Espaces vectoriels de type fini

Espaces vectoriels de type fini
E désigne ici un K-ev (où K est un sous corps de C)
I Les théorèmes fondamentaux
A) Existence de base
Théorème :
On suppose que E admet une famille génératrice finie g. Alors, de g, on peut
extraire une base de E.
Démonstration :
Montrons par récurrence que, pour tout m  N , « si E admet une famille
génératrice g de cardinal m, alors, de g, on peut extraire une base de E » (P(m))
 P(0) : Si E admet une famille de cardinal 0, c’est que E  0 E  et la famille
vide est une base de E.
 P(1) : Si E admet une famille génératrice de cardinal 1, disons g  (u1 ) :
- Si u1  0E , alors E  0 E , et  est alors une base de E, extraite de g.
- Si u1  0 E , (u1 ) est une famille libre et génératrice de E, extraite de g (car
égale à g).
 P(2) : Si E admet une famille libre et génératrice de cardinal 2, disons
g  (u1 , u 2 ) :
- Si (u1 , u 2 ) est libre, alors c’est une base de E, extraite de g.
- Si elle ne l’est pas, alors l’un des u i , disons u 2 , est combinaison linéaire des

« autres » (c'est-à-dire u1 ). Alors (u1 ) est génératrice de E. D’après P(1), on
peut donc en extraire une base de E.
Soit m  N * . Supposons P(m). Montrons P(m  1) . Si E admet une famille
génératrice de cardinal m  1 , disons g  (u1 , u 2 ,...u m1 ) :
-
Si (u1 , u 2 ,...u m1 ) est libre, alors elle est une base de E, extraite de g.
-
Si elle ne l’est pas, alors l’un des u i , disons u m1 est combinaison linéaire des
autres. Alors (u1 , u 2 ,...u m ) est génératrice de E. D’après P(m), on peut donc en
extraire une base de E, ce qui achève la récurrence.
Conséquence :
(1) Tout K-ev de type fini admet une base (finie)
(2) « théorème d’extraction de base » : de toute famille génératrice finie d’un
K-ev, on peut extraire une base (finie) de ce K-ev.
B) Dimension
Théorème et définition :
Soit E un K-ev de type fini. Alors toutes les bases de E ont le même cardinal, il est
appelé la dimension de E, noté dim( E ) .
Démonstration :
Lemme :
Pour tout entier n  N , n  1 vecteurs qui sont combinaisons linéaires de n
vecteurs de E forment toujours une famille liée.
En effet, montrons ce lemme par récurrence sur n :
 Pour n  0 : « 1 vecteur combinaison linéaire de 0 vecteur est lié ». C’est vrai
car une combinaison linéaire de 0 vecteurs, c’est 0 E
Pour n  1 : « 2 vecteurs combinaison linéaire de 1 vecteur forment une
famille liée ». Si v0  0 u1 et v1  1u1 , alors (v0 , v1 ) est liée :

Si 0  0 , alors v1  1 v0 . Sinon v0  0 E . Donc v0 et v1 sont colinéaires.
0
 Soit n  2 , supposons le résultat vrai pour n  1 .
Considérons n  1 vecteurs v1 , v2 ,...vn , combinaisons linéaires de n vecteurs

u1 , u 2 ,...u n . On a donc des scalaires  i, j avec 0  i  n et 1  j  n tels que :
v0   0,1u1   0, 2u2  ...   0,nun
 v   u   u  ...   u
 1
1,1 1
1, 2 2
1, n n



vn   n,1u1   n, 2u2  ...   n,nun
- Si i   0, n ,  i ,n  0 , alors
( L0 )
( L1 )

