annexe 1

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ELEC2753
Annexe 1
version 2012.1
Rappels sur les circuits magnétiques
Introduction
Pour introduire la notion de circuit magnétique, nous allons considérer en premier lieu une
bobine toroïdale comportant n spires supposées jointives (fig. 33.).
Figure 33
Si on fait circuler un courant i dans cette bobine, il apparaît un champ magnétique que l'on
peut calculer par l'application des lois de la magnétostatique.
Figure 34
33
En effet, ce calcul revient à trouver un champ magnétique H et un champ d'induction B qui
vérifient respectivement les lois d'Ampère et de Gauss, ainsi que la relation constitutive qui
les relie (voir le cours de physique de candidature).
L'application de la loi d'Ampère à des contours circulaires situés dans des plans parallèles à la
bobine et dont les centres sont sur l'axe de symétrie de la bobine (figure 34) permet de
calculer H. Par raison de symétrie, le champ magnétique H doit garder une amplitude
constante sur toute la longueur des contours. Sa composante tangentielle Ht est donc telle que,
● si le contour est situé à l'intérieur du tore défini par la bobine,
 
H
(H en A/m),
(97)
 d   2 R H t  n i
● et si le contour est situé à l'extérieur du tore défini par la bobine,
 
 H d   2 R H t  0
(98)
En supposant que le champ H n'a pas d'autre composante que la composante tangentielle Ht
(ce qui sera vérifié plus loin), on déduit de (97) que l'on a
ni
H
en tout point situé à l'intérieur du tore
(99)
2 R
et
H = 0 en tout point extérieur au tore
(100)
Si le rayon intérieur Ri et extérieur Re du tore sont de valeurs voisines (c'est-à-dire si les
dimensions des spires sont faibles devant le rayon moyen Rm = (Ri + Re )/2 du tore, on peut
admettre, sans commettre d'erreur importante, que tous les contours d'intégration situés à
l'intérieur du tore ont plus ou moins la même longueur et assimiler leur longueur à celle d'un
cercle ayant comme rayon Rm .
L'équation (99) devient alors
ni
H
à l'intérieur du tore
2  Rm
(101)
Le champ H a alors la même valeur en tout point situé à l'intérieur du tore.
Le champ d'induction B est relié au champ H par une relation qui ne dépend que de la nature
du matériau dont le tore est constitué. Si le tore ne contient que de l'air ou des matériaux non
magnétiques, le champ d'induction est pratiquement égal à


B  o H
(102)
où o est la perméabilité magnétique du vide. Si par contre le tore est formé d'un matériau
ferromagnétique, il faut remplacer (102) par une relation plus générale
  
BB(H )
(103)
telle que celle représentée à la figure 35.
Quoi qu'il en soit, si le matériau constituant le tore est uniforme et isotrope, le champ B est
comme le champ H uniforme et purement tangentiel dans le noyau, et nul en dehors du noyau.
34
Figure 35
Un tel champ vérifie la loi de Gauss, ce qui justifie a posteriori la supposition faite ci-dessus
d'un champ H purement tangentiel aux contours circulaires.
Puisque le champ B ainsi calculé est tangent aux contours circulaires considérés, il est en tout
point perpendiculaire à la section droite du tore. Le flux  à travers une section droite S du
tore vaut donc :
 
(104)
   B. dS  B.S
S
En conclusion, le champ magnétique n'est différent de zéro qu'à l'intérieur du tore et le flux 
circule dans ce volume comme le courant circule dans un circuit électrique. Par analogie, on
appelle circuit magnétique le volume dans lequel circule le flux produit par le courant i .
En combinant les équations (101) à (104), on obtient une relation entre le flux  et le produit
ni . On appelle ce produit ni la force magnétomotrice  (c'est l'équivalent de la force
électromotrice dans les circuits électriques) et on l'exprime en Ampères-Tours (At), soit
 ni
(105)
La relation qui lie le flux à la force magnétomotrice, soit
   ()
,
(106)
ne dépend que des caractéristiques du circuit magnétique (longueur, section, caractéristique
B-H du matériau). La relation (106) s'obtient à partir de la relation B-H du matériau par un
changement d'échelle des axes, puisque H est proportionnel à  par (100) et que B est
proportionnel à  par (103).
Dans le cas particulier où le matériau est linéaire, en combinant les équations (112)(116) et
en tenant compte de ce que


