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Synthèse des théories des
définitions des puissances
en régime non sinusoïdal
Dr. Chellali BENACHAIBA
Maître de conférences
Samira BEDDIAR
Maître assistante
Ottmane ABDELKHALEK
Maître assistant
1
Sommaire
1. Introduction
1
2. Théories des puissances en régime non sinusoïdal
1
2.1. Puissance instantanée en régime monophasé non sinusoïdal
1
2.2. Puissance apparente en monophasé
1
2.3. Définition de Budeanu
1
2.3.1. Puissance active P
2
2.3.2. Puissance réactive Q
2
3.3.3. Puissance harmonique D
2
2.3.4. Facteur de puissance
2
2.4. Définition de puissances de Fryze
2
2.4.1. Puissance active P
2
2.4.2. Facteur de puissance actif FPw
2
2.4.3. Facteur de la puissance réactif FPq
2
2.4.4. Courant et tension actives
2
2.4.5. Courant et tension réactives
2
2.4.6. Puissance réactive Q
3
2.5. Puissance instantanée en triphasé
3
2.6. Puissance apparente en triphasé
3
2.7. Définition de Fryze généralisée
3
2.8. Théorie IRP p-q
4
2.9. Définition de puissances de Czarnecki
7
2.9.1. Cas monophasé en régime non sinusoïdal
7
2.9.2. Cas triphasé en régime non sinusoïdal
9
2.10. Définition des puissances du groupe IEEE
12
2.10.1. Système monophasé non sinusoïdal
12
2.10.1.1. Puissance instantanée
12
2
2.10.1.2. Puissance active
12
2.10.1.3. Puissance réactive
12
2.10.1.4. Puissance apparente fondamentale
12
2.10.1.5. Puissance apparente non fondamentale
13
2.10.1.6. Puissance de déformation du courant
13
2.10.1.7. Puissance de déformation de tension
13
2.10.1.8. Puissance apparente harmonique
13
2.10.1.9. Puissance de déformation harmonique
13
2.10.1.11. Puissance déformante de Budeanu
13
2.10.1.12. Facteur de puissance fondamental
13
2.10.1.13. Facteur de puissance
13
2.10.2. Système triphasé non sinusoïdal équilibré
14
2.10.2.1. Puissance apparente avec la résolution de Budeanu
14
2.10.2.2. Puissance apparente efficace
14
2.10.3. Système triphasé non sinusoïdal déséquilibré
14
2.10.3.1. Puissance active
14
2.10.3.2. Puissance active d’ordre positif, d’ordre négative et d’ordre zéro
14
2.10.3.3. Puissance réactive
14
2.10.3.4. La puissance réactive d’ordre positif, d’ordre négatif et d’ordre zéro
15
2.10.3.5. Puissances apparentes par phase
15
2.10.3.6. Puissance apparente d’ordre positif, d’ordre négatif et d’ordre zéro
15
2.10.3.7. Facteur de puissance d’ordre positif
15
2.10.3.8. Puissance apparente efficace
15
2.10.3.9. Puissance de déséquilibre
15
2.10.3.10. Puissance apparente efficace et ses composantes
15
3. Simulations
16
3.1. Circuit monophasé avec tension non sinusoïdal/courant non sinusoïdal
16
3.2. Circuit monophasé avec tension sinusoïdale/courant non sinusoïdal
17
3
3.3. Autres circuits simulés
17
3.4. Système triphasé équilibré avec tensions non sinusoïdales/courants non sinusoïdaux (Taux
de distorsion élevé)
18
3.5. Système triphasé équilibré avec tensions sinusoïdales/courants non sinusoïdaux (Taux de
distorsion élevé)
19
3.6. Système triphasé équilibré avec tensions sinusoïdales/courants non sinusoïdaux (Taux de
distorsion petit)
19
3.7. Système triphasé déséquilibré avec tensions non sinusoïdales /courants non sinusoïdaux 19
3.8. Système triphasé déséquilibré avec tensions sinusoïdales /courants non sinusoïdaux
20
4. Conclusion générale
20
References bibliographiques
Tableaux
4
1. Introduction
L’utilisation des convertisseurs statiques dans
les installations de conversion d’énergie
électrique a considérablement contribué à
l’amélioration des performances et à
l’efficacité de ces installations. En revanche,
ils ont participé à la détérioration de la
«qualité» des courants et des tensions. Et par
conséquent, la dégradation de la qualité de
l’énergie électrique. Pour en améliorer, il est
indispensable de bien connaître tous les
échanges d’énergie entre le réseau et les
différentes charges de façon à pouvoir
compenser les éventuelles perturbations. Par
puissances, on entend toutes les formes
d’échange. En régime continu ou alternatif
sinusoïdal, les définitions des puissances sont
uniques et claires. Cependant, en régime
sinusoïdal lorsque la charge est déséquilibrée
ou
les
tensions
d'alimentation
sont
asymétriques et dans les conditions non
sinusoïdales plusieurs théories de puissances
peuvent être citées dans la littérature.
Malheureusement, jusqu’à présent, aucun
accord sur une définition d’utilisation
universelle n’est arrêté [24].
Dans ce travail on va exposer ces théories,
présenter les résultats de simulations de
plusieurs circuits électriques dans les
conditions non sinusoïdales, en monophasé, en
triphasé
équilibré,
déséquilibré,
avec
différentes valeurs de taux de distorsion, avec
et sans l’impédance interne de la source. À
chaque fois, une étude comparative sera
effectuée entre les théories des puissances
exposées, afin d’y évaluer la validité, la
précision et la rapidité.
2. Théories des puissances en régime non
sinusoïdal
2.1. Puissance instantanée
monophasé non sinusoïdal
en
régime
La puissance instantanée dans un circuit
monophasé est définie comme le taux
d'écoulement d'énergie électrique W ( t ) de la
source d'alimentation à la charge, à savoir:
p( t ) 
d
W ( t )  v( t )i( t )
dt
(1)
v( t )  2 ∑Vh sin( ht   h )

h 1

i( t )  2 ∑I h sin( ht   h )
h 1

(2)
v(t), i(t): Tension et courant instantanés.
La puissance instantanée à une interprétation
physique claire. Quand ce taux est positif, la
charge absorbe une certaine puissance. Par
contre à valeur négative, la charge rend une
certaine puissance au circuit.
2.2. Puissance apparente en monophasé
Ce n'est pas une quantité physique, mais
conventionnelle. Cette puissance n'est liée à
aucun échange d'énergie entre la charge et la
source. La puissance apparente permet de
dimensionner les transformateurs ainsi que la
section des conducteurs.
(3)
S  VI
Où:
V et I: représentent respectivement la valeur
efficace de la tension et du courant qui sont
calculées par les formules suivantes:
v V 
T
1 2
v ( t )dt 
T 0
T
1 2
i I 
i ( t )dt 
T 0∫
Vh2
(4)
h
∑I h2
(5)
h
2.3. Définition de Budeanu
En 1927 Budeanu c’est le premier qui a établi
la définition des puissances dans un circuit
électrique monophasé. Cette définition est
basée sur la décomposition en séries de
Fourier de la tension et du courant. C’est lui
aussi qui a proposé le terme «Puissance
déformante ou harmonique D». Les équations
suivantes traitent le circuit électrique dans les
conditions non sinusoïdales comme la somme
de plusieurs circuits indépendants excités à
différentes fréquences. Par conséquent, elles ne
fournissent aucune base pour la conception des
filtres passifs ou des filtres actifs de puissance
[24].
1
2.3.1. Puissance active P
2.4. Définition de puissances de Fryze
La puissance active P représente la valeur
moyenne de la puissance instantanée pendant
la période de la composante fondamentale. En
autre terme, elle représente le rapport moyen
du transfert d'énergie entre deux sousensembles électriques. Cette puissance décrit
une signification physique claire [7] [11] [28].
Elle représente la puissance nécessaire (utile)
facturée (puissance mécanique des moteurs,
thermique des radiateurs).
En 1932 Fryze a proposé la définition des
puissances dans le domaine temporel
(l’absence de l’analyse en série de Fourrier)
pour un circuit monophasé. C’est lui aussi qui
a proposé le concept de la décomposition du
courant en deux composantes active et réactive
[24].
Où:
V et I sont calculés par les formules (4) (5).
P   Ph  Vh I h cos h
h
(6)
h
Avec:
h  h  h
(7)
2.3.2. Puissance réactive Q
2.4.1. Puissance active P
Elle représente la valeur moyenne de la
puissance instantanée pour une période (la
période de la composante fondamentale). Les
valeurs efficaces du courant et de la tension
sont calculés par les équations (4) et (5)
respectivement.
1
P
T
T
 p(t )dt
0
T
C’est l’augmentation de la puissance apparente
due à l’oscillation d’énergie entre la source et
la charge.
Q  ∑Qh  ∑Vh I h sin  h
h
(8)