( Ln )
v1 , v2 ,...vn sont combinaisons linéaires des n  1
vecteurs u1 , u 2 ,...u n1 . Par hypothèse de récurrence, (v1 , v2 ,...vn1 ) est liée.
Donc (v1 , v2 ,...v n ) l’est aussi.
-
Si l’un des  i, n , pour i   0, n  n’est pas nul, disons  n,n (sinon on échange les
lignes), alors les transformations Li  Li 
 i ,n
Ln pour i   0, n  1  donnent :
 n,n

n
v0  0vn  Combinaiso n linéaire de u1 , u2 ,...un
 v   v  .......................................................
 1 1 n



 vn  n vn  .......................................................
Les vecteurs vi  i vn , i  0, n  1  forment donc une famille liée puisque ce sont n
vecteurs combinaisons linéaires de n  1 (hypothèse de récurrence). Il existe donc
des scalaires 1 ,  2 ,... n1 non tous nuls tels que
n 1
 v
i 0
i i
n 1
  (v
i 0
i
i
 i v n )  0 . Donc
n 1
  .v n  0 avec     i i , ce qui prouve que (v1 , v2 ,...v n ) est liée car
i 0
au moins l’un des  i est non nul, ce qui achève la récurrence.
Maintenant :
Soient B, B’ deux bases (finie) de E, notons m, n leur cardinal.
 B est génératrice de E. donc chacun des m vecteurs de B’ est combinaison
linéaire des n vecteurs de B. donc m  n (sinon, selon le lemme, B’ serait liée)
 De même, n  m . Donc n  m
Exemple important : K n est de dimension n : on en connaît une base de cardinal n
(la base canonique)
Remarque :
 Si E est de dimension 0, alors E  0 E 
 Si E est de dimension 1, alors E est une droite vectorielle.
Vocabulaire : "E de type fini" = "E de dimension finie".
Théorème « de la base incomplète » :
Soit E un K-ev de dimension finie n. Alors toute famille libre de E peut être
complétée en une base de E.
Démonstration :
Soit L une famille libre de E.
 Si L est vide, il suffit de la compléter avec une base de E.

Sinon, L  (u1 , u 2 ,...u p ) , où p  N *
Soit B  (e1 , e2 ,...en ) une base de E.
- Si L est génératrice de E, alors L est une base de E.
- Sinon, l’un au moins des ei , i  1, n  n’est pas combinaison linéaire de
 
u1 , u 2 ,...u p (car sinon L serait génératrice). Soit alors i1  1, n
tel que
ei1  Vect (u1 , u2 ,...u p ) . Alors la famille L'  (u1 , u 2 ,...u p , ei1 ) est libre. Si elle est
génératrice, c’est une base de E. Sinon, on recommence. Au bout d’un
moment, on obtient une famille libre et génératrice (puisque, au pire,
(u1 , u 2 ,...u p , e1 , e2 ,...en ) est génératrice).
Conséquence du théorème :
Soit E un K-ev de dimension n. Alors :
(1) Les familles libres de E ont au plus n vecteurs.
(2) Si une famille libre de E est de cardinal n, alors c’est une base de E.
Remarque : la démonstration du théorème montre que, pour compléter une famille
libre en une base de E, on peut imposer de piocher les éléments qui complètent dans une
base, fixée d’avance, de E.
Conséquence du théorème « d’extraction de base » :
Soit E un K-ev de dimension n. Alors :
(1) Les familles génératrices de E sont de cardinal  n .
(2) Si une famille génératrice de E est de cardinal n, alors c’est une base de E.
Théorème :
Soit E un K-ev. Alors :
E est de dimension finie  il admet une famille génératric e finie
 il admet une base finie
 le cardinal des familles libres de E est majoré
Démonstration : (les deux premières équivalences sont des rappels)
 : Evident, l’ensemble est majoré par dim( E )
 : Supposons que le cardinal des familles libres de E est majoré. L’ensemble des
cardinaux des familles libres est donc une partie non vide (contient 0) et majorée de N.
On note n le maximum de cette partie.
Soit alors une famille L de cardinal n.
- Si n  0 , alors E  0 E  car  est la seule famille de cardinal 0.
- Sinon, L  (u1 , u 2 ,...u n ) . Alors cette famille est génératrice, car sinon on
pourrait trouver v  E qui n’est pas combinaison linéaire des u i , et ainsi la
famille (u1 , u 2 ,...u n , v) serait libre de cardinal n  1 , ce qui contredit la
définition de n.
Théorème :
Soit E un K-ev de dimension finie n.
Soit F un sous-espace vectoriel de E.
Alors F a une dimension finie et  n , et si elle vaut n, alors F  E
Démonstration :
 Les familles libres d’éléments de F sont des familles libres d’éléments de E.
Donc leur cardinal est majoré par n. Donc F est de dimension finie p  n
(puisque si (u1 , u 2 ,...u p ) est une base de F, alors c’est aussi une famille libre de
E, donc p  n )

