MECANIQUE : TD n°3 - Les CPGE de Loritz

L.PIETRI – Gaz parfait monoatomique - Lycée Henri Loritz – PCSI 2
THERMODYNAMIQUE : TD n°1
A – APPLICATIONS DU COURS
1°) La loi de Maxwell indique que pour un gaz en équilibre interne constitué de N molécules identiques,
le nombre dN de molécules, dont la vitesse est égale à v à dv près est donné par:
dN Av edv
mv
kT
²(²)
2
, avec m :
masse d’une molécule, T: température absolue, kB : constante de Boltzmann, A: constante à déterminer...
a) Déterminer la valeur de A.
b) Calculer la vitesse quadratique u*, en déduire que 1/2mu*²=3/2kBT
c) Calculer la vitesse moyenne vm et la vitesse la plus probable vp dans le gaz.
Données : - intégrale de Stirling :
0
²dxexI axn
n
qui a pour valeurs: - I2=
1
4a a
, I3=
1
2a²
, I4=
3
8a a²
...
Rép : a) A=4N(m/2kBT)3/2 b) u*=(3kBT/m) c) v=(8/.kBT/m) et vp=(2kBT/m)
2°) Les valeurs expérimentales de l’énergie interne massique U (en kJ/kg) de la vapeur d’eau sont :
[P]/bar
[T]/K
523
573
623
673
10
2711
2793
2874
2956
20
2683
2773
2859
2944
a) La vapeur d’eau se comporte-t-elle comme un gaz parfait dans ce domaine de température
b) Calculer U/T.
Rép : a) Non car U=f(T,P) b) U/T=1,7kJ.kg-1.K-1
3°) Un ballon de volume constant, contenant de l’hélium, est lancé à la vitesse v. Déterminer la valeur de
v pour que la température du gaz augmente de 1 degré lorsque la vitesse du ballon s’annule. (On supposera que
l’énergie cinétique totale des molécules se conservent).
Rép : v=(3RT/M)=79ms-1
4°) a) Rappeler la valeur de la vitesse de libération sur Mercure et sur Terre sachant que
Mmercure=0,055MTerrestre et que RMercure=0,38.Rterrestre.
b) La température sur Mercure est de l’ordre de 350°C lorsque le soleil est au zénith. Expliquer
pourquoi cette planète est dépourvue d’atmosphère. On pourra utiliser le cas du gaz CO2,
constituant important des atmosphères de Vénus et de Mars, ainsi que de l’atmosphère primitive de
la Terre.
Rép : a) vlib=(2Gmplanète/Rplanète)=11.km/s pour la terre et 4,3km/s pour mercure b) u*=400m/s pour la terre et 600m/s pour
mercure, par conséquent la proportion de molécules libérées est plus grande sur mercure que sur terre ce qui explique l’atmosphère raréfié
de cette planète.
B – TRAVAUX DIRIGES
I – LE MODELE DU GAZ PARFAIT POUR LE GONFLAGE D’UNE ROUE
Une Chambre à air de volume supposé constant VC=6dm3 contient initialement de l’air à p0=1bar. On veut
porter sa pression à p1=5bar à l’aide d’une pompe à main, opération se déroulant à température constante de
l’atmosphère (t0=17°C). La pompe est constituée d’un cylindre de volume V0=125cm3 dans lequel peut coulisser un
piston. L’air est prélevé dans l’atmosphère à P0, et refoulé dans la chambre à air à travers une valve qui permet de
vider la totalité du cylindre. On donne la masse volumique de l’air 0 dans les conditions (t0=17°C et p0=1bar) :
0=1,3g.dm-3.
1°) Calculer le nombre de coups de pompe nécessaires pour gonfler la roue jusqu’à p1.
2°) Quelle est la pression dans la roue après k coups de pompe.
3°) Quelle est la masse d’air contenue dans la roue à l’état final en fonction de 0, VC, p0, p1 ?
Rép : 1°) k1=192 2°) pk=p0(1+kV0/VC) 3°) m1=0p1VC/p0=39g
II – TEMPERATURE DE MARIOTTE
Soit un gaz de Van der Waals d’équation d’état n=1 :
( )( )
²m
m
a
P V b RT
V
.
1°) Montrer que dans le domaine des pressions pas trop élevées : pVm=RT+p(b-a/RT)

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2°) Pour une température dite de Mariotte TM ce gaz se comporte comme un gaz parfait. Définir TM.
3°) Déduire alors l’allure des isothermes ta=20°C pour H2 et N2 d’après les valeurs des tables :
TM(H2)=112K et TM(N2)=400K. Comparer avec les résultats expérimentaux usuels en coordonnées Amagat.
Rép : 1°) Il faut négliger le terme ab/VM2 2°) Tm=a/(Rb) 3°) ce sont des droites de pente b(1-TM/Ta) et d’ordonnée à
l’origine RTa.
III – ECART AU GAZ PARFAIT
On se propose d’étudier le diazote gazeux à partie des courbes expérimentales données ci-après. Ces
courbes représentent la fonction PVm/RT=f(1/Vm) pour différentes valeurs Ti de la température T. Le rapport
PVm/RT est sans dimension et 1/Vm est exprimé en mol.cm-3. Les valeurs des températures Ti figurent sur les
courbes.
1°) Montrer que le comportement de ce gaz n’est pas parfait.
2°) Pourquoi les courbes ont-elles une ordonnée à l’origine commune ?
3°) a) Donner l ‘équation de chaque courbe sous la forme PVm/RT=1-Bi/Vm. Les Bi sont des coefficients
dépendant de Ti.
b) En déduire l’équation d’état du diazote dans le domaine de température étudié sous la forme :
PVm=RT[1-b(T)/Vm], où b(T) est une fonction de T à déterminer.
c) Ecrire cette équation d’état pour une quantité de matière n quelconque.
d) Donner une interprétation physique de b(T).
4°) Calculer le coefficient  de ce gaz.
Rép : 1°) PVm/RT1, ce gaz n’est pas parfait 2°) Car pour 1/Vm0, tout gaz a un comportement analogue à celui du gaz parfait
3°) a) Bi(Ti)=250,8cm3/mol pour 80K.... b) En utilisant « Best régression » de la calculatrice on obtient Bi=1,62/Ti² en m3mol-1b(T)=1,6/T²...
c) PV=nRT(1-nb(T)/V) d) le terme nb(T)/V traduit l’écart au GP... 4°) =1/T.(1+b(T)/Vm)/(1-b(T)/Vm)1/T pour b/Vm

