chapitre 1

Ière PARTIE
NOTIONS DE CALCUL DES PROBABILITES
ET DE VARIABLE ALEATOIRE

CHAPITRE 1
NOTIONS SUR LES PROBABILITES
FORMULES DE BASE
I - Exemples
Il est fréquent de jouer aux cartes, aux dés ou à d'autres jeux de hasard et on peut
ainsi faire appel plus "ou moins intuitivement au calcul des probabilités. Par
exemple :
(1) On jette un dé équilibré et on gagne si la face 6 sort. fl est évident que l'on a
une chance sur 6 de gagner, et on dira que la probabilité que la face 6 sorte est
égale à :
Le calcul est rapide puisque six faces peuvent sortir avec la même chance à la suite
du lancer du dé et qu'une seule correspond au numéro désiré.
(2) On jette un dé et on gagne si la face sortie est supérieure à 4 (c'est à dire 5 ou 6).
On a ainsi deux chances sur six de gagner et la probabilité est de :
(3) On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 et on gagne si on tire un roi ou un
trèfle. Quelles sont les chances de gagner ou quelle est la probabilité de gain ?
- il y a au total 32 cartes qui peuvent être tirées avec une chance identique
(on supposera que le jeu est parfaitement "franc") ;
- 4 sont des rois ;
- 8 sont des trèfles ;

En additionnant, on serait donc tenté de dire que l'on a 12 chances sur 32 de gagner
mais on compte alors deux fois la même carte : le roi de trèfle (une fois comme roi
et un fois comme trèfle).
La réponse exacte est donc de :
4+8-1 = 11 cartes sur 32
et la probabilité de :
(on a 11 chances sur 32 de gagner).
(4) Les exemples ci-dessus sont faciles à appréhender mais on peut étendre le
raisonnement à beaucoup d'autres domaines comme la gestion des entreprises, les
possibilités de réussite d'une opération ou la réaction d'un groupe d'individus à une
question posée. Une des difficultés est d'envisager les différents événements qui
peuvent se produire et de calculer la probabilité de réalisation de chacun.
En effet, dans certains cas on peut faire appel à des techniques de dénombrement,
ou à des "lois" connues, mais pour d'autres, il s'agira d'estimations par manque de
connaissance du phénomène concerné ou parce que l'on cherche à formaliser des
appréciations subjectives du type : "si je fais ceci, comment mon adversaire va ré-
agir ? Avec quelles chances ?"
Toutefois, quel que soit le mode d'obtention des probabilités, leur utilisation dans
divers calculs obéit aux mêmes règles que nous allons maintenant aborder.

II - Notion de probabilité et relations de base
On envisage une situation ou une épreuve (par exemple : le jet d'un dé, le contrôle
d'un stock ou un sondage d'opinion...), dans lesquelles différents événements peu-
vent se produire (par exemple : telle face sort, la pièce contrôlée est bonne, la
réponse à une question est favorable,...).
On a donc une liste d'événements possibles qui peuvent être quantitatifs ou
qualitatifs et que l'on peut noter ei (e comme "événement", i indiquant le repère, le
rang ou le numéro d'ordre ; par exemple, on notera e1 "la pièce est bonne" et e2 "la
pièce est mauvaise").
A chaque événement correspond une probabilité, que l'on notera P(ei) ou Pi (i étant
le même que pour ei qui représente les chances qu'a cet événement de se réaliser
(par exemple I chance sur 6 d'obtenir la face 1 en jetant un dé à six faces).
(1) La probabilité est un nombre compris entre zéro et un
En effet :
- si un événement e^ est "impossible" et ne peut pas se réaliser, "ses"
chances sont nulles et on aura :
Pi = 0
- si on est sûr qu'un événement ei va se réaliser, on dira qu'il est "certain" et :
Pi=1
Par exemple, la probabilité de tirer le deux de pique dans un jeu de 32 cartes est
nulle, car il n'y a pas de deux de pique.
De même, la probabilité de sortir un nombre inférieur à sept lorsqu'on jette un dé à
six faces marquées de 1 à 6 est égale à 1 car, quelle que soit la face sortie, elle sera
inférieure à sept.
(2) Probabilité de l'événement contraire
Soit un jeu de 32 cartes. Si on tire une carte au hasard, la probabilité de tirer un roi
est de 4/32.

Celle de tirer une carte différente du roi (ou "non roi") est de 28/32, que l'on peut
obtenir en faisant le total des cartes autres que le roi (as, dames, etc.) ou en écrivant
simplement : 32-4 =28 cartes qui ne sont pas des rois
et la probabilité cherchée est égale à :
32
4
1ou
32
28
32 432 
c'est à dire
P(non roi) = 1 - P(roi)
ce qui simplifie les calculs.
Plus généralement, si on considère un événement A et sa probabilité P(A), celle
de l'événement contraire notée A sera égale à :
1 - P(A) = P(Ā)
Ā se lit : "non A".
(3) Relations de base du calcul des probabilités
a) Si on considère une carte à jouer tirée au hasard d'un jeu de 32 cartes, la
probabilité d'avoir un roi ou une dame est de :
32
8
32
4
32
4
puisqu'il y a 4 rois et 4 dames dans le jeu
Plus généralement, on peut écrire que :
P(A ou B) = P(A) + P(B) (1)
A et B indiquant deux événements "incompatibles" c'est à dire que l'un et l'autre
ne peuvent se produire ensemble (par exemple tirer une carte qui soit à la fois
dame et roi).
(1) En notation de la théorie des ensembles, on utilise : P(A U B) pour P(A ou B), U indiquant la réunion.