1
v(t )i (t ) dt
T 0
(11)
 V w I  VI w
2.4.2. Facteur de puissance actif FPw
h
P
S
(12)
3.3.3. Puissance harmonique D
FPw 
C’est l’augmentation de la puissance apparente
due à la distorsion du courant et/ou tension.
2.4.3. Facteur de la puissance réactif FPq
(9)
D S P Q
2
2
2
2
FPq  1  FPw 2
La puissance réactive Q et la puissance
harmonique D définies par Budeanu ont des
interprétations fausses [6] [7] [11] [24].
2.3.4. Facteur de puissance
Est un paramètre qui représente l'efficacité du
circuit. Le facteur de puissance a été proposé
par l’ingénieur allemand F.Buchholz en 1922
et en 1933 a été expliqué par l’ingénieur
américain W.M.Goodhue [16].
P
FP 
S
(13)
2.4.4. Courant et tension actives
(14)
I w  FPw I
Et
V w  FPwV
(15)
2.4.5. Courant et tension réactives
I q  FPq I
(16)
Et
Vq  FPqV
(17)
(10)
2
2.4.6. Puissance réactive Q
SG  ∑ Pk2  Qk2  ∑Vk I k
k
Q  S  P  Vq I  VI q
2
2
(18)
Fryze a défini la puissance réactive en tant que
le comportement de toutes les parties de la
tension et du courant qui ne contribuent pas à
la puissance active.
Fryze a vérifié en régime sinusoïdal que le
facteur de puissance actif atteint son maximum
( FP  1 ) si et seulement si le courant et la
tension sont proportionnels. Autrement FP<1.
Cependant, dans les conditions non
sinusoïdales, la proportionnalité entre le
courant et la tension n'assure pas un flux de
puissance optimal [11] [24].
k
(23)
Et l’autre qui considère le système comme
une unité:
S∑ 
∑Vk2 ∑I k2
k
k
(24)
Dans le cas d’un système triphasé équilibré
avec des tensions et des courants sinusoïdaux
les quatres puissances apparentes ont la même
valeur numérique. Quand la charge est
déséquilibrée ou dans les conditions non
sinusoïdales la différence devient remarquable.
Ces
puissances
ont
des
définitions
mathématiques sans sens physique [27].
2.5. Puissance instantanée en triphasé
2.7. Définition de Fryze généralisée
Pour un système triphasé avec ou sans neutre,
la puissance instantanée triphasée décrit
l’énergie totale instantanée échangée entre
deux sous ensembles [2] [24]. Elle est donnée
par:
p3 (t )  vR (t )iR (t )  vS (t )iS (t )  vT (t )iT (t ) (19)
p 3 ( t )  v R2  v S2  vT2
Vk2
k  R ,S ,T
i 
∑I k2
k  R ,S ,T
ik  iwk  iqk
(25)
(26)
(19)
(27)
iwk , iqk : Les parties active et réactive du
2.6. Puissance apparente en triphasé
Quatre définitions principales de puissance
apparente ont été proposées [1] [9] [18] [26]
[28]. Deux propositions sont basées sur la
définition de Budeanu:
 S A , la puissance apparente arithmétique.
k
v 
(20)
En régime sinusoïdal équilibré les deux
équations (19) et (20) sont équivalentes.
S A  ∑S k  ∑Vk I k
Rossetto et Tenti [21] [22] ont proposé
l’extension de la définition de Fryze pour un
cas triphasé. Le courant et la tension efficaces
sont données par:
(21)
; k  R,S ,T
k
courant.
Cette méthode suppose la réduction du courant
total de charge au minimum, mais sous la
contrainte que les courants iqk ne génèrent
aucune puissance active. La tache consiste à
trouver le minimum de la fonction objective
suivante:
L( iqR ,iqS ,iqT )  ( i R  iqR )2  ( iS  iqS )2  ( iT  iqT )2 (28)
Et la puissance apparente vectorielle SV :
Avec la condition:
g( iqR ,iqS ,iqT )  vRiqR  vS iqS  vT iqT  0
SV  ( ∑Pk )2  ( ∑Qk )2  ( ∑Dk )2
Le problème peut être résolu en appliquant la
méthode du multiplicateur de Lagrange:
k
k
(22)
k
(29)
Deux autres notions sont basées sur la
définition de Fryze,
La puissance apparente géométrique:
3
0 v R  i qR  2i R 
2 0

   

   
2 0 v S  i qS   2i S 
0

    
0
0
2 v T  i qT   2iT 

   

   
v R v S v T 0      0 
Avec:
2( v .i  v .i  v .i )
2p
  R R2 S2 S 2 T T  2 23 2
v R  v S  vT
v R  v S  vT
(30)
(31)
Remplaçant  dans l’équation (30):
iqR  iR 
   
   
p3
iqS   iS   2
2
2
    vR  vS  vT
i  i 
 qT   T 
v R 
 
 
 vS 
 
vT 
(32)
Et d’après (27) et (32) les courants actifs
minimisés sont:
i wR 
 
p 3
 
i wS   2
2
2
  v R  v S  vT
i wT 
v R 
 
 
v S 
 
vT 
(33)
Si: iqR , iqS et iqT sont compensés. Alors, il ne
reste que iwR , iwS et iwT ce qui réduit les
pertes de transmission. Des contribution
semblables ont été présentées par Furuhashi et
al, Van wyk et al [19], Depenbrock et al [25]
[26].
En utilisant les équations (11), (18) on obtient
les définitions de puissance active et réactive:
P
 vk
k  R ,S ,T
Q
 vk
k  R ,S ,T
(34)
i kw
i kq
(35)
2.8. Théorie IRP p-q
En 1983 Akagi, Kanazawa, Nabae, ont proposé
la théorie généralisée de la puissance réactive
instantanée «The generalized Theory of the
Instantaneous Reactive Power» ou «The
Instantaneous Power Theory»IRPp-q [8] [14].
Elle est valide seulement en triphasé, en
régime sinusoïdal avec charge triphasé
déséquilibrée, en régime non sinusoïdal avec
charge équilibrée ou non et en régime
permanent ou transitoire.
Cette approche fournit les principes
mathématiques
fondamentaux
pour
la
commande des compensateurs de puissance
(filtres actifs de puissance) [10] [24] [23]. Elle
offre l’avantage d’identifier les courants
perturbateurs afin de les compenser
instantanément.
La théorie IRPp-q est basée sur la
transformation algébrique de Parc et Clarke
des tensions et courants dans les coordonnées
R- S -T vers les coordonnées orthogonales
α-β-0.
La transformation de Clarke des tensions est
donnée par la formule suivante:
1 2 1 2 1 2  v R 
 v0 

 
 
 
  2
v   3  1  1 2  1 2  v S 

 
 
 0
v 
3 2  3 2 vT 
 


Et pour les courants
1 2 1 2 1 2  i R 
 i0 

 
 
 
 
2
 1 2  1 2  i S 
i   3  1

 
 
 0
 i 
i 
3
2

3
2


 T 
(36)
(37)
L’avantage de cette transformation est la
séparation de la composante homopolaire à
l’axe-0 (v0 et i0 variables). Cette approche
définit les puissances instantanées qui sont : p
la puissance réelle instantanée, q la puissance
imaginaire instantanée et p0 la puissance
homopolaire instantanée. Elles sont données
par la relation suivante:
 p 0  v 0
  
  
 p 0
  
 q   0

0
v
 v
0   i0 
 
 
v   i 
 
v  i  
(38)
La puissance triphasée instantanée est donnée
comme suit:
p3  vRiR  vS iS  vT iT
 v i  v i  v0i0  p  p0
(39)
4
La puissance imaginaire instantanée peut être
donnée par la relation suivante:
Source
d’alimen
tation
q  v i   v  i

1
3
v R  vS iT  vS  vT iR  vT  v R iS 
q
q
Charge
T
~p
0
p0
(40)
N q
Chacune des puissances p0,, p et q comporte
une partie continue et une partie alternative
(Oscillante):
p0
 p0  p0  ~

~
p  p  p
q  q  q~

~p
R p
S q
(41)
Le sens physique de ces dernières est donné
comme suit (figure1) [20]:
p 0 : La valeur moyenne de la puissance
instantanée d’ordre zéro, correspond à l'énergie
par unité de temps qui est transférée à partir de
la source d'alimentation à la charge par les
composantes d'ordre zéro de la tension et du
courant.
~p : La valeur alternative (oscillante) de la
0
puissance instantanée d’ordre zéro. Elle
indique l'énergie par unité de temps échangée
entre la source d'alimentation et la charge par
les composantes d'ordre zéro.
p : La valeur moyenne de la puissance réelle
instantanée. Elle correspond à l'énergie par
unité du temps qui est transférée de la source
vers la charge (c'est la composante désirée de
la puissance).
~p : La valeur alternative de la puissance réelle
instantanée. C'est l'énergie par unité de temps
qui est échangée entre la source et la charge.
q : Puissance imaginaire instantanée qui ne
contribue pas au flux de puissance instantanée
entre la source et la charge, mais il s’agit plutôt
d’un échange d’énergie entre les différentes
phases du système. Elle indique l'existence des
courants indésirables, qui circulent entre les
phases. Dans le cas des tensions sinusoïdales
équilibrées et de charge équilibrée, avec ou
sans harmoniques, q (la valeur moyenne de la
puissance imaginaire instantanée) est égale à la
puissance réactive conventionnelle.
q
Figure 1: Les puissances dans le cadre de la
théorie p-q[20].
Les courants de référence du compensateur
dans les coordonnées α-β-0 peuvent être
calculés par les expressions suivantes:
 v    ~p  p0 



v   q 
iq 
v
1
 

  v2  v2 
 v

i q  
i0 q  i0
(42)
(43)
Les courants de référence du compensateur
dans les coordonnées R- S -T, sont donnés par
la transformation inverse:
1
i Rq 

 
 
2
1
 i Sq  
3
 
1
i 
 Tq 


2
2
2
 i0 q 
 
 
1 2
3 2  iq 
 
 1 2  3 2  i q 

1
i Nq   i Rq  i Sq  iTq
0

(44)
(45)
En utilisant la théorie des composantes
symétriques. Les puissances p, p0 et q ont les
expressions données ci-dessous.
Les courants et les tensions non sinusoïdaux
peuvent être décomposés en séries de Fourier
comme suit:[18] [24]:


v k (t )   2Vkh sin( ht   kh )

h 1


i (t ) 
2 I kh sin( ht   kh )

k

h 1

(46)
Et sous forme vectorielle sont:



V k   Vkh  kh   V kh

h 1
h 1



I 
I kh  kh   I kh

k

h 1
h 1

(47)
5
V Rh   1

 

  2
V Sh   a

 
V   a
 Th  
1
a
a2
1 V h 
 
 
1 V h 
 
1 V 0h 
 
(48)
Avec:
ae
j
2
3
(49)
Les équations temporelles équivalentes sont:
v Rh (t )  2 Vh sin( ht   h )  2 Vh sin( ht   h )

 2 Vh0 sin( ht   h0 )





v Sh (t )  2 Vh sin( ht   h  120)  2 Vh sin( ht   h  120)

0
0
 2 Vh sin( ht   h )





vTh (t )  2 Vh sin( ht   h  120)  2 Vh sin( ht   h  120)
 2 V 0 sin( ht   0 )
h
h

