Etude d`une ligne artificielle

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Manipulation 3
Année Universitaire 1999/2000
DUCHENE Romain, DYLEWSKI Thibault, FLOCH Valérie
MANIPULATION 3
ETUDE D’UNE LIGNE ARTIFICIELLE
I.
Principe
Nous allons utiliser une maquette nommée ligne artificielle qui permet sous un
encombrement réduit de simuler le comportement d’une ligne réelle de plusieurs kilomètres
de long.
En Hautes Fréquences, une ligne réelle est un circuit à constantes réparties, c’est à dire qu’on
ne peut pas lui trouver un quadripôle équivalent semblable au quadripôle A.
A. Schéma du quadripôle A
Il est impossible de définir les valeurs de R, L, C et G pour une ligne réelle, car la longueur de
la ligne est supérieure à la longueur d’onde. Mais on peut décomposer la ligne réelle en une
suite d’éléments identiques qui sont pris de longueur suffisamment faible vis à vis de la valeur
de la longueur d’onde de la ligne. La représentation de la ligne a une erreur négligeable grâce
à un autre quadripôle noté B à constantes localisées Ri, Li, Ci et Gi (i étant l’indice de
l’élément unité utilisé).
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B. Schéma du quadripôle B
Ainsi la ligne réelle à constantes réparties de longueur L = n x km peut être assimilée
à une suite de n quadripôle(s) B à constantes localisées à condition que la longueur d’onde
soit grande par rapport à la longueur x de l’élément unité.
II. Application particulière
Dans ce TP, nous construirons une maquette schématisant une ligne téléphonique
réelle de longueur L = 200 km,
La fréquence d’étude sera voisine de 2 KHz, la longueur d’onde sera donc de  = 150 km.
(=c / f)
Nous choisissons un élément unité d’une longueur d’onde faible devant  = 150 km, soit l = 
/ 15 = 10 km.
La ligne artificielle se découpe donc en une association de 20 éléments unité. Nous
déterminerons les constantes de la ligne téléphonique par km :




une résistance répartie Ra = R + RL = 6.2  / km,
une inductance répartie La = 2.5 mH / km,
une capacité répartie Ca = 5.9 nF / km,
une inductance répartie Ga = 0.
Les valeurs des constantes localisées du quadripôle B, schématisant l’élément unité de
10 km, doivent être choisies telles que :