Si p  n , alors soit (u1 , u 2 ,...u p ) une base de F. C’est donc une famille libre
de E de cardinal p  n . C’est donc une base de E. Donc F  E .
Théorème :
Soit E un K-ev de dimension finie n. Alors tout sous-espace vectoriel de E admet
un supplémentaire dans E (mais pas un seul en général).
Démonstration :
Soit F un sous-espace vectoriel de E.
 Si F  E , 0 E  est supplémentaire de F. (et vice-versa)
 Sinon, F est de dimension finie p avec 1  p  n . Soit (u1 , u 2 ,...u p ) une base
de F. C’est aussi une famille libre de E. on peut donc la compléter en une base
(u1 , u 2 ,...u p , u p 1 ,...u n ) de E. On pose alors G  Vect (u p 1 ,...u n ) . Alors G est
un supplémentaire de F dans E. En effet :
- Soit v  E . Donc v  x1u1  ...  x p u p  x p 1u p 1  ...  xn u n . (car (u1 , u 2 ,...u n )
 

F
G
est génératrice de E) C’est vrai pour tout v  E . Donc E  F  G .
- Montrons maintenant que la somme est directe, soit que F  G  0 E  :
Soit v  F  G , alors v  x1u1  ...  x p u p et v  y1u p 1  ...  y n  p u n . Donc
x1u1  ...  x p u p  y1u p 1  ...  y n  p u n  0 . Comme la famille (u1 , u 2 ,...u n ) est
libre, x1  x2  ...  x p  y1  y2  ...  yn  p  0 . Donc v  0 .
Donc F  G  0 E . Donc F  G  0 E .
Donc E  F  G
II Rang d’une famille de vecteurs
Dans ce paragraphe, E est un K-ev.
Définition :
Soit F une famille de vecteurs de E. Le rang de F est : rg (F)  dim( Vect (F)) .
déf
Exemples :
 Si E  R 3 .
1
F  [(1,2,3), (4,5,6), (7,8,9)] . Alors rg (F)  2 (car u 2  (u1  u 3 ) )
  
2
u
u
u
1

2
3
Si E  F(R , R )
f1 : x  1 f 2 : x  e x
f3 : x  x
Alors rg( f1 , f 2 , f 3 )  3 ( ( f1 , f 2 , f 3 ) est libre, donc une base de Vect( f1 , f 2 , f 3 ) )
Démonstration :
Soient 1 , 2 , 3  R , supposons que 1 f1  2 f 2  3 f 3  0 .
Alors x  R , 1 f1 ( x)  2 f 2 ( x)  3 f 3 ( x)  0 . D’où, en prenant trois valeurs pour x,
par exemple -1, 0, 1, on trouve 1  2  3  0 .
Propriétés :
Soit E de dimension finie n.
Soit F une famille d’éléments de E de cardinal p, disons F  (u1 , u 2 ,...u p )
Notons F  Vect(F) . Soit r  rg (F) (ainsi, r  dim F )
Alors :
* r  p : (u1 , u 2 ,...u p ) est génératrice de F donc p  r
* r  n : F est un sous-espace vectoriel de E donc dim F  dim E
* r  p  F est libre : r  p  dim F  p  (u1 , u2 ,...u p ) est une base de F.
* r  n  F est génératrice de E : r  p  dim F  n  F  E  F engendre E.
* r  n  p  F est une base de E (résulte des deux derniers points)
Exemple : famille de 5 vecteurs de rang 3 dans un espace vectoriel de dimension 4 :
[(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (7,5,2,0), (49,2,3,0)]
III Somme de sous-espaces vectoriels et dimension
Ici, E est un K-ev de dimension finie n.
Théorème :
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E en somme directe.
Si (u1 , u 2 ,...u p ) est une base de F.
Et si (v1 , v 2 ,...v q ) est une base de G.
Alors (u1 , u 2 ,...u p , v1 , v 2 ,...v q ) est une base de F  G .
En effet :
* (u1 , u 2 ,...u p , v1 , v 2 ,...v q ) est génératrice de F  G : évident.
* Cette famille est libre : si 1u1  2u2  ...   pu p  µ1v1  µ2v2  ...  µq vq  0 E , alors
 