(50)
La transformation inverse est donnée par:
V  
1 a
 h

  1 
2
V h   1 a
3
 

V 0 
1 1

 h 
a 2  V Rh 




a  V Sh 


1  V Th 








i   3 I h sin( ht   h )   3 I h sin( ht   h )
h 1
h 1









i   3 I h cos( ht   h )   3 I h cos( ht   h )
h 1
h 1



0
0
(55)
i0   6 I h sin( ht   h )

h 1

La partie continue p de la puissance active
instantanée:
∞
∞
h 1
h 1
p  ∑3Vh I h cos( h   h )  ∑3Vh- I h- cos( h-   h- )
(56)
Sa partie oscillante ~p est donnée par:
(51)
Avec:

 

V   V h
h

1



 

V   V h
h 1



V 0   V 0h

h 1








v   3Vh sin( ht   h )   3Vh sin( ht   h )
h 1
h 1









v   3Vh cos( ht   h )   3Vh cos( ht   h )
h

1
h

1



(54)
v0   6Vh0 sin( ht   h0 )

h 1

(52)
Les équations temporelles équivalentes sont
données comme suit :




1  2 V Rh sin( ht   Rh )  2 VSh sin( ht   Sh  120)
v h (t )  

0
0
3  2 VTh sin( ht   Th  120)







 
1  2 VRh sin( ht   Rh )  2 VSh sin( ht   Sh  120)

v h (t )  
0
3  2 VTh0 sin( ht   Th
 120)









2
V
sin(
h

t


)

2
V
sin(
h

t


)
1
 0
Rh
Rh
Sh
Sh

v h (t )  3 
0
0

2
V
sin(
h

t


)


Th
Th


 ∞ ∞  


 ∑[ ∑3Vm I h cos(( m   h )t   m   h )]
m 1 h 1
m ≠h
 ∞ ∞
 ∑[ ∑3V - I - cos((   )t   -   - )]
m
h
m
h
 m 1 h 1 m h

 m ≠h
~
(57)
p
∞ ∞

 
 ∑[ ∑ 3Vm I h cos(( m   h )t   m   h )]
 m 1 h 1
 m ≠h
 ∞ ∞
 ∑[ ∑ 3Vm- I h cos(( m   h )t   m-   h )]
 m 1 h 1

 m ≠h
La partie continue q de la puissance
imaginaire instantanée à l’expression suivante:
∞
∞
h 1
h 1
q  ∑ 3Vh I h sin( h   h )  ∑3Vh- I h- sin( h-   h- )
(58)
Sa partie oscillante q~ est donnée par:
(53)
Et de la même façon pour les courants. Dans le
cadre de la transformation     0 les
tensions et les courants peuvent être obtenus
respectivement comme suit:
6
 ∞ ∞
 


 ∑[ ∑ 3Vm I h sin((  m   h )t   m   h )]
m 1 h 1
m ≠h
 ∞ ∞
 ∑[ ∑3V - I - sin((    )t   -   - )]
m
h
m
h
 m 1 h 1 m h

(59)
~   m ≠h
q
 ∞ ∞

 
 ∑[ ∑3Vm I h sin((  m   h )t   m   h )]
 m 1 h 1
 m ≠h
 ∞ ∞
  h )]
 ∑[ ∑ 3Vm- I h sin((  m   h )t   m
 m 1 h 1

 m ≠h
Pour la puissance homopolaire la partie
continue sera p0 :
p0 
∞
∑3Vh0 I h0 cos( h0   h0 )
(60)
h 1
Et la partie oscillante ~p0 est de l’expression
suivante:
 ∞ ∞ 0 0
0
0
 ∑[ ∑3Vm I h cos(( m   h )t   m   h )]
m 1 h 1
m ≠h
~
p0  
∞ ∞

0 0
0
0
 ∑[ ∑ 3Vm I h cos(( m   h )t   m   h )]
 m 1 h 1
 m ≠h
(61)
Autres contributions sur la théorie d’Akagi
peuvent être citées dans la littérature, la théorie
de vecteur croix «The cross_vector theory», la
théorie p –q –r et la théorie de référence
synchrone «Synchronous reference frame»,
leur objectif c’est l’amélioration des résultats
du filtrage dans les systèmes électriques à
quatre fils [29].
La théorie IRPp-q est très utilisée [10][11].
2.9. Définition de puissances de Czarnecki
La théorie de puissances de Czarnecki est
adaptée à l'analyse dans le domaine
fréquentiel. Elle est valide en régime
monophasé, triphasé équilibré et déséquilibré,
dans les conditions sinusoïdales et non
sinusoïdales, en régime permanent [5][11][12].
2.9.1. Cas monophasé en régime non
sinusoïdal
Les puissances actives harmoniques Ph
peuvent être calculées individuellement pour
chaque harmonique [10] [11]:
Quand Ph  0 signifie que la puissance est
absorbée par la charge.
Quand Ph  0 signifie que la puissance est
absorbée par la source.
Figure 2: La structure générale d’une charge
monophasée.La partie (A) regroupe la charge
La partie (B) regroupe la source d’alimentation.
Le signe de Ph nous permet de décomposer
l’ensemble en N (N: l’ensemble des rangs des
harmoniques considérées qui appartient à
l’ensemble des nombres naturels) à deux sous
ensembles N A et N B :
Si: Ph  0 , donc h  N A et:

  ih  i A
hN A

  vh  v A
hN A

  Ph  PA
hN A
(62)
Si Ph  0 , donc h  N B et:

  ih  i B
hN B

(63)
  v h  v B
h

N
 B

  Ph   PB
hN B
Le courant, la tension et la puissance active
peuvent être données par:

i   i h  i A  i B
 hN


v   v h  v A  v B
hN


 P   Ph  PA  PB
hN


(64)
Le système d’équations (64) peut être interprété
comme suit:
Le courant i contient une partie du courant
d’origine source et une partie d’origine charge
non linéaire. De même la tension v au point de
7
raccordement contient une partie générée par la
source et une partie générée par la charge non
linéaire. D’ailleurs la puissance active
absorbée dans ce point est composée d’une
partie de la source et une partie de la charge.
Entre les courant i A et iB il n’y a pas des
harmoniques communes. Donc:
NA  NB 
(65)
Le produit scalaire ( i A ,iB )  0 , donc i A et iB
sont orthogonaux.
i
2
 iA
2
 iB
2
(66)
Pour les harmoniques h  N A la charge est
considérée comme charge passive de
l’admittance:
Y hA  GhA 
S *h
jBhA  2
Vh
(67)
GeA 
i aA 
PA
(70)
2
vA
PA
vA
(71)
La partie restante du courant i A peut être
décomposée à une composante réactive:
irA  2 Re  jBhA V h e jhωh
(72)
hN A
Son concept a été proposé en 1972 par
W.Shepherd et P.Zakikhani [16]. Sa valeur
efficace est:
irA 
 B
hN A
Vh 
2
hA
(73)
Et une composante dissipée:
Où S h est la puissance apparente harmonique
complexe.
isA  2 Re  (GhA  GeA ) V h e jhωh
S h  Ph  jQh  V h I *h
Ce courant a été recommandé par Czarnecki.
Sa valeur efficace est:
(68)
Et pour les autres harmoniques la charge est
considérée comme la source du courant
j A ( t )  iB ( t ) connectée comme il est montré
dans la figure (3).
i sA 
j A ( t )  iB ( t )
i aA  GeA .v A
Avec :
hN A
hA
 GeA ) 2 Vh
2
(75)
Ph
vh
BhA  
,
2
Qh
vh
2
(76)
Donc le courant de charge peut être décomposé
en quatre composantes physiques CPC:
(77)
i  i aA  i sA  i rA  i B
Qu’ils sont mutuellement orthogonaux:
i
Le courant actif est considéré comme la
composante principale du courant de charge
correspondant à la puissance active. Ce courant
a été présenté par Fryze. Sa valeur est égale à:
 (G
Avec:
G hA 
Figure 3: Le circuit équivalent d’une charge non
linéaire monophasée (A) alimentée par une source
de tension non sinusoïdale.
Pour les harmoniques h  N A la charge est
équivalente à une charge linéaire passive de
l’admittance Y A . Pour les harmoniques h  N B la
charge est équivalente à une source de courant
(74)
hN A
2
iA
 iaA
2
2
 iaA
2
 i sA
2
 i sA
 irA
2
2
 irA
 iB
2
2
(78)
(79)
Les tensions v A et v B sont orthogonaux:
v
2
 vA
2
 vB
2
(80)
(69)
8
Et la puissance apparente au point de
raccordement peut être écrite comme suit:
S v i 
vA
2
 vB
2
iA
2
 S a2  S B2  S E2
 iB
2
(82)
(83)
2
 vB
2
iA
2
(84)
S a : La puissance apparente générée par la
source, cette puissance est correspond de la
charge.
S B : La puissance apparente générée par la
charge, cette puissance est correspond à la
source d’alimentation, elle est produite si
l’impédance interne est considérable.
S E : La puissance apparente forcée.
Le facteur de puissance FP est donné par:
PA  PB
P
FP  
(85)
2
2
S
PA  DsA  Q A2  S B2  S E2
Dans le cas d’une charge linéaire alimentée par
une source de tension non sinusoïdale
N B   (Fig.4).
P
Charge
linéaire en
régime
permanent
Figure 4: Le circuit équivalent d’une charge
linéaire en régime permanent alimentée par une
source de tension non sinusoïdale. La charge
équivalente est une charge résistive.
La formulation mathématique est donnée par
les relations suivantes:
Ge 
ia 
i
2
v
(86)
P
v
(87)
 ( G h  Ge ) 2 Vh 2
 ia
FP 
(91)
h 0
2
2
 is
D s2
2
2
 ir
Q
(92)
2
(93)
ia
P
P


2
S
P  Ds2  Q 2
ia
2
 is
2
2
 ir
2
(94)
2.9.2. Cas triphasé en régime non sinusoïdal
De la même façon, les définitions des
puissances pour un cas monophasé sont
appliquées pour un cas triphasé, ceci en
remplaçant les grandeurs i et v par les vecteurs
i et v. [10] [11]
Figure 5: La structure générale d’une charge
triphasée, circuit à trois fils.
La partie (A) regroupe la charge.
La partie (B) regroupe la source d’alimentation.
 I Rh 
 
 
i( t )   i h( t )  2 Re   I Sh e jht  2 Re  I h e jht
hN
hN 
hN

 I Th 
 
V Rh 




v( t )   v(h t )  2 Re  V Sh e jht  2 Re V h e jht
hN
hN 
hN

V 
 Th 
(95)
(96)
Les valeurs efficaces dans ce cas sont:
i 

1T T

  T  i h ( t )i( t ) 
hN 0

  i Rh
hN

i r  2 Re  jBh V h e jht
(89)

