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Histoire de frottements Document : M.Moppert & O.Guinot
TS
Physique
Histoire de frottements
Exercice résolu
- Enoncé –
Remarque : toutes les réponses seront justifiées.
On étudie la chute verticale d’une bille de centre d’inertie G, de masse m et de volume V, dans un fluide
visqueux de masse volumique .
Sur le lieu de l’expérience, la valeur g du vecteur champ de pesanteur vaut 9,8 m.s-2.
A la date t0 = 0 s, G est à l’origine d’un axe
Oy
uur
vertical orienté selon
g
r
et la valeur v0 de sa vitesse est
nulle.
A. Equations différentielles de chute
Dans un référentiel terrestre supposé galiléen, la bille est soumise à trois types de forces : la force de
pesanteur
P
r
, la poussée d’Archimède
F
r
et les forces de frottement. L’ensemble des forces de frottements
exercées par le fluide sur la bille est modélisé par une force unique
f
r
. Deux cas peuvent se présenter :
 Si la vitesse de l'objet par rapport au fluide est faible, le fluide s'écoule sous la forme de couches
continues autour de l'objet (voir la figure 1). Cet écoulement est appelé laminaire. Dans le cas de
l'écoulement laminaire, la valeur f de la force de frottement est directement proportionnelle à la valeur v
de la vitesse de la bille dans le fluide. La constante de proportionnalité k dépend des dimensions de la bille
ainsi que de la viscosité du fluide.
 Pour des corps se déplaçant à grande vitesse dans un fluide, l'écoulement du fluide autour du corps
devient turbulent (voir la figure 2). Un remous désordonné se forme à l'arrière du corps, causant une
différence de pression entre l'arrière et l'avant du corps (la pression est plus faible à l'arrière qu'à
l'avant) qui contribue à augmenter le frottement. Dans le cas de l'écoulement turbulent, la valeur f de la
force de frottement est proportionnelle au carré de la valeur v de la vitesse de la bille dans le fluide.
Tout comme dans le cas de l'écoulement fluide, la constante de proportionnalité k dépend des dimensions
de la bille ainsi que de la viscosité du fluide.
Fig.1 : Ecoulement laminaire Fig.2 : Ecoulement turbulent
1. Complétez le tableau n°1 (en annexe), dans lequel les deux modèles de la force de frottement sont
envisagés.
2. Peut-on dire que la bille est en « chute libre » ?
3. En utilisant la seconde loi de Newton, établissez l’expression littérale de l’équation différentielle de la
chute :
a) Dans le cas d’un écoulement laminaire (équation ).
b) Dans le cas d’un écoulement turbulent (équation ).

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B. Choix d’un modèle pour la force de frottement
La chute de la bille est filmée avec un caméscope et les positions successives du centre d’inertie G sont
repérées avec le logiciel de pointage Regavi ©. Un traitement des données par le logiciel Regressi ©
permet d’obtenir la courbe représentative de la fonction t  vy(t). Cette courbe est modélisée deux
fois (voir figures 1 et 2, en annexe).
On notera que :
- dans l’expression du modèle,
y
dv
dt
est noté vy’, et les valeurs de a et de b sont exprimées en unités SI,
- dans les résultats de la modélisation, l’écart relatif sur vy’ témoigne de la différence (exprimée en
pourcentage) entre la courbe expérimentale et la courbe modélisée.
Quelle est la modélisation la plus satisfaisante ?
ATTENTION : dans les parties C et D, les questions posées ne portent que sur le modèle choisi
précédemment.
C. Exploitation des mesures
1. Déterminez la valeur vlim de la vitesse de la bille :
a) Graphiquement.
b) Par le calcul, à partir de l’expression du modèle et des valeurs de a et de b.
2. Déterminez graphiquement la valeur du temps caractéristique de chute. Que représente cette
grandeur ?
3. On donne m = 1,03 x 101 g.
a) A l’aide d’une analyse dimensionnelle, déterminez l’unité de la constante de proportionnalité k.
b) Calculez la valeur de k.
D. Résolution de l’équation différentielle par la méthode d’Euler
1. Expliquez comment il est possible d’utiliser la méthode d’Euler pour résoudre numériquement l’équation
différentielle.
2. En précisant le pas du calcul, complétez, sans justifier, les cases vides du tableau n°2 (en annexe) avec
3 chiffres significatifs.
3. La valeur trouvée pour la vitesse limite est-elle cohérente avec celles de la question C.1 ?

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Complément mathématique
On considère l’équation différentielle (E) : y’ = 3 – 7 y2 avec y(0) = 0
Soit la fonction f définie sur [0 ; + ∞[ par : f(x) =
84 x
84 x
3 e 1
7e1
-
+
1. Vérifiez que f est définie et dérivable sur [0 ; + ∞[, puis calculez la dérivée f’.
2. En déduire les variations de f.
3. Précisez la limite de f en + ∞.
4. Prouvez que f est bien solution de l’équation différentielle (E).
5. Par rapport au problème de physique posé :
a) Que représente l’équation (E) ?
b) Que représente la fonction f ?
c) Que représente la limite de f en + ∞ ?

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- ANNEXE –
Figure n°1
Figure n°2
 Modèle
laminaire
 Modèle
turbulent

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Tableau n°1
Force
Direction
Sens
Expression
vectorielle
Expression de la
valeur
De pesanteur
P
r
P
r
=
P =
Poussée
d’Archimède
F
r
F
r
=
F =
De frottement
f
r
f
r
=
 f =
f
r
=
 f =
Tableau n°2
t (s)
vy (m.s-1)
0,000
0,000
0,067
0,133
0,200
0,267
0,333
0,400
0,467
0,533
0,600
0,667
0,733