uF
vG
v  u  0 E car F et G sont en somme directe.
Or, si u  0 E , alors i  1, p , i  0 car (u1 , u 2 ,...u p ) est libre.
Et si v  0 E , alors i  1, q , µi  0 car (v1 , v 2 ,...v q ) est libre.
Donc (u1 , u 2 ,...u p , v1 , v 2 ,...v q ) est libre. C’est donc une base de F  G .
Conséquence : si F et G sont en somme directe, alors dim( F  G )  dim( F )  dim( G )
Théorème :
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
Alors dim( F  G )  dim( F )  dim( G )  dim( F  G )
Démonstration :
Posons H  F  G . Alors H est un sous-espace vectoriel de E, F et G.
H est un sous-espace vectoriel de G, il a donc un supplémentaire dans G, disons G1 .
Donc G  H  G1 .
Alors F  G  F  G1 , et F et G1 sont en somme directe :
(1) La somme est directe : si u  F  G1 , alors u  F  G  H , et u  G1 . Donc
u  H  G1 . Donc u  0 E



OE 
(2)
F  G  F  G1 : Déjà, F  G  F  G1 (si u  v  w
1 , alors u  F  G )
F
G1  G
w1 .
Soit u  F  G . Alors u  v  w
 . Or, w G . Donc w  h  
H
F
G
 h  w1
Donc u  v

F
car hH  F
G1
Donc F  G  F  G1
Ainsi, dim( F  G)  dim( F )  dim( G1 )
Or, dim( G)  dim( G1 )  dim( H ) (car G  H  G1 )
Donc dim( F  G )  dim( F )  dim( G )  dim( H )
Conséquence :
G1
Soient F, G deux sous-espaces vectoriels de E. Alors :
(1)
 F G  E
F et G sont supplément aires dans E  
 F  G  0 E  (2)
(3)
dim F  dim G  n

F  G  0 E  (2)

dim F  dim G  n (3)

F  G  E (1)

En effet :
 (1) et (2)  (3) : évident selon la formule
 (2) et (3)  (1) : dim( F  G )  dim( F )  dim( G )  dim( F  G )  dim( F )  dim( G )
Ainsi, dim( F  G )  n donc F  G  E
 (3) et (1)  (2) : dim( F  G )  dim( E )  n et dim F  dim G  n
Donc dim( F  G )  0 donc F  G  0 E 
IV Applications linéaires en dimension finie
Dans ce paragraphe :
E est un K-ev de dimension finie p  1 .
F est un K-ev de dimension finie n  1.
A) Détermination d’une application linéaire par la donnée des images des vecteurs
d’une base
Théorème :
Soit B E  (e1 , e2 ,...e p ) une base de E.
Soit (v1 , v 2 ,...v p ) un p-uplet de vecteurs quelconques de F.
Alors il existe une unique application linéaire  de E dans F telle que
i  1, p ,  (ei )  vi
Démonstration :

p
Unicité : si  convient, alors, étant donné u  E , u   x j e j . Donc
j 1
p
p
j 1
j 1
 (u )   x j (e j )   x j v j .