S P 
P
2
2



h 0
2
iB
Q
  V h
h 1  h

is 
S B  vB iB


h 1
(81)
2
S a  v A i A  PA2  DsA
 Q A2
vA
  B h V h 2
i s  G0  Ge V0  2 Re  ( Gh  Ge ) V h e jht (81)
(90)
2
Avec:
SE 

ir 
2
 i Sh
2
 I hT I*h
hN
 iTh
2
 
hN
2
I Rh

2
I Sh

2
I Th

(88)
h 1
9
(97)
v 
1T
hN


  T  vTh ( t )v( t )  VhT Vh*
  v Rh
hN

0
2
 v Sh
2
hN
 vTh
2
   V
hN
(98)
2
Rh
2
 V Sh
 VTh2

Le signe de Ph nous permet de décomposer
l’ensemble N à deux sous ensembles N A et
N B . Donc, les courants, les tensions et les
puissances actives sont comme suit:
Si: Ph  0 , donc h  N A et:

  ih  i A
hN A

  vh  v A
hN A

  Ph  PA
hN A
L’admittance équivalente est:
Y heA  G heA  jBheA 
S *h
vh
2
(102)
Où S h est la puissance apparente harmonique
complexe et peut être calculée comme suit:
(100)
Le courant, la tension et la puissance de charge
peuvent être données comme suit:

i   i h  i A  i B

hN


v   v h  v A  v B
hN


 P   Ph  PA  PB
hN


courant avec j A  i B .
(99)
Si: Ph  0 , donc h  N B et:

  ih  i B
hN B

  v h  v B
hN B

  Ph   PB
hN B
Figure 6: Le circuit équivalent d’une charge non
linéaire triphasée (A) alimentée par une source de
tensions non sinusoïdales. Pour les
harmoniques h  N A la charge est équivalente à
une charge linéaire passive. Pour les harmoniques
h  N B la charge est équivalente à une source de
S h  Ph  jQh  V Th I *h
(103)
Et pour h  N B , les harmoniques sont
considérées comme harmoniques du courant de
la source dans (A), ce qui signifie que la charge
est considérée comme une source de courant:
jA( t )  iB ( t ) .
La conductance équivalente est égale à:
(101)
Pour h  N A la charge triphasée est considérée
comme charge passive montée en triangle
représentée dans la Figure (6).
GeA 
PA
vA
2
(104)
Qui fournit le courant actif:
(105)
i aA  GeA v A
De la valeur efficace
iaA 
PA
vA
(106)
La partie restante du courant i A peut être
décomposée à une composante dissipée:
10
i sA  2 Re
 ( GheA  GeA )V h e jht
(107)
hN A
Sa valeur efficace est égale à:
 ( GheA  GeA )2 Vh 2
i sA 
(108)
hN A
PA  PB
P
FP  
2
S
PA2  DsA2  Q A2  DuA
 S B2  S E2
Dans le cas d’une charge linéaire alimentée
par une source de tensions non sinusoïdales
N B   (Fig.7)
Ph  jQh
La composante réactive
i rA  2 Re
 jBheA V h e jht
Charge
linéaire en
régime
permanent
(109)
hN A
Sa valeur efficace est égale à:
 BheA Vh 
i rA 
2
(110)
hN A
(110)
Figure 7: Le circuit équivalent d’une charge
linéaire triphasée en régime permanent alimentée
par une source des tensions non sinusoïdal .la
charge équivalente est une charge connectée en
triangle.
La composante de déséquilibre:
i uA  2 Re
 bh Ah V h e jht
Ge 
(112)

(113)
(114)
Ou égale à :
hN A

is 
(120)
2
v
P
v
(121)

2
2
 G heA
 BheA
vh
2
(115)

ir 
Donc le courant de charge peut être décomposé
en cinq composantes physiques CPC:
i  i aA  i sA  i rA  i uA  i B
(116)
i
2

(122)
 ( Ghe  Ge )2 Vh 2
(123)
 jBhe V h e jht
(124)
hN
hN
 Bhe Vh 
2
(125)
 bh Ah V h e jht
(126)
hN
i u  2 Re
iu 
 ( Ghe  Ge )V h e jht
hN
i r  2 Re
i uA  Ah v h
2
ia 
(119)
2
P
i s  2 Re
a* : Le conjugué de a
Sa valeur efficace est égale à:
  ih
vh
(111)
hN A

S *h
Y he  Ghe  jBhe 
1 0 0 




*
bh  0 a 0 


0 0 a 
Et
Ah   Y STh  aYTRh  a* Y RSh
i uA 
(118)
hN
  ih
hN
2
ia
2
 is


2
2
 Ghe
 Bhe
vh
2
 ir
2
 iu
2

(127)
2
(128)
S  v i  P 2  Ds2  Q 2  Du2
(129)
P
FP  
S
(130)
P
P 2  Ds2  Q 2  Du2
Qu’ils sont mutuellement orthogonaux
2
2
i  i aA  i sA
2
 i rA
2
2
 iuA  i B
2
(117)
L’extension de l’utilisation de cette théorie en
régime variable, c’est le but des futures
contributions de Czarnecki [11].
Le facteur de puissance FP est donc:
11
2.10. Définition des puissances du groupe
IEEE
Ce terme contient toutes les composantes qui
ont une valeur moyenne différente de zéro:
La définition du groupe IEEE est une
prolongation de la théorie de Budeanu pour les
circuits électriques triphasés [16], elle est
valide en régime non sinusoïdal équilibré et
déséquilibré, en plus, lorsque les tensions
d'alimentation sont asymétriques en régime
sinusoïdal.
p q  ∑Vh I h sin  h sin( 2ht )
Est un terme qui ne contribue pas au transfert
d'énergie c à d sa valeur moyenne est nulle.
2.10.1. Système monophasé non sinusoïdal
2.10.1.2. Puissance active
Dans les conditions non sinusoïdales la tension
instantanée (ou le courant instantané) à deux
composantes différentes. Une composante
fondamentale:
1
P
kT
v1  2 V1 sin( t   1 )

i1  2 I 1 sin( t   1 )
(131)
I sin (mt   m ) sin (ht  h )
m h
  kT
∫pdt

P  P1  PH
Avec:
P1 
1
kT
(138)
  kT
∫v1 i1 dt  V1 I 1 cos 1
(139)

(140)
2.10.1.3. Puissance réactive
Q  ∑Vh I h sin  h
h
 Q1 Q H
Avec:
Q1 
  kT
(133)
(141)
1   kT
kT
v1 dt dt
∫i1 ∫

 V1 I 1 sin  1
(142)
Et:
QH  ∑Vh I h sin  h
(143)
h≠1
2.10.1.4. Puissance apparente fondamentale
(134)
La puissance apparente fondamentale S 1 et ses
composantes P1 et Q1 sont des quantités
réelles qui aident à définir la quantité d'énergie
associée à la tension et le courant de 60/50 Hz.
Elle a un intérêt très important pour le
producteur et l’utilisateur.
2.10.1.1. Puissance instantanée
p  vi
Avec:
pw  ∑Vh I h cos h 1  cos ( 2 ht )
∑2V
m ≠h
m,h ≠
1
h≠1
v H  2 ∑Vh sin( ht   h )

h ≠1
(132)

i H  2 ∑I h sin( ht   h )
h ≠1

Les valeurs rms correspondantes sont comme
suit:
p  pw  pq

PH  ∑Vh I h cos h  P  P1
Et une composante harmonique:
 2
1
v 2 dt  V12  V H2
V 
∫
kT



  kT
1
 2
i 2 dt  I 12  I H2
 I  kT ∫


Où:
V H2  ∑Vh2  V 2  V12

h ≠1
 2
2
2
2
 I H  ∑I h  I  I 1

h ≠1
(137)
h
(135)
(136)
S 1  V1 I 1
(144)
S 12  P12  Q12
(145)
h
12
2.10.1.5.
Puissance
fondamentale
apparente
non
Cette puissance mesure la quantité globale des
pollutions harmoniques produite ou absorbée
par une charge, elle mesure également la
capacité exigée de compensateurs dynamiques
ou du filtres actifs utilisées seulement pour la
compensation. La séparation du courant et de
tension
efficaces
en
composantes
fondamentales et harmoniques, permet la
décomposition de la puissance apparente de la
façon suivante:
THDV 
VH
 ( V V1 ) 2  1
V1
2.10.1.8. Puissance apparente harmonique
Cette puissance représente la puissance
apparente due seulement aux tensions et
courants harmoniques. C’est la plus petite
composante de S N .
S H  V H I H  S 1 ( THD I )( THDV )
(155)
SH 
(156)
PH2

D H2
S 2  ( VI ) 2  ( V12  V H2 )( I 12  I H2 )
(146)
S 2  ( V1 I 1 ) 2  ( V1 I H ) 2  ( V H I 1 ) 2  ( V H I H ) 2
(147)
S 
Avec:
(148)
D H  S H2  PH2
(149)
2.10.1.10. Puissance non active
2
S 12

S N2
S N  S 2  S 12
S N : La puissance apparente non fondamentale
peut être décomposée en trois termes distincts:
S N2

D I2

DV2

S H2
(150)
2.10.1.6. Puissance de déformation du
courant
Définit une partie de la puissance non active
non fondamentale due à la déformation du
courant, c’est habituellement la composante
2.10.1.9.
Puissance
harmonique
2.10.1.7. Puissance
tension
(158)
D  S 2  P2  Q2
2.10.1.12.
Facteur
fondamental
(159)
de
puissance
P1
S1
(160)
Ce rapport aide à estimer séparément les
conditions fondamentales du flux de puissance,
Il est souvent désigné également sous le nom
du facteur de puissance de déplacement.
2.10.1.13. Facteur de puissance
Elle représente une partie de la composante
non active non fondamentale de la puissance
S N due à la déformation de tension.
DV  V H I 1  S 1 ( THDV )
Avec:
(157)
2.10.1.11. Puissance déformante de Budeanu
(151)
de déformation de
déformation
A l’époque, cette puissance est appelée la
puissance fictive.
FP1  cos 1 
(152)
de
N  S 2  P2
dominante de S N . Elle est donnée par:
D1  V1 I H  S 1 ( THD I )
Avec:
I
THDI  H  ( I I 1 )2  1
I1
(154)
(153)
FP 
FP 
( P S )[ 1  ( PH P1 )]
P P1  PH

