
finie base uneadmet il
finie egénératric famille uneadmet il finiedimension deest
E
E
Démonstration : (les deux premières équivalences sont des rappels)
: Evident, l’ensemble est majoré par
)dim( E
: Supposons que le cardinal des familles libres de E est majoré. L’ensemble des
cardinaux des familles libres est donc une partie non vide (contient 0) et majorée de N.
On note n le maximum de cette partie.
Soit alors une famille L de cardinal n.
- Si
0n
, alors
E
E0
car est la seule famille de cardinal 0.
- Sinon,
),...,( 21 n uuuL 
. Alors cette famille est génératrice, car sinon on
pourrait trouver
Ev
qui n’est pas combinaison linéaire des
i
u
, et ainsi la
famille
),,...,( 21 vuuu n
serait libre de cardinal
1n
, ce qui contredit la
définition de n.
Théorème :
Soit E un K-ev de dimension finie n.
Soit F un sous-espace vectoriel de E.
Alors F a une dimension finie et
n
, et si elle vaut n, alors
EF 
Démonstration :
 Les familles libres d’éléments de F sont des familles libres d’éléments de E.
Donc leur cardinal est majoré par n. Donc F est de dimension finie
np 
(puisque si
),...,( 21 p uuu
est une base de F, alors c’est aussi une famille libre de
E, donc
np 
)

 Si
np 
, alors soit
),...,( 21 p uuu
une base de F. C’est donc une famille libre
de E de cardinal
np 
. C’est donc une base de E. Donc
EF 
.
Théorème :
Soit E un K-ev de dimension finie n. Alors tout sous-espace vectoriel de E admet
un supplémentaire dans E (mais pas un seul en général).
Démonstration :
Soit F un sous-espace vectoriel de E.
 Si
EF 
,
E
0
est supplémentaire de F. (et vice-versa)
 Sinon, F est de dimension finie p avec
np 1
. Soit
),...,( 21 p uuu
une base
de F. C’est aussi une famille libre de E. on peut donc la compléter en une base
),...,,...,( 121 npp uuuuu 
de E. On pose alors
),...(Vect 1np uuG 
. Alors G est
un supplémentaire de F dans E. En effet :
- Soit
Ev
. Donc
     G
nnpp
F
pp uxuxuxuxv
 ...... 1111
. (car
),...,( 21 n uuu
est génératrice de E) C’est vrai pour tout
Ev
. Donc
GFE 
.
- Montrons maintenant que la somme est directe, soit que
E
GF 0
:
Soit
GFv 
, alors
ppuxuxv  ... 11
et
npnp uyuyv   ... 11
. Donc
0...... 1111   npnppp uyuyuxux
. Comme la famille
),...,( 21 n uuu
est
libre,
0...... 2121  pnp yyyxxx
. Donc
0v
.
Donc
E
GF 0
. Donc
E
GF 0
.
Donc
GFE 
II Rang d’une famille de vecteurs
Dans ce paragraphe, E est un K-ev.
Définition :
Soit F une famille de vecteurs de E. Le rang de F est :
))(Vectdim()(rg déf FF 
.
Exemples :
 Si
3
RE
.
])9,8,7(,)6,5,4(,)3,2,1([
321
 uuu
F
. Alors
2)(rg F
(car
)(
2
1312 uuu 
)
 Si
),( RRFE
xxfexfxf x ::1: 321
Alors
3),,rg( 321 fff
(
),,( 321 fff
est libre, donc une base de
),,Vect( 321 fff
)
Démonstration :
Soient
R
321 ,,
, supposons que
0
332211  fff
.
Alors
0)()()(, 332211  xfxfxfx R
. D’où, en prenant trois valeurs pour x,
par exemple -1, 0, 1, on trouve
0
321 
.
Propriétés :
Soit E de dimension finie n.
Soit F une famille d’éléments de E de cardinal p, disons
),...,( 21 p uuuF
Notons
)Vect(FF
. Soit
)(rg Fr
(ainsi,
Fr dim
)
Alors :
*
pr 
:
),...,( 21 p uuu
est génératrice de F donc
rp 
*
nr 
: F est un sous-espace vectoriel de E donc
EF dimdim 
*
 pr
F est libre :
),...,(dim 21 p uuupFpr 
est une base de F.

*
 nr
F est génératrice de E :
 EFnFpr dim
F engendre E.
*
 pnr
F est une base de E (résulte des deux derniers points)
Exemple : famille de 5 vecteurs de rang 3 dans un espace vectoriel de dimension 4 :
)]0,3,2,49(),0,2,5,7(),0,1,0,0(),0,0,1,0(),0,0,0,1[( 
III Somme de sous-espaces vectoriels et dimension
Ici, E est un K-ev de dimension finie n.
Théorème :
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E en somme directe.
Si
),...,( 21 p uuu
est une base de F.
Et si
),...,( 21 q vvv
est une base de G.
Alors
),...,,,...,( 2121 qp vvvuuu
est une base de
GF 
.
En effet :
*
),...,,,...,( 2121 qp vvvuuu
est génératrice de
GF 
: évident.
* Cette famille est libre : si
E
Gv
qq
Fu
pp vµvµvµuuu 0...... 22112211 
, alors
E
uv 0
car F et G sont en somme directe.
Or, si
E
u0
, alors
0,,1  i pi
car
),...,( 21 p uuu
est libre.
Et si
E
v0
, alors
0,,1  i µqi
car
),...,( 21 q vvv
est libre.
Donc
),...,,,...,( 2121 qp vvvuuu
est libre. C’est donc une base de
GF 
.
Conséquence : si F et G sont en somme directe, alors
)dim()dim()dim( GFGF 
Théorème :
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
Alors
)dim()dim()dim()dim( GFGFGF 
Démonstration :
Posons
GFH 
. Alors H est un sous-espace vectoriel de E, F et G.
H est un sous-espace vectoriel de G, il a donc un supplémentaire dans G, disons
1
G
.
Donc
1
GHG 
.
Alors
1
GFGF 
, et F et
1
G
sont en somme directe :
(1) La somme est directe : si
1
GFu 
, alors
HGFu 
, et
1
Gu
. Donc
E
O
GHu  1
. Donc
E
u0
(2)
1
GFGF 
: Déjà,
1
GFGF 
(si
GG
Fwvu
1
1
, alors
GFu 
)
Soit
GFu 
. Alors
GF wvu
. Or,
Gw
. Donc
1
1
G
Hwhw
.
Donc
1
1
car G FHh Fwhvu
Donc
1
GFGF 
Ainsi,
)dim()dim()dim( 1 GFGF 
Or,
)dim()dim()dim( 1HGG 
(car
1
GHG 
)
Donc
)dim()dim()dim()dim( HGFGF 
Conséquence :