Existence : Soit  l’application de E dans F définie par :
:
EF
p
u de composantes 
 x ju j
( x1 ,... x p ) dans B E
j 1
(La définition a un sens car la décomposition dans une base est unique)
Alors  est linéaire :
Soient u , u ' E , de composantes ( x1 , x 2 ,...x p ) , ( x'1 , x'2 ,...x' p ) dans B E et   K .
Alors u  u' a pour composantes ( x1  x'1 , x 2  x' 2 ,...x p  x' p ) dans B E .
p
p
p
j 1
j 1
j 1
Donc  (u  u ' )   ( x j  x' j )v j   x j v j    x' j v j   (u )   (u ' )
Enfin, on a bien i  1, p ,  (ei )  vi :
 
Pour tout i  1, p , e i a pour composantes (0,...,1,...0) dans B E , donc
i
 (ei )  xi vi  vi
Conséquence :
Si B E  (e1 , e2 ,...e p ) est une base de E, et B F  ( f1 , f 2 ,... f n ) est une base de F.
Alors la donnée d’une application linéaire de E dans F revient à la donnée de
n  p scalaires, à savoir les a i , j , pour i  1, n , j  1, p  tels que :
j  1, p ,  (e j )  (vecteur de composante s les ai , j dans B F )
j  1, p ,  (e j )   ai , j f i ( v j )
n
i 1
On range ces scalaires dans un tableau à n lignes, p colonnes, de sorte que, pour
tout (i, j )  1, n  1, p , a i , j est placé sur la i-ème ligne de la j-ème colonne :
 a1,1

 a 2,1
 

a
 n,1
a1, 2
a 2, 2

an,2
 a1, p 

 a 2, p 
 

 a n, p 
Ce tableau s’appelle la matrice de  dans les bases B E et B F (attention : le « et »
n’est pas commutatif)
La j-ème colonne de cette matrice est la colonne des composantes de  (e j ) dans
la base B F .
B) Applications linéaires et images des vecteurs d’une base
Proposition :
Soit   L( E , F ) , B E  (e1 , e2 ,...e p ) une base de E. Alors :
(1) Vect ( (e1 ),  (e2 ),... (e p ))  Im 
(2)  est surjective si et seulement si ( (e1 ),  (e2 ),... (e p )) est génératrice de F.
(3)  est injective si et seulement si ( (e1 ),  (e2 ),... (e p )) est libre.
(4)  est bijective si et seulement si ( (e1 ),  (e2 ),... (e p )) est une base de F.
Démonstration :
p
 p

(1) * Si v  Vect ( (e1 ),  (e2 ),... (e p )) , alors v    j (e j )      j e j   Im  .
j 1
 j 1

p
* Si v  Im  , alors v   (u ) , où u  E . Or, u   x j e j (décomposition de u
j 1


dans B E ). Donc v      j e j     j (e j )  Vect ( (e1 ),  (e2 ),... (e p ))
 j 1
 j 1
(2) Conséquence évidente de (1)
p
p
p
(3) * Si ( (e1 ),  (e2 ),... (e p )) est libre : soit u  ker  , u   x j e j . Alors
j 1
0   u    x j (e j ) . ( (e1 ),  (e2 ),... (e p )) est libre, donc j  1, p , x j  0
p
j 1
. Donc ker   0 E . Donc  est injective.
* Si  est injective : soient x1 , x 2 ,...x p  K . Supposons que
p
 x  (e )  0
j 1
j
j
F
.
p
 p