 1 1
2
2
S
S1  SN
1  ( S N S1 )2
[ 1  ( PH P1 )] FP1
1  THDI2  THDV2  ( THDI THDV ) 2
(161)
(162)
13
2.10.2. Système triphasé non sinusoïdal
équilibré [16]
Dans un système à quatre fils, la puissance
apparente
et
S  Se
2.10.2.1. Puissance apparente
résolution de Budeanu
FP  ( P S )  FPe  P S e . La puissance S e à
deux composantes.
avec
S  3VI  P 2  Q 2  D 2
Ou:
P  P1  PH
Et :
P1  3V1 I 1 cos  1
PH  3 ∑Vh I h cos h
h≠1
la
(163)
(164)
(165)
(166)
Et:
Q  Q1 Q H
Ou:
Q1  3V1 I 1 sin( - 1 )
QH  3 ∑Vh I h sin  h
h ≠1
(167)
(168)
(169)
S e2  P 2  N 2
(177)
2.10.3. Système triphasé non sinusoïdal
déséquilibré [16]
2.10.3.1. Puissance active
(178)
P  PR  PS  PT
Ou:


 PR   V Rh I Rh cos Rh ,  Rh   Rh   Rh
h 1




 PS   V Sh I Sh cos Sh ,  Sh   Sh   Sh
h 1



 PT   VTh I Th cos Th ,  Th   Th   Th

h 1
(179)
2.10.3.2. La puissance active d’ordre positif,
d’ordre négative et d’ordre zéro
Et:
D  S 2  P2  Q2
(170)
Soit
V  ,V - et V 0
les
composantes

2.10.2.2. Puissance apparente efficace
Cette puissance est liée à la tension et le
courant équivalents. Elle est donnée comme
suit:
S e  3Ve I e
Pour un système équilibré à quatre fils,
Ve  V
Et:
Ie 
3 I 2  I h2
 I 2  ∑I h2
3
h 0 ,3 ,6 ,..
(171)
(172)
Où:
P  P   P -  P0
(180)
(181)
2.10.3.3. Puissance réactive
(182)
(174)
U
3
Ie  I
Et:
S e  S  3UI

 
 




 P  3  Vh I h cos h ,  h   h   h
h 1



 - 

,  h   h   h
 P  3  Vh I h cos h
h 1



 P 0  3  Vh0 I h0 cos h0 ,  h0   h0   h0

h 1

(173)
Pour un système à trois fils,
Ve 
symétriques des tensions et I , I - et I 0 les
composantes des courants. Les trois
composantes de la puissance active sont:
(175)
(176)
Q  Q R  QS  QT
Ou:


Q R   V Rh I Rh sin  Rh
h 1




Q S   V Sh I Sh sin  Sh
h 1



QT   VTh I Th sin  Th

h 1

(183)
14
2.10.3.4. Puissance réactive d’ordre positif,
d’ordre négatif et d’ordre zéro
Les trois puissances réactives sont comme suit:
 
 

Q  3  Vh I h sin  h
h 1



 - 

Q  3  Vh I h sin  h
h 1



Q 0  3  Vh0 I h0 sin  h0

h 1

(184)
Où:
Q  Q   Q -  Q0
(185)
2.10.3.8. Puissance apparente efficace
S e  ( S  ) 2  ( SU ) 2
(191)
2.10.3.9. Puissance de déséquilibre

SU  ( S e ) 2  ( S  ) 2
Elle indique l'asymétrie et le déséquilibre des
tensions de la charge.
2.10.3.10. Puissance apparente efficace et ses
composantes
2.10.3.5. Puissances apparentes par phase
S R  V R I R

S S  V S I S
S  V I
T T
 T
(186)
Précédemment, la puissance apparente S e a
été divisée en puissance active P et puissance
non active N [3], [17].
2
I e  I e21  I eH
(193)
2
Ve  Ve21  VeH
(194)
2.10.3.6. La puissance apparente d’ordre
positif, d’ordre négatif et d’ordre zéro
Pour un système à quatre fils:
Les puissances apparentes sont comme suit:
Ie 



 



S   S h   Ph  j  Qh

h 1
h 1
h 1




 


S   S h   Ph  j  Qh
h 1
h 1
h 1





S 0 
 S h0   Ph0  j  Qh0

h 1
h 1
h 1

(187)
I R2  I S2  I T2  I N2
 ( I  ) 2  ( I - ) 2  4( I 0 ) 2
3
I e1 
I R21  I S21  I T21  I N2 1
3
I eH 
2
2
2
2
I RH
 I SH
 I TH
 I NH
 I e2  I e21
3
SV  S  S  S
-
0
Et:
S A ≠S   S -  S 0
(195)
(196)
(197)
Et:
Ve 

1
3(VR2  VS2  VT2 )  VRS2  VST2  VTR2
18
Où:

(192)
(188)
(189)
2.10.3.7. Facteur de puissance d’ordre
positif
P
(190)
FP   
S
Il a la même signification que le facteur de
puissance fondamentale FP1 .
 (V  ) 2  (V - ) 2 
Ve1 
VeH 


( I 0 )2
2
1
2
2
2
3( VR21  VS21  VT21 )  VRS
1  VST 1  VTR1
18

(198)

1
2
2
2
2
2
3(VRH
 VSH
 VTH2 )  VRSH
 VSTH
 VTRH
18
 Ve2  Ve21
(199)

(200)
Pour les systèmes à trois fil I N 1  I NH  0 , et
les expressions deviennent plus simple.
Ie 
I R2  I S2  I T2
3
(201)
15
I e1 
I eH 
I R2 1  I S21  I T21
3
(202)
2
2
2
I RH
 I SH
 I TH
 I e2  I e21
3
2
2
2
VRS
 VST
 VTR
9
Ve 
(203)
(204)
Ve1 
2
2
2
VRS
1  VST 1  VTR1
9
(205)
VeH 
2
2
2
VRSH
 VSTH
 VTRH
 Ve2 - Ve21
9
(206)
2
S e2  S e21  S eN
S e1  3Ve1 I e1
2
S eN

S e2

S e21
(207)

DeI2

2
DeV

2
S eH
(208)
(209)
La puissance déformante des courants, la
puissance déformante des tensions, et la
puissance
apparente
harmonique
sont
respectivement comme suit:
De1  3Ve1 I eH
DeV  3VeH I e1
S eH  3VeH I eH
(221)
S 1  ( P1 ) 2  ( Q1 ) 2
(222)
P1  3V1 I 1 cos  1
(223)
Q1  3V1 I 1 sin  1
(224)
Le facteur de puissance fondamental d’ordre
positif est donné comme suit:
P
(225)
FP1  1
S1
Il a la même signification que le facteur de
puissance du fondamental FP1 . Il aide à
évaluer l’état du flux de puissance d'ordre
positif. Le facteur de puissance est:
FP 
P
Se
(226)
(210)
3. Simulations
(211)
3.1. Circuit monophasé avec tension non
sinusoïdal /courant non sinusoïdal
(212)
Et:
2
2
DeH  S eH
 PeH
SU 1  S e21  ( S 1 ) 2
Où:
(213)
Le circuit simulé est composé d’une source
d’alimentation avec tension non sinusoïdale et
une charge non linéaire. Le tableau (1) contient
la décomposition en série de Fourier de la
tension et du courant.
Les taux de distorsion équivalents sont:
V
THDeV  eH
Ve1
I
THDeI  eH
I e1
Aussi:
2
S eN  S e1 THDeI2  THDeV
 ( THDeI THDeV ) 2
(214)
(215)
(216)
DeI  S e1 ( THDI )
(217)
DeV  S e1 ( THDV )
(218)
(219)
S eH  S e1 ( THD I )( THDV )
Pour les systèmes avec THD eV ≤ 5%
et THD eI ≥40% , on peut écrire [17]:
(220)
S eN ≈ S e1 ( THD eI )
Le déséquilibre de la charge peut être estimé
par:
Remarque: on suppose que toutes les
composantes résultantes de la décomposition
en sérié de Fourier des grandeurs tension
/courant sont considérées, et à chaque fois
lorsque l’approche utilise ces grandeurs
temporellement, on fait la composition en
prenant les valeurs données dans les tableaux,
ceci, pour reproduire les mêmes conditions.
Calculons les puissances en utilisant les
théories adaptées en monophasé, qui sont:
La définition de Budeanu.
La définition de Fryze.
La définition du groupe IEEE.
La définition de Czarnecki.
Les résultats des simulations sont présentés
dans l’ensemble des figures (A):
Le tableau (2) regroupe les valeurs des
grandeurs simulées.
16
3.2. Circuit monophasé avec
sinusoïdale/courant non sinusoïdal
tension
Y 1  0.1  j0.3  0.316 e j71,56
Y 3  0.9  j0.3  0.95 2e  j18.44
I 1  Y1V1  31.6 A
I 3  Y3V3  95 A
,
V  V12  V32 
Q  S 2  P2 
v
i’
20
F
1
4
H
3
H
F
9
20
1
3
1
1
H
H
2
2
2
F
Y
’
3
(a)
F
3
(b)
Figure 8: Deux circuits monophasés avec des
charges déférentes alimentées par la même tension
non sinusoïdale au présence des compensateurs.
14,1592  102
 10,02 k var
 Ce qui montre que la théorie de Fryze ne
diffère pas entre deux charges différentes.
Gardons les mêmes circuits de la figure (8), en
injectant pour chaque circuit le compensateur
adéquat.
On injecte un compensateur shunt dans le
circuit (a) de la figure (8) dont ses admittances:
Y 1   j0.5
L’admittance équivalente est:
Y équi1  Y équi3  0.5
D’où le courant efficace est:
I'1  Yéqui1V1  50 A ; I'3  Yéqui3V3  50 A
Donc:
2
Y’
 0.9V32
FPw  P S  0.71
Y 3  0.5  j0.5  0.5 2e j 45
4
 141.42 V
P  P1 
 10 kW
S  VI  141.42  100,12  14,159 kVA
Y 1  0.5  j0.5  0.5 2e j 45
i
 100,12 A
1002  1002
P3  0.1V12
Afin de montrer la fausse interprétation de
quelques définitions, autres simulations ont été
effectuées.
En simulant les deux charges différentes
représentées dans la figure (8). Elles sont
alimentées
par
la
même
tension:
v( t )  100 2 sin t  sin 3t 
Les admittances de la charge (a) de la figure (8)
sont:
1
31.6 2  952
I  I 12  I 32 
3.3. Autres circuits simulés
i’
 10 kVar
Le facteur de puissance actif est:
FPw  P S  0.71
Des calcules similaire pour la charge (b) de la
figure (8) nous donne:
Gardons
le
même
circuit
simulé
précédemment. On considère que la tension
d’alimentation est filtrée.
Le même travail comparatif a été effectué. Les
résultats des simulations sont présentés dans
l’ensemble des figures (B).
Le tableau (3) regroupe les valeurs des
grandeurs simulées.
i
14,1422  102
Q  S 2  P2 
I'  502  502  70.71 A
La puissance apparente est:
S'  I' V  141 .2  70.71  10 kVA
La puissance réactive est:

 
2

2
V  V12  V32  1002  1002  141.42 V
Donc, la puissance apparente est:
S  VI  141 .42  100  14.142 kVA
La puissance active est:
Q'  S' 2  P 2  10 .103  10 .103  0
Le facteur actif de puissance est :
FP' w  P S'  1
 On remarque dans ce cas que l’application
de la théorie de Fryze après la compensation,
nous donne un facteur de puissance égal à 1.
On injecte un compensateur shunt dans le
circuit (b) de la figure (8) dont ses admittances
Y 1   j0.3 , Y 3   j0.3
L’admittance équivalente est:
Y équi1  0.1 , Y équi3  0.9
P  P1  P3  0.5V12  0.5V32  10 kW
Donc la puissance réactive est:
D’où le courant efficace est:
I'1  Yéqui1V1  10 A ; I'3  Yéqui3V3  90 A
I 1  Y1V1  70.71 A
; I 3  Y3V3  70.71 A
Le courant efficace est:
I  I 12  I 32 
70.712  70.712
 100 A
Et a tension efficace est:
17
Donc:
instantanée à une forme oscillante. Ce qui
démontre la fausse interprétation de Budeanu
concernant la puissance réactive [15].
Les figures (15) et (16) représentent l’allure de
la tension et du courant du circuit électrique de
la figure (14).
I'  10  90  90.55 A
La
puissance
apparente
est: S'  I' V  141 .42  90.55  12.806 kVA
La puissance réactive est:
2
2

Q'  S' 2  P 2  12.806.10 3
  10.10 
2
3 2
 8 k var
i(t)
Le facteur actif de puissance est :
FP' w  P S'  0.78
 On constate que, malgré la compensation,
la théorie de Fryze nous donne une puissance
réactive non nulle et un facteur de puissance
différent de 1.
 Ce qui démontre que, QFryze comporte
v(t)
3
1
F
F
4
4
Figure 14: Circuit monophasé en régime non
sinusoïdal
également une partie correspond à l’oscillation
du courant et de tension. Et par conséquent,
l’interprétation de Fryze pour la puissance
réactive est fausse [20].
Le circuit simulé dans ce cas est représenté
dans la figure (9)
Si la tension est:
v( t )  2 100 sin t  25 sin 3t 
Alors le courant est:


 


i( t )  2  50 sin t    12.5 sin 3t  3.  
2
2 




Fig.15: L’allure de la tension
Fig.16 : L’allure du courant
THD I  0.25
THDV  0.25
i(t)
Forme de tension
Forme du courant
150
80
60
100
40
F
50
20
H
32
57
i[A]
v(t)
32
v[V]
29
0
0
-20
-50
-40
-100
-60
-150
Figure 9: Circuit monophasé en régime non
sinusoïdal.
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Temps[s]
0.025
0.03
0.035
-80
0.04
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Temps[s]
0.025
0.03
0.035
0.04
Figure 17 : La puissance déformante.
La puissance déformante en fonction du temps
3000
Si la tension est v( t )  2 100 sin t  25 sin 3t 
Alors le courant est:
i( t ) 
2000
D[Var]
1500
1000


 


2  25 sin t    100 sin 3t   
2
2 



Fig. 10 : Tension non
sinusoïdale.
500
0
-500
Fig.11 : Courant non
sinusoïdal
Forme de tension
150
2500
Forme du courant
200
150
100
100
50
i[A]
v[V]
50
0
0
-50
-50
-100
-100
-150
-150
0
0.005
0.01
0.02
Temps[s]
0.025
0.03
0.035
0.04
Fig.12 : La puissance
instantanée.
4
2
0.015
-200
0
0.005
0.01
0.02
Temps[s]
0.025
0.03
0.035
0.04
Fig.13: La puissance réactive.
La puissance instantanée
x 10
0.015
La puissance réactive en fonction du temps
1500
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Temps[s]
0.025
0.03
0.035
0.04
 Malgré que la tension et le courant ont le
même
taux
de
distorsion
THDV  THD I  0.25 , on constate que la
puissance déformante Figure (17) n’est pas
nulle D  2500 Var ,ce qui démontre la fausse
interprétation de Budeanu concernant la
puissance déformante[15].
1.5
1000
1
3.4. Système triphasé équilibré avec tensions
non sinusoïdales/courants non sinusoïdaux
(Taux de distorsion élevé)
500
Q[Var]
p[W]
0.5
0
0
-0.5
-500
-1
-1000
-1.5
-2
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Temps[s]
0.025
0.03
0.035
0.04
-1500
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Temps[s]
0.025
0.03
0.035
0.04
 On constate que la puissance réactive dans
ce circuit est nulle. Malgré que la puissance
Le tableau (4) contient la décomposition en
série de Fourier des courants et des tensions du
circuit simulé.
18
Calculons les puissances en appliquant les
approches adaptées en régime triphasé
équilibré, qui sont:
La définition du groupe IEEE.
La méthode de Fryze généralisée.
L’approche d’Akagi.
La théorie de Czarnecki.
Supposant que le courant dans la cadre de la
théorie IRPp-q, peut être décomposé de la façon
suivante:
i actif 
v  v    p 
1



 

 v2  v2 

 v
v   0 
i  actif  

1 2
i R actif 
1
0  0 









2
3 2  i actif 
1 2  1 2
i S actif  
3





1 2  1 2  3 2 i
i


 T actif 

   actif 
I k actif 
T
1 2
i
( t )dt
T 0 k actif
I actif  I R actif  I S actif  I T actif
Et de la même façon pour les autres courants
efficaces.
i reactif 
v
1




