Le potager (géométrie niveau 2)

Le potager
Mme Beauchamp a reçu de sa voisine, 24 mètres de petite clôture blanche (8 sections
de 2 mètres et 8 sections de 1 mètre dont une section peut servir de porte). Elle veut se servir
de ces sections pour se faire un potager qu'elle souhaite de la plus grande superficie
possible. La forme du potager lui importe peu puisqu'elle bénéficie d'un grand terrain mais
elle veut que le potager soit entièrement clôturé afin que son chien ne puisse y pénétrer.
Quelle serait la forme de potager optimale? Quelle en serait alors la superficie?
Note : Utilisez une (des) feuille(s) brouillon(s) pour faire le brouillon de votre plan ainsi que
pour calculer la superficie du potager. Le plan définitif devra être présenté dans l’encadré cidessous.
Plan du potager
Superficie : ______________
Daniel Lalande
Commission Scolaire de la Seigneurie des Mille-Iles
Le potager
Guide de l’enseignant
Présentation
Ce problème vise à amener l’élève à découvrir que le cercle est la figure géométrique qui permet la
plus grande surface pour un même périmètre. Guidé par ses propres conceptions , l’élève devra
passer par des étapes successives qui l’amèneront à découvrir et utiliser plusieurs propriétés de la
géométrie et de l’algèbre. Ils y verront même une ouverture vers la trigonométrie.
1ère étape : Il est possible que les préconceptions de l’élève l’amènent à croire que la surface d’un
quadrilatère (car sa figure sera fort probablement un rectangle) est déterminée exclusivement par son
périmètre. Autrement dit, un périmètre de 24 mètres (en utilisant toute la clôture) donnera
nécessairement une surface de X mètres. À vous de démontrer qu’un carré (de 6m x 6m) offre la plus
grande surface pour un même périmètre.
La surface maximale pour un quadrilatère ayant un périmètre de 24 m sera donc de 36 m2.
Mais le potager doit-il avoir obligatoirement 4 côtés? S’il en avait 6, aurait-on une plus grande
surface?
2e étape : L’élève se demandera fort probablement comment calculer la surface d’un hexagone
régulier. Au besoin, on pourra alors le guider :
1- Vers le découpage de l’hexagone en 6 triangles.
2- En lui faisant voir qu’il est nécessaire de changer 6 fois de direction pour suivre le périmètre de
l’hexagone et faire 360 degrés. Chaque changement de direction sera donc de 60 degrés et
puisque les angles à chaque sommet de l’hexagone seront de 120 degrés, chacun des 6
triangles formant l’hexagone seront équilatéraux (et auront donc 3 angles de 60 degrés).
3- Vers l’application du théorème de Pythagore pour déterminer la hauteur de chacun des
triangles (tous pareils). Les côtés étant tous pareils, ils auront une longueur de 4 mètres. En
divisant le triangle en 2 parties égales, on a 2 triangles rectangles dont l’hypothénuse mesure
4 mètres et le plus petit côté 2 mètres. Reste à appliquer le théorème pour déterminer le 3e
côté (hauteur du triangle). L’aire de chacun des triangles sera donc de :
4m x 3,46m
2
(b x h)/2
3,46 m2
L’aire de l’hexagone sera donc de 6,92 m2 x 6 = 41,52 m2
Mais est-on obligé d’avoir 6 côtés? En avoir 8 permettrait-il d’avoir une plus grande surface? Vérifions!
Daniel Lalande
Commission Scolaire de la Seigneurie des Mille-Iles
3e étape : Dans le cas d’un octogone (8 côtés), nous aurons 8 triangles isocèles et non équilatéraux.
Au besoin, on pourra alors guider l’élève:
1- Vers le découpage de l’octogone en 8 triangles.
2- Comme il faut changer 8 fois de direction pour suivre le périmètre de l’octogone et faire 360
degrés, chaque changement de direction sera donc de 45 degrés et puisque les angles à
chaque sommet de l’octogone seront de 135 degrés, chacun des 8 triangles formant
l’octogone seront isocèles et auront 2 angles de 67,5 degrés et un 3e de 45 degrés.
3- Vers l’application du théorème de Pythagore pour déterminer la hauteur de chacun des
triangles (tous pareils). Sauf que dans ce cas, on ne connaît pas la longueur des 2 côtés
congrus. On ne connaît que la longueur de la base qui est de 3m (24m ÷ 8 = 3m). Il faudra
donc déterminer la hauteur en mesurant sur un plan la hauteur d’un triangle ayant un angle de
67, 5 degrés et une base de 1,5 m. On peut alors faire un plan à l’échelle et déterminer la
hauteur du triangle ou le rapport entre la hauteur et la base du triangle. Et comme ce rapport
demeurera constant, peu importe la mesure du triangle (en autant qu’on conserve les angles),
on pourrait se faire une table des rapports des mesures des côtés d’un triangle en fonction des
angles. On a donc une ouverture vers la trigonométrie.
Dans le cas présent, la hauteur du triangle serait de 3,62m, ce qui nous donnerait une surface pour
chacun des 8 triangles de :
3m x 3,62m
2
= 5,43 m2
L’aire de l’octogone sera donc de 5,43 m2 x 8 = 43,44 m2
Conclusion
On pourrait alors aller vers le décagone(10 côtés) et le dodécagone (12 côtés) et constater que la
surface augmenterait à chaque fois. À la limite, on aurait donc un cercle et le cercle est la figure qui
offre la plus grande surface pour un même périmètre. Dans ce dernier cas, la surface serait donc de
45,83 m2.
Daniel Lalande
Commission Scolaire de la Seigneurie des Mille-Iles