Alors    x j e j   0 F . Donc  x j e j  0 E (car ker   0 E ). Donc
j 1
 j 1

j  1, p , x j  0 (car (e1 , e2 ,...e p ) est libre). Donc ( (e1 ),  (e2 ),... (e p )) est
libre.
(4) Conséquence directe de (2) et (3)
Conséquence :
Si dim E  p , dim F  n , alors :
 surjective  n  p
 injective  p  n
C) Isomorphismes
Proposition :
Soit E de dimension p, F de dimension n.
Alors E et F sont isomorphes si et seulement si ils ont même dimension.
Démonstration :
 Si E et F sont isomorphes, alors il existe   L( E , F ) bijective. On a alors
dim E  dim F (car alors dim E  dim F et dim F  dim E )
 Si dim E  dim F  p . Soient alors B E  (e1 , e2 ,...e p ) une base de E et
B F  ( f1 , f 2 ,... f p ) une base de F. Il existe alors une application linéaire
  L( E , F ) telle que i  1, p ,  (ei )  f i . Cette application est donc un
isomorphisme (car la famille ( (e1 ),  (e2 ),... (e p )) est libre et génératrice)
Proposition :
Soient E et F de même dimension finie.
Alors, pour tout   L( E , F ) , on la les équivalences :
 est bijective   est injective
  est surjective
Démonstration :
Supposons que dim E  dim F  n . Soit alors B E  (e1 , e2 ,...e p ) une base de E.
Alors :
 est injective  ( (e1 ),  (e2 ),... (en )) est libre
 ( (e1 ),  (e2 ),... (en )) est une base de F (car dim F  n)
  est bijective
On fait la même chose pour l’autre équivalence.
Proposition :
Les isomorphismes conservent le rang, c'est-à-dire que si  est un isomorphisme
de E dans E’, alors, pour toute famille (u1 , u 2 ,...u q ) de vecteurs de E,
rg (u1 , u 2 ,...u q )  rg ( (u1 ),  (u 2 ),... (u q )) .
En effet :
Si on note F  Vect (u1 , u 2 ,...u q ) , alors  ( F )  Vect ( (u1 ),  (u 2 ),... (u q )) , et 
réalise alors un isomorphisme de F dans  (F ) . Donc dim F  dim  ( F ) .
Exemple :
Soit E de dimension n, B E  (e1 , e2 ,...en ) une base de E.
Alors  :
Kn E
est un isomorphisme.
n
( xi )i 1,n  xi ei
i 1
D) Le théorème « noyau - image »
Théorème :
Soient E, F deux K-ev, où E est de dimension finie.
Soit   L( E , F ) .
Alors Im  est de dimension finie, et dim E  dim(ker  )  dim(Im  ) .
Démonstration :
On peut introduire un supplémentaire G de ker  dans E. Ainsi, E  ker   G .
On définit alors ˆ : G  Im  . Alors ̂ est linéaire (C’est en quelque sorte "  / G ")
u (u)
Alors :
 ̂ est injective : ker ˆ  u  G,ˆ (u)  0  u  G, (u)  0  G  ker   0 E 
 ̂ est surjective : Soit v  Im  . v s’écrit  (u ) , où u  E . Alors u  w
'  w
.
ker 
G
Donc  (u )   ( w' )   ( w)   ( w)  v .
Donc ̂ est un isomorphisme. Donc dim(Im  )  dim G .
Or, dim G  dim E  dim(ker  ) . Donc dim E  dim(ker  )  dim(Im  ) .
Conséquence :
On retrouve le fait que :
 dim(Im  )  dim E
  injective  dim E  dim F
  surjective  dim E  dim F
 Si dim E  dim F ,  bijective   surjective   injective
E) Rang d’une application linéaire
Soit   L( E , F ) , où E est de dimension finie.
Alors rg  dim(Im  )
déf
Propositions :
- Si (e1 , e2 ,...e p ) est une base de E, alors :
rg  dim(Im  )  dim( Vect ( (e1 ),  (e2 ),... (e p )))
 rg ( (e1 ),  (e2 ),... (e p ))
- Si on note dim E  p , dim F  n , rg ( )  r , alors :
rn ;r p
r  p   injective ; r  n   surjective ; r  n  p   bijective
(découle directement du théorème noyau – image)
V Formes linéaires et hyperplan
Dans ce paragraphe, E désigne un K-ev de dimension n  2 .
A) Formes linéaires de E.
Rappel : une forme linéaire de E est une application linéaire de E dans K.
L’ensemble des formes linéaires de E est L( E , K ) , noté aussi E * (dual de E).
( E * est un K-ev).
Proposition :
Soit B  (e1 , e2 ,...en ) une base de E.
Les formes linéaires de E sont exactement les applications du type :
, où (a1 , a 2 ,...a n )  K n .
E K
u de composantes a1x1 a2 x2 ...an xn
( x1 , x2 ,... xn ) dans B
En effet :
L’application :
E K
est l’unique application linéaire de E dans K
n
u  xi ei  xi ai
n
i 1
i 1
telle que i  1, n ,  (ei )  ai . La matrice de cette application linéaire  dans les bases
B et (1) est la matrice ligne (a1 , a 2 ,...a n ) (1 ligne, n colonnes)
Cas particulier :
E K
Pour i  1, n , on note p i la forme linéaire : pi
u de composantes  xi
( x1 , x2 ,... xn ) dans B
(matrice (0,...1,...0) ) ; on les appelle les projections relatives à B.
i
La famille des p i est évidemment génératrice de E * (lire « E dual »), et elle est
n
libre :
a p
i 1
i
i
 n