 v2  v2 


i
v 
  reactif 
1 2
i R reactif 





2
1 2
i S reactif  
3


1 2
i

 T reactif 

 v   0 
 

v  q 
1
 0 




3 2  i reactif 


 3 2  i  reactif 

0
1 2
1 2
Encore
i harm onique
1



 v2  v2


i  harm onique
i R harmonique 




i
 S harmonique  


i

 T harmonique 
1

2
1
3
1

 v   ~
p
 
 ~
v   q

v


v 
2
1
2
1 2
2
1 2


0




3 2  i harmonique 


 3 2  i  harmonique 

0
Et
i desequilibre 
v
1




 v2  v2 


i
v 
  desequilibre 
 v     p0 



v   0 
1
i R déséquilibré 





2
1
i S déséquilibré  
3


1
i

 T déséquilibré 

2
2
2


i0




1 2
3 2  i déséquilibré 


 1 2  3 2 i  déséquilibré 

1
0
Les résultats des simulations sont présentés
dans l’ensemble des figures (C).
Le tableau (5) regroupe les valeurs des
grandeurs simulées.
3.5. Système
triphasé équilibré avec
tensions
sinusoïdales
/courants
non
sinusoïdaux (Taux de distorsion élevé)
On simule le même circuit électrique considéré
précédemment. Considérons que les tentions
sont filtrées (Tensions sinusoïdales). On fait le
même travail comparatif. Les résultats des
simulations sont présentés dans l’ensemble de
figures (D).
Le tableau (6) regroupe les valeurs des
grandeurs simulées.
3.6. Système triphasé équilibré avec tensions
sinusoïdales/courants
non
sinusoïdaux
(Taux de distorsion petit)
Le tableau (7) contient la décomposition en
série de Fourier des courants et des tensions du
circuit simulé. Les résultats de simulations sont
présentés dans l’ensemble des figures (E).
Le tableau (8) regroupe les valeurs des
grandeurs simulées.
3.7. Système triphasé déséquilibré avec
tensions non sinusoïdales /courants non
sinusoïdaux
Le tableau (9) contient la décomposition en
série de Fourier des courants et des tensions du
circuit simulé. Calculons les puissances en
appliquant les approches adaptées pour le cas
déséquilibré, qui sont:
La définition du groupe IEEE.
La méthode de Fryze généralisée.
L’approche d’Akagi.
La théorie de Czarnecki.
Les résultats de simulations sont présentés
dans l’ensemble des figures (F).
Le tableau (10) regroupe les valeurs des
grandeurs simulées.
19
3.8. Système triphasé déséquilibré avec
tensions
sinusoïdales
/courants
non
sinusoïdaux
Considérons que les tentions (du circuit
précédent)
sont
filtrées
(Tensions
sinusoïdales).
Les résultats de simulations sont présentés
dans l’ensemble des figures (G) et les résultats
obtenus sont regroupés dans le tableau (11).
4. Conclusion générale
L’utilisation des convertisseurs statiques dans
les
installations
électriques
en
a
considérablement contribué à l’amélioration
des performances et à l’efficacité. Ils ont
engendré des perturbations au niveau des
courants et tensions. Plusieurs théories pour le
calcul de puissances en régime non sinusoïdal
peuvent être citées dans la littérature. Et
jusqu'à nos jours, aucun consensus n'est défini
pour une approche standard. Par puissances, on
entend toutes les formes d’échanges d’énergies
entre la source et la charge. Dans ce travail une
étude comparative a été effectuée entre les
différentes définitions suscitées. Nous avons
simulé plusieurs circuits électriques, en régime
monophasé, triphasé équilibré et déséquilibré,
avec tensions/courants non sinusoïdaux,
tensions sinusoïdales et courants non
sinusoïdaux, avec différents taux de distorsion,
ceci pour estimer l’approche la mieux adaptée
pour chaque régime de fonctionnement, en
prenant en compte certains critères techniques
et économiques.
Les définitions des puissances peuvent être
regroupées en deux familles. La première est
basée sur la décomposition en série de Fourier
des grandeurs courants /tensions«la définition
de Budeanu, IEEE et de Czarnecki ». La
deuxième est basée sur l’utilisation des
grandeurs courants/tensions temporellement
«la théorie d’Akagi et de Fryze et Fryze
généralisée».
Les définitions dans le domaine temporel
sont précises que ceux dans le domaine
fréquentiel, où on ne considère que les
composantes les plus prépondérantes.
L’inconvénient des définitions dans le
domaine fréquentiel réside dans le fait qu’elles
utilisent des compensateurs.
Les définitions dans le domaine temporel
sont utilisées dans les compensateurs actifs
parallèles. En effet, ces filtres s’adaptent aux
évolutions de la charge et du réseau électrique.
Et par conséquent, la compensation des
éventuelles perturbations instantanément.
Les définitions dans le domaine temporel
valide en régime permanent ainsi qu’en régime
transitoire, cependant, les définitions dans le
domaine fréquentiel sont valides seulement en
régime permanent.
La théorie de Budeanu est valide en
monophasé, et malgré que la puissance
réactive et déformante aient des interprétations
fausses, elle est supportée par le groupe IEEE,
et prolongée pour les cas triphasés équilibrés et
déséquilibrés en régime non sinusoïdal
permanent.
La définition de Fryze est valide en
monophasé, acceptable en triphasé, en prenant
les tensions et les courants sous forme des
vecteurs (théorie de Fryze généralisée), elle ne
donne aucune idée sur les harmoniques.
L’approche de Czarnecki valable en régime
monophasé, triphasé équilibré ainsi qu’en
circuit déséquilibré. Cette définition offre la
possibilité de compenser chaque paramètre
séparément (le réactif, les harmoniques et le
déséquilibre).
l’utilisation de la méthode de compensation
la plus avancée«la compensation hybride» est
conseillée afin de réduire le dimensionnement
ce qui réduit le coût du filtre actif parallèle.
La définition d’Akagi est inapplicable en
monophasé, valide en triphasé équilibré et
déséquilibré. Elle ne donne aucune idée sur les
harmoniques.
La précision des méthodes d’identification
dépend du taux de distorsion des tensions. Les
tensions du réseau doivent être sinusoïdales.
Les définitions dans le domaine fréquentiel
demandent une grande puissance de calcul en
temps réel.
A l’heure actuelle, aucune définition n'est
universelle. Espérons que, notre travail servira
comme référence aux futures contributions qui
devraient être:
Adaptées pour tous les régimes de
fonctionnement du système électrique.
Valides pour les systèmes monophasés,
triphasés équilibrés et déséquilibrés.
Valides pour les formes d’onde sinusoïdale
ou non sinusoïdale.
Fournissent
aux
puissances
des
interprétations physiques claires.
Précises.
Rapides.
Faciles à implémenter dans la pratique.
20
Fiables pour la conception des appareils de
mesures électriques universels.
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power in three phases systems in search of
physical meaning and a better resolution’’ ,
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Harmonic Pollution,” IEEE Transactions on
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and electronics engineering, John wiley and
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Budeanu concept of reactive and distortion
power why it should be abandoned’’, IEEE
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definitions for current with non sinusoidal
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reactive power p-q theory’’, IEEE Trans. on
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conditions’’,Europ.Trans.on
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power qualities under sinusoidal, non
sinusoidal, Balanced or unbalanced conditions
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Situations, “Practical Definitions for Powers
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Unbalanced Loads,” IEEE Transactions on
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p-q theory’’, IEEE Industrial Electronics
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filter for reactive power and harmonic
compensation’’ , IEEE –PESC 86-Power
Electronics spect.conf.,86CH2310-1, pp:321330.
[22] L.Rossetto,P.Tenti, ‘‘Evaluation of
instantaneous power terms in multi-Phase
systems: Techniques and application to power
conditioning equipments’’ , ETEP- Eur.Trans.
Elect. Power Eng., Vol.4, n° 6, pp: 7-14, Nov.
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conditioners’’. Berlin, Mars 1996.
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universally applicable power theory as control
algorithm in power compensators’’ ,ETEPEur.Trans.Elect.Power Eng.,Vol.4 , n°
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Power’’, the University of Queensland,
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waveform conditions’’ ,IEEE Tutorial cours on
non sinusoidal situations,pp.37-42.90 EH03277.1990
[29] S.Saadate,M.C.Benhabib , “New control
approach for four wire active power filter
based on the use of synchronous reference
frame
Tableau (1)
 h 
47,11
-154,82
216,68
-139,91
103,99
229,04
-143,34
235,59