Ri = 10 * Ra = 10 * (R+ RL) = 62  (avec R = 54  et RL = 8 ),
Li = 25 nH,
Ci = 59 nF,
Gi = 0.
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III. Rappels sur le comportement de la ligne
Cette ligne artificielle permet de simuler le fonctionnement d’une ligne Très Haute
Fréquences Avec Pertes.
A. Ligne avec pertes terminée sur son impédance
caractéristique
Le courant ou la tension diminuent le long de la ligne suivant une loi exponentielle. On
peut ainsi déterminer la constante d‘affaiblissement  de la ligne grace à : V(z)=Ke-z
B. Ligne avec pertes terminée sur un court-circuit ou un
circuit ouvert
Dans le cas d’un régime d’ondes stationnaires pures il y a réflexion totale, l’onde réfléchie et
l’onde incidente ont donc la même amplitude.
Expliquer pourquoi la distance entre deux minima consécutifs est d’environ /2, en déduire l
expression de .
Les propriétés de la tension efficace en fonction de la distance Veff(z) sont pour une charge en
court-circuit ou en circuit ouvert (Zr = CC ou CO) une période de  / 2 avec un minima nul.
Les deux nœuds sont donc séparés de  / 2, la périodicité des tension et courant efficaces est
de  / 2.
Pour un minima, l’enveloppe est en sh(z) et pour un maxima, elle est en ch(z). T =  / 2,
s’explique par :
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V(z) = Vi e z + Vr e -z
V(z) = 2*Vi (ch (z ) cos(z) + j ch(z) sin (z))
Veff(z) = V(z) /  2 =  2 Vi ( sh²(z) + sin²(z))1/2 .
sin²(z)  les variations de Veff(z) sont périodiques de période  / 2.
D’où  = 2 / .
Pourquoi le ROS diminue-t-il à mesure que l’on s’éloigne de la charge ?
Le taux d’ondes stationnaires, ROS 1r VM
1r Vm
D’après les données, la tension maximale (VM) croie moins rapidement que la tension
minimale (Vm) lorsque l’on s’éloigne de la charge, cela s’explique par l’affaiblissement .
Nous pouvons donc en déduire que le rapport VM / Vm décroît.
Or, le TOS ne varie pas suivant la distance, il est fonction de la charge, il ne peut donc pas
varier en s’éloignant de la charge.
IV. Manipulation
A. Matériel utilisé
La ligne artificielle utilisées est composée de sections unitaires dont voici la représentation :
Il est possible de mesurer la tension aux bornes de chacun des éléments.
Le générateur de tension sinusoïdale est un HAMEG HM8037, nous disposons également
d’un un millivoltmètre permettant la mesure de la tension
-aux bornes de chaque cellule (entre c et d)
-aux bornes de chaque résistance (entre a et b) et d’en déduire grâce à la loi d’Ohm le courant
traversant chaque cellule.
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B. Mesures
I(z) = V1 / R (R= 54 ).
V2 = V(z).
1. Fréquence du générateur : 1KHz avec une tension de
sortie de 1 V
a) Tracé des courbes V(z) et I(z) pour la ligne chargée
par son impédance caractéristique
En négligeant les pertes, on trouve une impédance caractéristique Zc L 651
C
La ligne est maintenant chargée par une impédance caractéristique modélisée par une boite à
décade Zr = 651 . La répartition I(z) du courant et V(z) de la tension le long de la ligne sont
sur le schéma 1 pour V1(z), sur le schéma 2 pour V2(z) et sur le schéma 3 pour I(z).
z (km)
V1 (V)
V2=V(z) (V)
I(z)=V1/R
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1
0,0808
0,076
0,0717
0,0672
0,0633
0,0602
0,0579 0,05622
0,0549 0,05263
1
0,962
0,93
0,9
0,868
0,833
0,791
0,745
0,696
0,663
0,611
1,85E-02 1,50E-03 1,41E-03 1,33E-03 1,24E-03 1,17E-03 1,11E-03 1,07E-03 1,04E-03 1,02E-03 9,75E-04
z (km)
V1 (V)
V2=V(z) (V)
I(z)=V1/R
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
0,04993
0,0473
0,0445
0,0421
0,0397
0,0376 0,03575 0,03436 0,03322 0,03227
0,599
0,575
0,552
0,532
0,513
0,49
0,46
0,434
0,407
0,381
9,25E-04 8,76E-04 8,24E-04 7,80E-04 7,35E-04 6,96E-04 6,62E-04 6,36E-04 6,15E-04 5,98E-04
En déduire la valeur de la constante de perte  à F = 1 Khz
On utilise la formule V(z) = K e - z
Pour z = 0 : V(0) = K = 1. D’où V(z) = e - z
Donc ln(V(z)) = - z c’est à dire, pour z 0,  
D’après les mesures effectuées,
V(30) = 0.9 d’où  = 4.46 10-6 Np/m
V(160) = 0.49 d’où  = 3.51 10-6 Np/m
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ln( V(z))
z
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En effectuant la moyenne de ces deux valeurs on a :   4 10-6 Np/m.
Justifier la formule V(z) = K e -  z
Un millivoltmètre relève une tension efficace donc V(z) est une valeur efficace.
Or à l’adaptation : V’(z) = Vi e -  z
D’où V(z)  Vi e-zz donc K  Vi
2
2
Mesurer en un point donné de la ligne la valeur de l’impédance caractéristique
On utilise la loi d’Ohm (U=RI) au niveau de la charge Zr car Zr = Zc, nous obtenons
V(200)
Zc 
 539 Ω
I(200)
Ce résultat nous montre que l’on ne peut pas réellement négliger toutes les pertes.
b) Etude avec un court-circuit et un circuit ouvert
On ferme successivement la ligne par un court-circuit et un circuit ouvert afin de
mesurer Zcc et Zco pour la première cellule de la ligne.
(1) L’impédance de charge est un court-circuit
V(10) = 0.983 V,
I(10) = V1(10) / R = 0.0559/54 = 1.03 mA
donc Zcc(0) = V(0) / I(0) = 954.36 .
(2) L’impédance de charge est un circuit ouvert
V(10) = 0.908 V,
I(10) = V1(0) / R = 0.0984/54 = 182 mA,
donc Zco(0) = V(0) / I(0) = 498.90 .
(3) Calcul de l’impédance caractéristique (Zc)
D’après la formule, Zc Zcc(z)Zco(z)  954.36 x 498.9
Zc = 690.1 .
Nous constatons que l’impédance caractéristique de la ligne est de 651 , la valeur théorique
est donc proche de la valeur utilisée durant l’expérimentation.
Justification de la formule de l’impédance caractéristique (Zc)
Zr  Zc th(l)
Zc  Zr th(l)
Zcc(0) = Zc th(l) car Zr = 0 en court-circuit.
Zco(0) Zr car Zr = infini en circuit ouvert.
th(l)
Z(0)Zc
D’où Zcc(0) x Zco(0) = Zc². Donc Zc Zcc(0) x Zco(0)
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2. Fréquence du générateur : 2KHz avec une tension de sortie de 1 V
z (km)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
Ligne ouverte
Court-circuit
1,02
0,855
0,947
0,877
0,778
0,949
0,603
0,986
0,579
0,925
0,705
0,77
0,82
0,604
0,816
0,569
0,648
0,782
0,441
0,881
0,327
0,837
0,442
0,639
0,608
0,348
0,674
0,291
0,6
0,55
0,401
0,75
0,137
0,789
0,23
0,652
0,476
0,363
0,62
0,002
En déduire la valeur de la constante de phase  à F = 2KHz
On a  = 150 km, or  = 2  /  d’où  = 4.2 10-5 rad / m.
Déterminer alors sa valeur F’ = 1KHz :
On remarque que F’ = F/2, donc ’ = 2 *  = 300 km.
D’où ’ =  / 2 donc ’ = 2.1 10-5 rad / m.
3. Comparaison avec la théorie pour F = 1KHz
D’après l’expérience, on a obtenue  = 4 10- 6 Np / m et ’ = 2.1 10-5 rad / m.
Calcul théorique de  et  :
  (Ra  jLa)(jCa)  j'
D’après les données on a :
Ra = 6.2 /km
La = 2.5 mH/km
Ca = 5.9 nF/km
D’où  = 2.5 10-5 e j79.24° = 4.6 10-6 + j 2.4 10-5 .
On trouve donc  = 4.6 10-6 Np / m et ’ = 2.4 10-5 rad / m..
Les valeurs théoriques et expérimentales sont donc du même ordre de grandeur.
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