 0 E*  j  1, n ,   ai pi (e j )  0 E .
1
i 



a j
Donc ( pi ) i 1,n  est une base de E * . Donc E * est de même dimension que E. La
base ( p1 , p 2 ,... pn ) est appelée la base duale de (e1 , e2 ,...en ) .
B) Hyperplan
Définition :
Un hyperplan de E est un sous-espace vectoriel de E de dimension n  1 .
Exemple :
En dimension 2, les hyperplans sont des droites.
En dimension 3, les hyperplans sont des plans.
Théorème :
Les hyperplans sont exactement les noyaux des formes linéaires non nulles de E.
Plus précisément :
(1) Si   L( E , K ) \ 0 L ( E ,K ) , alors ker  est un hyperplan de E.
(2) Si H est un hyperplan de E, alors il existe   L( E, K ) \ 0 tel que H  ker  .
(3) Si 1 , 2  L( E, K ) tels que ker 1  ker  2 , alors 1 et  2 sont colinéaires,
c'est-à-dire qu’il existe   K \ 0 tel que  2  1 .
Démonstration :
(1) Si   L( E , K ) \ 0 L ( E ,K ) , alors Im  est un sous-espace vectoriel de K, qui est
de dimension 1. Donc Im  est de dimension 0 ou 1. Si dim(Im  )  0 , alors
Im  0 et   0 L ( E ,K ) . Donc dim(Im  )  1 (et Im   K ).
Donc dim(ker  )  dim E  dim(Im  )  n  1
(2) Soit H un hyperplan de E. Soit (u1 , u 2 ,...u n1 ) une base de H.
On la complète en une base de E : (u1 , u 2 ,...u n ) .
Soit  la forme linéaire qui envoie les ui , i  1, n  1  sur 0 et u n sur 1.
n
Alors ker   H (car pour v   xi u i ,  (v)  0  x n  0  v  H )
i 1
(3) Si 1  0 , ker 1  E ; donc ker  2  E , donc  2  0  1.1 .
Si 1  0 , le noyau de 1 est un hyperplan H de base (u1 , u 2 ,...u n1 ) , que l’on
complète en une base (u1 , u 2 ,...u n ) de E.
Alors :
1 (u1 )   2 (u1 )  0




1 (un 1 )   2 (un 1 )  0
1 (un )  a  K \ 0 ;  2 (un )  b  K \ 0
Donc  2  ba 1 (puisque j  1, n ,  2 (u j )  ba 1 (u j ) et la donnée des images des
vecteurs d’une base détermine l’application linéaire)
Conséquence :
Soit B  (e1 , e2 ,...en ) une base de E. Alors les hyperplans de E sont exactement les
parties de E qui admettent dans la base B, une équation du type a1 x1  a2 x2 ...an xn  0
ou les a i sont des scalaires non tous nuls. De plus, si un hyperplan admet deux
équations, alors elles sont proportionnelles.
Rappel : Etant donnée F  F (K n , K ) , la partie E d’équation F ( x1 , x2 ,...xn )  0
dans la base B est, par définition, l’ensemble des composantes ( x1 , x2 ,...xn ) dans B
vérifiant F ( x1 , x2 ,...xn )  0 .
On verra que si F est un sev de E de dimension p, alors F est l’intersection
d’hyperplans (et peut donc être défini par un système d’équations), le nombre minimum
d’équations nécessaires étant n  p .