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C – EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
I - LES COEFFICIENTS THERMOELASTIQUES DU GAZ PARFAIT
1°) Calculer les coefficients thermoélastiques du gaz parfait càd :
1
VV TP
( )
,
1
pp TV
( )
,
T T
VV p
 1( )
.
2°) Vérifier que : =pT
3°) A partir des valeurs de  et , essayez de retrouvez l’équation du Gaz parfait PV=nRT. (On effectue le
calcul inverse car les données expérimentales sont les coefficients thermoélastiques).
 : On admettra le résultat mathématiques suivant, si on a : p(p)=V(V) alors les deux termes sont égaux à une
constante par rapport à V et p.
Rép : 1°) ==1/T et T=1/p 2°) pT= 3°) PV/T=cste=nR
II - TABLES THERMODYNAMIQUES ET EQUATIONS D’ETAT
Le tableau ci-dessous donne le volume molaire V et l’énergie interne molaire U de la vapeur d’eau à la
température t=500°C pour différentes valeurs de la pression p. On donne en outre la constante des gaz parfaits
R=8,314J.K-1.mol-1.
[p]/bar
1
10
20
40
70
100
[V]/m3.mol-1
6,43.10-2
6,37.10-3
3,17.10-3
1,56.10-3
8,68.10-4
5,90.10-4
[U]/kJ.mol-1
56,33
56,23
56,08
55,77
55,47
54,78
1°) Justifier sans calcul que la vapeur d’eau ne se comporte pas comme un Gaz parfait. On se propose de vérifier
si les équations de Van der Waals décrivent bien la vapeur d’eau.
(²)( )pa
VV b RT  
& U=UGP(T)-a/V
2°)  Calculer les coefficients a en utilisant les énergies internes des états p=1bar et p=100bar.
 Calculer le coefficient b en utilisant l’équation d’état à p=100bar
3°) Calculer à l’aide des équations de Van der Waals la température et l’énergie interne à p=40bar. En déduire la
validité de ces équations.
4°) On réalise une détente isochore d’une mole de vapeur d’eau de l’état initial (TI=500°C, pI=100bar) jusqu’à l’état
final (Tf=?, pF=70bar)
 En déduire la température et l’énergie interne de l’état final à l’aide des équations d’état.
5°) Le tableau ci-dessous donne le volume molaire V et l’énergie interne molaire U de la vapeur d’eau sous
p=70bar pour différentes valeurs de la température T.
[t]/°C
300
320
340
360
380
400
[V]/m3.mol-1
5,31.10-4
5,77.10-4
6,18.10-4
6,54.10-4
6,87.10-4
7,20.10-4
[U]/kJ.mol-1
47,30
48,38
49,92
50,17
50,96
51,73
 En déduire si les équations de Van der Waals restent valables.
 Calculer en effectuant une interpolation linéaire par morceaux la température Tf et l’énergie interne Uf.
Rép : 1°) U=U(T,V)ce n’est pas un gaz parfait 2°) a=0,923Jm3mol-2, b=8,20.10-5m3mol-1 3°) U3=55,7kJ/mol et
T3=779KT/T=0,8%
4°) TF=590K, UF=41,4kJ.mol-1<<47,3kJ.mol-1 5°) VdW est mis en défaut et on obtient UF=48,2kJ.mol-1
III - GAZ DE VAN DER WAALS ET DEVELOPPEMENT EN PUISSANCE DE 1/V
L’équation d’état d’une mole de gaz réel peut se mettre sous la forme d’un développement en puissance
de 1/V de la forme:
pV RT B T
VB T
VB T V
    (( ) ( ) ( ) ...)1 1 2 233
. Etablir l’expression des coefficients du Viriel B1(T) et B2(T)
pour un gaz de Van der Waals.
Rép : B1(T)=b-a/RT et B2(T)=b²
IV - EQUATION DE DIETERICI
On considère un gaz satisfaisant à l’équation de Dieterici :
pRT
V bea
RTV
1°) Calculer le coefficient de dilatation isobare  et le mettre sous la forme: =1/T.f(V,T). Donner un
développement limité au premier ordre en 1/V.
2°) Calculer les coefficients du Viriel B1(T) et B2(T) pour un gaz vérifiant l’équation de Dieterici.
Rép : 1°) =1/T.(1+(2a/RT-b)/V+...) 2°) B1(T)=b-a/RT et B2(T)=b²-ba/RT+a²/2R²T²