B H
(107)
on voit que la relation (106) peut s'écrire
35
S

(108)
2Rm
2Rm
On appelle le rapport
la réluctance  du circuit magnétique. C'est l'équivalent de la
S
résistance dans les circuits électriques. En effet, la résistance d'un conducteur de longueur L ,
L
de section S et de résistivité  = 1/ , où  est la conductivité, vaut R 
.
S
Avec les notations qui viennent d'être introduites, (108) peut s'écrire


(109)
L'équation (109) est similaire à la loi d'Ohm (u = R i ).
Généralisation de la définition
La notion de circuit magnétique qui vient d'être introduite pour une géométrie particulière
peut être étendue au ca de dispositifs constitués (fig. 36)
- d'un noyau en matériau magnétique ayant une longueur L et une section droite S, mais
une forme non toroïdale
- et d'un ou plusieurs enroulements bobinés autour de ce noyau.
Figure 36
Bien qu'on ne puisse plus faire appel à des raisons de symétrie pour justifier les hypothèses
qui suivent, on peut les introduire (avec un niveau de précision suffisant) en raison du fait que
les matériaux ferromagnétiques sont beaucoup plus perméables que le vide au champ
magnétique (on a souvent dans ces matériaux B > 1000 o H). L'induction magnétique est
donc beaucoup plus petite en dehors du noyau et en première approximation négligeable.
Nous supposerons dès lors que, à l'intérieur du noyau,
- l'induction magnétique près de la frontière du noyau est tangente à cette frontière,
- l'induction magnétique est en tout point perpendiculaire à la section droite et constante en
amplitude.
36
La première hypothèse signifie que le flux magnétique ne peut traverser la frontière du noyau.
La loi de Gauss (de conservation du flux magnétique) permet alors de définir le flux  du
noyau, et donc de raisonner en terme de circuit magnétique.
A condition de placer les sens de référence des courants des différents bobinages de telle
manière qu'en parcourant chaque bobinage dans le sens fixé par la flèche de référence qui lui
est associée on tourne dans le sens correspondant au sens de référence choisi pour le flux 
circulant dans le noyau (c'est-à-dire celui d'un tire-bouchon qui progresserait dans le sens de
référence choisi pour le flux  ), on peut écrire pour ce flux une relation de la forme (106) à
condition de définir la force magnétomotrice  par la relation
  n j i j
(110)
j
 est la force magnétomotrice totale agissant sur le noyau (somme des courants circulant dans
chaque bobinage, chacun multiplié par le nombre de spires du bobinage où il circule).
Dans le cas linéaire, la relation (106) prend à nouveau la forme (109) où la réluctance du
circuit magnétique,  , est égale à :
L

(111)
S
avec L la longueur de la fibre moyenne, S la section droite du noyau et  la perméabilité
magnétique du matériau qui le constitue.
Remarque :
Les points placés au droit d'une des bornes de chacun des enroulements indiquent qu'en
entrant dans les enroulements par ces bornes, on tourne autour du noyau dans le sens cohérent
avec le sens de référence choisi pour le flux  . Il convient donc de placer les sens de
référence des différents enroulements de la même manière par rapport à ces points pour que la
relation (110) soit applicable.
Circuit avec entrefer
Dans certains cas, le circuit magnétique comporte une zone de faible dimension où il n'y a pas
de matériau magnétique (figure 37). Cette zone est appelée entrefer.
Figure 37
Si la longueur de l'entrefer est faible, on peut admettre que le flux reste canalisé dans l'entrefer
à l'intérieur du volume qu'aurait occupé le fer si le circuit magnétique avait été continu. Dans
37
ces conditions, par la conservation du flux, le champ B dans l'entrefer a la même valeur que
dans le fer. Le champ He dans l'entrefer est beaucoup plus important que dans le fer puisque
l'on a :
- dans le fer :
Hf 
-
B

à l'approximation de la linéarité
(112)
dans l'entrefer
He 
B
(113)
o
D'où
 
L 
H
(114)
 .d l  H f L  H e   B (    o )  ni
ni
(115)
BS 
L

(

)
S  o S
La formule (115) montre que la réluctance du circuit est la somme de deux réluctances, la
réluctance du noyau et la réluctance de l'entrefer :
L



(116)
 S o S
En première approximation, si la longueur du fer n'est pas trop grande devant celle de
l'entrefer, on peut négliger le premier terme et écrire :


o S
Circuit magnétique avec des tronçons de sections différentes
Dans un circuit magnétique comportant des tronçons de fer de sections différentes, si on
suppose que le flux reste concentré dans le fer, la réluctance totale est la somme des
réluctances des différents tronçons (figure 38). En principe, on devrait ajouter une
« réluctance de striction » pour tenir compte des raccords entre tronçons.
Figure 38
(117)