I. Les intérêts des maquettes

ALLAIRE Corentin
AMRI Wafa
BOSC Fabien
BOURGE David
EICHENBERGER Nicolas
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Similitudes
I. Les intérêts des maquettes
Dans l’industrie, un ingénieur est souvent amené à concevoir des machines dont les
calculs peuvent être très longs. De ce fait, plutôt que de se contenter d’hypothèses
simplificatrices plus ou moins fondées, il est préférable de réaliser une maquette.
Le prix de revient d’une maquette n’ayant rien de prohibitif, son utilisation permettra
la mise au point de la machine et d’appliquer les modifications nécessaires ainsi que de les
validées. Cette phase aurait été beaucoup trop coûteuse si elle avait due être réalisée sur la
machine réelle.
Les industries aéronautique et automobiles ont de plus en plus souvent recours aux
maquettes afin de valider le produit. En aéronautique, on vérifie même sur la maquette si
l’avion peut sortir de vrille et on met au point la meilleure méthode pour y arriver. Tous ces
essais sont bien entendus réalisés avant la mise en fabrication du produit.
Ces essais ne peuvent être effectués que si l’on connaît les lois de similitudes qui vont
permettre de calculer les caractéristiques de la machine réelle à partir de celles de la maquette.
Nous allons donc tout d’abord faire un rappel sur le théorème de Vaschy-Buckingham
puis nous allons développer les conditions de similitudes et nous finirons par des exemples.
II. Théorème de Vaschy Buckingham (Théorème
des ).
Il simplifie la mise en œuvre (réduction du nombre d’essais) et la présentation des
résultats du fait de la diminution du nombre de variables effectives et de la mise en évidence
des paramètres adimensionnel adéquats (nombre de Reynolds, rugosité relative…).
1.
Théorème :
Aucun problème physique réel ne contredit ces hypothèses :
Une grandeur physique u est à déterminer en fonction de « n » grandeurs mesurables
(variables ou paramètres) (wi)i=1,…,n.
u=f(w1,w2,…,wn) (1)
Les grandeurs (u, w1,…,wn) nécessitent « m » unités fondamentales (L,L1,…,Lm)
Ex : Mécanique :
L1 = Longueur L ;
L2 = Masse M ;
L3 = Temps T ;
(L,M,T)
Soit z  {u,w1,…,wn}
[z]=L11.L22…Lmm
1
 z   2
m
1
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Similitudes
Ex : [v]=L1M0T-1
1
 v  0
1
 b11 b12  b1n 
b

b2 n 
21

B
 
  


bm1   bmn 
Pour n’importe quel système d’unités fondamentales nous pouvons choisir un système
d’unités pour mesurer les valeurs de n’importe qu’elle grandeur z.
2.
Développement du calcul
La formule (1) peut être exprimée sous forme adimensionnelle :
u=f(w1,w2,…,wn) (1)
Le nombre de grandeurs adimensionnelles est de k=n-rg(B).
Soit x représente les k solutions linéairement indépendantes de B.x=0.
a1
y1
a2
y
soit y 2 solution de B.y=-a


an
yn
Alors la formule (1) se simplifie :
=f(1, 2,…, k)
où ,1 sont des nombres sans dimensions :
=u.w1y1.w2y2…wnyn
i=w1x1i.w2x2i…wnxni
a   (u )
u= w1-y1.w2-y2…wn-yn.g(1, 2,…, k)i=1-k
III. Les domaines d’application
Les problèmes en mécanique des fluides devraient pouvoir tous être résolus à partir
des équations classiques, mais il peut arriver que le système d’équation ainsi formé soit trop
complexe pour être résolue par le calcul (notamment pour les cas de systèmes turbulents).
Plutôt que d’effectuer des approximations qui doivent être justifiée et nuisent à la
précision, on peut être amené à avoir recours à l’expérimentation sur maquette.
Les essais sur maquette permettent de vérifier les calculs, de trouver des solutions que
les théories actuelles sont impuissantes à fournir.
Les résultats des mesures expérimentales et les conclusions établies sur ces maquettes
ne sont transposables au prototype, que si les données définissants chacun des deux problèmes
satisfont un certain nombre de relations que l’on appelle conditions de similitude.
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Similitudes
Ces conditions traduisent certaines analogies entre le prototype et la maquette. Ces
analogies sont d’ordre géométriques, cinématiques, dynamiques, et thermodynamiques.
On appellera « prototype » le modèle en vraie grandeur et « maquette » la réplique à
plus petite échelle.
3.
Similitudes géométriques :
A tout point de la maquette correspond un et un seul point du prototype (point
analogue). La distance entre deux point de la maquette en donc en correspondance avec la
distance entre les deux points homologue du prototype. La grandeur sans dimension qui relie
ces deux distances est appelée le coefficient de similitude géométrique.
Exemple :
On considère l’écoulement d’un fluide autour d’un obstacle :
Maquette :
Prototype :
U
U
Mm
Vm
Mp
Vp
dm
dp
Nous avons :
dp  Kg.dm
Kg est le coefficient de similitude géométrique du système. Il relie les grandeurs
géométriques des deux systèmes ensemble.
Donc :
xp  Kg.xm
yp  Kg. ym
zp  Kg.zm
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4.
Similitudes
Similitudes cinématiques :
De la même manière que précédemment, on définie comme le coefficient d’amplitude
cinématique la grandeur sans dimension qui relie les vitesses entre elles.
Ainsi, en se reportant à l’exemple précédent, nous avons :
Um Vm Wm


 Kc
Up Vp Wp
Kc est le coefficient de similitude cinématique du système.
5.
Similitudes dynamiques :
Ce sont les conditions de similitude qui s’appuie sur les équations de mouvement,
généralement Navier Stokes en mécanique des fluides :
Fi  Fp  Fg  Fv
Fi : force d’inertie
Fp : force de pression
Fg : pesanteur
Fv : force de viscosité
On s’efforce donc de rendre ces valeurs proportionnelles à leurs valeurs homologues
que se soit sur la maquette ou le prototype.
Dans notre exemple :
Fm m.Um2 .dm

 cste
Fp
p.Up2 .dp
On remarque aussi que dans le cas d’écoulement, il est nécessaire que les nombres de
Froude et de Reynolds soient égaux respectivement dans le prototype et dans la maquette.
6.
Similitudes thermodynamique :
C’est la similitude de toutes les autres grandeurs utiles. Elles sont déduites des
coefficients de similitudes précédemment définies.
Pour en revenir à l’exemple, nous avons le débit volumique :
Qvm
Qvp

Um.dm 2
Up.dp
2
 Kc.Kg
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Similitudes
Exemples d’utilisations de similitudes :
Maquette d’avion :
On doit réaliser une maquette d’avion au 1/20, à essayer dans une soufflerie à densité
variable à la même vitesse que le vrai modèle d’avion. Avec l’hypothèse que la température et
viscosité dynamique de l’air ne changent pas, on doit calculer la pression de cette soufflerie.
Pour satisfaire à la similitude dynamique, on doit égaler les nombres de Reynolds :
ρ 1. V1 D1/μ 1 = ρ 2. V2 D2/μ 2
μ ne dépend pas de la pression, donc :
ρ 1. D1
ρ1
D1
------- =
ρ2
= ρ 2. D2
------- =
20
D2
La pression est proportionnelle à la masse volumique, donc la soufflerie doit être à 20
atm.
Comportement d’une jetée de port :
On désire réaliser la maquette d’une jetée de port pour en étudier le comportement,
sachant que le protoype subit des vagues d’une fréquence de 7,5 s. On doit alors calculer la
fréquences des vagues artificielles de la maquette.
Nous avons ici des écoulements à surface libre, nous utilisons donc les conditions de
Froude :
on a donc : V2 / V1 = √ (D2 / D1 )
V1² / (g.D1) = V2² / (g.D2)
La vitesse varie comme LT-1 donc :
V2 / V1 = D2.T1/ ( D1. T2)
 T2 / T1 = (D2 / D1 )1/2
D’ou la période cherchée est : T2 = 7,5 . √(1/20) = 1,67 s.
Bloc de beton immergé :
Un bloc de béton complètement immergé de masse égale à 100kg, de densité 2,5 par
rapport à l’eau, est entraîné par glissement sur le fond d’une rivière lorsque la vitesse de
courant atteint 3m/s.
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Similitudes
On cherche à determiner la vitesse du courant pouvant entraîner un bloc
géométriquement semblable, de masse 150kg et de densité 3,5 . On suppose que le coefficient
de frottement f sur le fond de la rivière est le même dans les deux cas ainsi que le coefficient
de traînée Cx.
Forces exercées sur le loc en béton :
* F = f. (P – π )
Avec
f : coefficient de frottement
Π : poussée d’archimède
P : poids du bloc de béton
* Fx = Cx . Re .  . V² . S /2
On a supposé l’égalité des Cx d’ou les Re sont égaux aussi => on peut donc appliquer
la similitude.
* Fx1 / Fx2 = V1². S1/ (V2².S2)
= V1². L1.H 1 / V2².L2. H2
= V1². L1.  1 . L1 / V2².L2. 2. L2
Or 1 = 2
 Fx1/Fx2 = V1².L1²/V2².L2²
* F1/F2 = (P1- π1)/(P2- π2)
= [ L13.(1 - o) ] / [ L23.( 2 - o) ]
= [ L13.(d1 - 1) ] / [ L23.( d2 - 1) ]
Le bloc se déplace si seulement les deux forces s’égalent :
V1²/V2² = [ L1.(d1 - 1) ] / [ L2.( d2 - 1)]
Si les longueurs L1 et L2 ne sont pas connues, nous pouvons les trouver grace aux
rapports des masses :
m1/m2 = L13.1 / L23. 2
= L13.d1 / L23. d2
=> L1/L2 = (14/15) 1/3
1
1
 15  6  d  1  2

V2:  V1      2
Ainsi on obtient
 14   d1  1 
6