 h 
-23.31
I h %
100.00
115.70
-43.38
161.30
16.11
-141.80
82.66
-79.19
51.20
12.78
12.47
5.38
5.51
3.10
3.10
Vh %
 h 
I h A
11.17
23.80
100.00
5.71904
1.427526
1.392819
0.600946
0.615467
0.34627
0.339568
-39.12
173.30
21.39
-120.10
87.24
-60.68
156.40
Vh V 
110.09
5.98
1.74
2.00
1.15
1.14
0.85
0.89
6.583382
1.915566
2.201800
1.266035
1.255026
0.935765
0.979801
f [Hz]
h
60
1
180
300
420
540
660
780
900
3
5
7
9
11
13
15
Tableau (4)
h
1
3
5
7
9
f [Hz]
60
180
300
420
540
Vlh V 
277.25
36.7634
3.7152
4.1033
9.6483
100.00
13.36
1.34
1.48
3.48
-2.35
7.76
83.54
-163.20
-42.74
99.98
68.8262
34.8930
27.8344
5.9388
100.00
68.84
34.90
27.84
5.94
-22.00
100.00
-175.00
-65.01
47.99
19.65
-92.24
258.54
-98.19
-90.73
Vlh %
 lh 
I lh A
I lh % 
 lh 
 lh 
22
Tableau (7)
5
300
7
420
11
660
13
780
Vlh V  277.25
0
0
0
0
Vlh % 100.00
0
0
0
0
 lh 
0
0
0
0
I lh A 61.14
9.64
3.33
1.483
0.737
I lh %  100.00
15.77
5.45
2.425
1.205
 lh 
-30.31
17.24
-24
-63.31
-94.35
 lh 
27.96
-17.24
24
63.31
94.35
h
f HZ 
1
60
-2.35
Tableau (9)
h
1
f HZ  60
V Rh V  271.03
V Rh % 100.00
 Rh  -0.74
I Rh A 99.98
I Rh % 100.00
 Rh  -22.00
VSh V  283.1992
V Sh % 104.49
 Sh  -121.20
I Sh A 93.4713
I Sh % 93.49
 Sh  -120.80
VTh V  281.1394
VTh % 103.73
 Th  121.30
I Th A 0
3
5
7
9
180
300
420
540
27.8619
13.3347
20.16464
23.4170
10.28
4.92
7.44
8.64
6.76
142.3
146.7
-47.40
68.8262
34.8930
27.8444
5.9288
68.84
34.9
27.85
5.93
100.00
-175.00
-65.00
7.00
28.5395
15.6926
23.2544
29.9488
10.53
5.79
8.58
11.05
6.28
167.4
125.20
-49.19
79.7540
42.2915
45.8008
40.5819
79.77
42.3
45.81
40.59
99.49
65.09
-167.9
41.89
23.5525
11.6543
17.8338
22.2787
8.69
4.3
6.58
8.22
9.70
157.7
136.5
-47.35
0
0
0
0
21
Tableau (2)
Paramètres
V [V ]
Budeanu
110.35
Fryze
110.348
V1 [ V ]
110.09
110.09
VH [V ]
7.54
7.54
Vw [ V ]
62.5
Vq [ V ]
90.9
IEEE
110.35
Czarnecki
110.35
V A [V ]
110.09
VB [ V ]
I [ A]
7.54
12.74
I1 [ A]
11.17
11.17
I H [ A]
6.135
6.135
12.745
I w [ A]
7.221
I q [ A]
10.502
12.74
12.74
I A [ A]
11.17
I B [ A]
6.137
I aA [ A ]
7.602
I rA [ A ]
8.184
I sA [ A ]
0
10.23
2
2
I rA
 I sA
 I B2 [ A ]
S [ VA]
1406.4
1406.4
1406.4
1406.4
S B [ VA ]
46.3
S E [ VA ]
P[ W ]
Q[Var ]
D[ Var ]
680.8
DsA [ Var ]
N [ Var ]
FP
796.8
796.8
796.8
796.8
879.8
1159
879.8
901
754.4
754.4
0
1158.8
0.5665
0.5665
0.5665
0.5665
IEEE
84.85
Czarnecki
84.85
Tableau (3)
Paramètres
V [V ]
Budeanu
84.854
Fryze
84.85
V1 [ V ]
84.854
84.854
VH [V ]
0.01
0.01
Vw [ V ]
50.61
Vq [ V ]
68.105
V A [V ]
84.85
VB [ V ]
I [ A]
0.01
12.74
I1 [ A]
11.17
11.17
I H [ A]
6.137
6.137
I w [ A]
12.74
12.74
12.74
7.602
22
10.22
I q [ A]
I A [ A]
11.17
I B [ A]
6.137
I aA [ A ]
7.603
I rA [ A ]
8.184
I sA [ A ]
0
2
2
I rA
 I sA
 I B2 [ A ]
S [ VA]
10.29
1081.5
1081.5
1081.5
1081.5
S B [ VA ]
0.05
S E [ VA ]
P[ W ]
Q[Var ]
D[ Var ]
520.75
645.1
645.07
645.1
694.44
867.95
694.44
520.75
694.44
520.75
0
DsA [ Var ]
N [ Var ]
FP
868.05
0.596.5
0.596.5
0.596.5
0.596.5
Tableau (5)
Paramètres
V [V ]
Fryze généralisée
484.8
IEEE
Ve [ V ]
278.6
Ve1 [ V ]
277.25
VeH [ V ]
27.44
Vw [ V ]
347.352
Vq [ V ]
338.19
Czarnecki
484.8
VA [ V ]
480.2
VB [ V ]
66.55
I [ A]
224.23
224.24
Ie [ A]
176.29
I e1 [ A ]
99.98
I eH [ A ]
145.19
I w [ A]
160.67
I q [ A]
156.42
I A [ A]
173.17
I B [ A]
142.45
I aA [ A ]
163.08
I rA [ A ]
58.23
I sA [ A ]
0
I uA [ A ]
*
2
2
I sA
 I uA
[ A]
*
2
2
2
I rA
 I sA
 I uA
 I B2 [ A ]
153.9
I actif [ A ]
Akagi
484.8
224.24
162.88
23
I réactif [ A ]
58.34
I harmonique[ A ]
76.57
I déséquilibré [ A ]
119.68
I perturbateur [ A ]
153.6
S [ VA]
1.0871  10 5
1.0871  10 5
1.4734  10 5
S e [ VA ]
S B [ VA ]
9478
S E [ VA ]
6.938  10 4
P[ W ]
1.0871  10 5
7.7889  10 4
7.7883  10 4
7.789  10 4
7.8316  10 4
Pa [ W ]
p[ W ]
7.8187  10 4
p0 [ W ]
-299
Q[Var ]
7.5835  10 4
1.9488  10 4
2.7965  10 4
q [ Var ]
 2.8004  10 4
D[ Var ]
7.3285  10 4
DsA [ Var ]
0
DuA [ Var ]
*
N [ Var ]
FP
1.2507  10 5
0.7165
0.5286
0.7165
0.7192
Tableau (6)
Paramètres
V [V ]
Fryze généralisée
480.21
IEEE
Ve [ V ]
277.25
Ve1 [ V ]
277.25
VeH [ V ]
0.05
Vw [ V ]
349.25
Vq [ V ]
329.57
Czarnecki
480.213
V A [V ]
480.216
VB [ V ]
I [ A]
0.06
224.24
224.24
Ie [ A]
176.285
I e1 [ A ]
99.98
Akagi
480.21
224.26
145.192
I eH [ A ]
I w [ A]
163.08
I q [ A]
153.9
I A [ A]
173.17
I B [ A]
142.43
I aA [ A ]
163.09
I rA [ A ]
58.235
I sA [ A ]
0
I uA [ A ]
*
24
*
2
2
I sA
 I uA
[ A]
153.91
2
2
2
I rA
 I sA
 I uA
 I B2 [ A ]
I actif [ A ]
163.065
I réactif [ A ]
58.24
I harmonique[ A ]
77.15
I déséquilibré [ A ]
119.6
I perturbateur [ A ]
153.81
S [ VA ]
1.0768  10 5
1.0768  10 5
1.4663  10 5
S e [ VA ]
S B [ VA ]
10
S E [ VA ]
6.8409  10 4
P[ W ]
1.076  10 5
7.8315  10 4
7.8315  10 4
7.8316  10 4
7.8314  10 4
PA [ W ]
p[ W ]
7.83  10 4
p0 [ W ]
Q[Var ]
0
7.3915  10 4
2.7969  10 4
2.7963  10 4
q [ Var ]
 2.795  10 4
D[ Var ]
6.8419  10 4
DsA [ Var ]
0
DuA [ Var ]
N [ Var ]
*
FP
1.2507  10 5
0.7273
0.5341
0.7273
0.7275
Tableau (8)
Paramètres
V [V ]
Fryze généralisée
381.05
IEEE
Ve [ V ]
119.99
Ve1 [ V ]
220.001
VeH [ V ]
0.02
Vw [ V ]
331.87
Vq [ V ]
187.25
Czarnecki
381.05
V A [V ]
381.05
VB [ V ]
I [ A]
0.05
107.4
107.4
Ie [ A]
62.01
I e1 [ A ]
61.14
I eH [ A ]
10.33
I w [ A]
93.54
I q [ A]
52.78
I A [ A]
105.9
I B [ A]
17.895
I aA [ A ]
93.535
Akagi
381.05
107.4
25
I rA [ A ]
49.65
I sA [ A ]
0
I uA [ A ]
*
2
2
I sA
 I uA
[ A]
*
2
2
2
I rA
 I sA
 I uA
 I B2 [ A ]
52.78
I actif [ A ]
93.54
I réactif [ A ]
49.665
I harmonique[ A ]
17.86
I déséquilibré [ A ]
0
I perturbateur [ A ]
52.79
S [ VA]
4.0925  10 4
4.0925  10 4
4.0955  10 4
4.0924  10 4
S e [ VA ]
S B [ VA ]
*
S E [ VA ]
P[ W ]
6820
3.5642  10 4
3.5642  10 4
3.5642  10 4
3.5642  10 4
PA [ W ]
p[ W ]
3.5648  10 4
p0 [ W ]
Q[Var ]
0
2.0111 10 4
1.8919  10 4
1.8919  10 4
q [ Var ]
 1.8907  10 4
D[ Var ]
6820
DsA [ Var ]
0
DuA [ Var ]
N [ Var ]
*
2.0111 10 4
0.8709
FP
0.8709
0.8709
0.8708
Czarnecki
Akagi
488.48
488.48
Tableau (10)
La théorie
Fryze généralisée
IEEE
Le paramètre
V [V ]
488.45
Ve [ V ]
280.25
Ve1 [ V ]
278.45
VeH [ V ]
31.72
Vw [ V ]
266.8
Vq [ V ]
409.05
V A [V ]
482.97
VB [ V ]
I [ A]
73.16
193.65
193.37
Ie [ A]
164.66
I e1 [ A ]
107.4
I eH [ A ]
124.8
I w [ A]
193.45
105.88
26
I q [ A]
192.15
I A [ A]
147.44
I B [ A]
125.11
I aA [ A ]
107.51
I rA [ A ]
24.44
I sA [ A ]
3.2
I uA [ A ]
97.85
97.9
2
2
I sA
 I uA
[ A]
160.73
2
2
2
I rA
 I sA
 I uA
 I B2 [ A ]
I actif [ A ]
107.005
I réactif [ A ]
21.51
I harmonique[ A ]
102.82
I déséquilibré [ A ]
121.13
I perturbateur [ A ]
160.3
S [ VA]
9.4585  10 4
9.4458  10 4
1.3844  10 5
S e [ VA ]
S B [ VA ]
9150
S E [ VA ]
6.138  10 4
P[ W ]
9.4499  10 4
5.17  10 4
5.16  10 4
5.16  10 4
5.192  10 4
PA [ W ]
p[ W ]
5.155  10 4
p0 [ W ]
Q[Var ]
104
3157.7
7.9208  10 4
1.1805  10 4
q [ Var ]
 1.04  10 4
D[ Var ]
5.5577  10 4
DsA [ Var ]
1500
DuA [ Var ]
4.725  10 4
N [ Var ]
FP
1.2846  10 5
0.5461
0.3727
0.5462
0.5457
Czarnecki
417.48
Akagi
417.47
Tableau (11)
Paramètres
V [V ]
Fryze généralisée
417.48
IEEE
Ve [ V ]
241.03
V e1 [ V ]
241.03
VeH [ V ]
0.03
Vw [ V ]
232.6
Vq [ V ]
346.65
VA [ V ]
417.47
VB [ V ]
I [ A]
0.05
193.48
193.36
193.3
27
Ie [ A]
164.66
I e1 [ A ]
107.41
I eH [ A ]
124.81
Iw [ A]
108.09
Iq [ A]
160.5
IA[ A]
136.87
IB [ A]
136.6
I aA [ A ]
107.76
I rA [ A ]
20.98
I sA [ A ]
0
I uA [ A ]
81.73
2
2
I sA
 I uA
[ A]
81.75
2
2
2
I rA
 I sA
 I uA
 I B2 [ A ]
160.56
I actif [ A ]
107.74
I réactif [ A ]
20.92
I harmonique[ A ]
103.42
I déséquilibré [ A ]
121.1
I perturbateur [ A ]
160.58
S [ VA ]
8.0795  10 4
8.0725  10 4
1.1906  10 5
S e [ VA ]
S B [ VA ]
6.55
S E [ VA ]
P[ W ]
5.7025  10 4
4.503  10 4
4.5  10 4
4.5  10 4
4.5  10 4
Pa [ W ]
p[W ]
p0 [ W ]
Q[ Var ]
4.5  10 4
0
6.705  10 4
8760.1
8762
-8750
q [ Var ]
D [ Var ]
4.6115  10 4
DsA [ Var ]
0
DuA [ Var ]
N [ Var ]
3.412  10 4
FP
8.072  10 4
1.1024  10 5
0.5576
0.3778
0.5573
0.5575
* : indique que la grandeur est différente de zéro et de forme oscillante.
28
La puissance active
Groupe (A)
L’allure de la tension
l’allure du courant
La puissance réactive
la puissance active en fonction du temps
la puissance réactive en fonction du temps
800
1200
Budeanu
Fryze
Czarnecki
IEEE
700
1000
La tension en fonction du temps
Le courant en fonction du temps
200
600
25
Budeanu
Fryze
Czarnecki
IEEE
20
150
500
15
800
100
50
i[A]
v[V]
5
0
300
600
400
0
200
-5
-50
400
Q,QA[Var]
P,Pw[W]
10
200
-10
100
-100
-15
0
-150
-200
0
-20
-25
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
La puissance instantanée
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
-100
La puissance apparente
la puissance instantanée en fonction du temps
3500
Budeanu
Fryze
Czarnecki
IEEE
3000
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
-200
0.06
Comparaison entre les
puissances QFryze et NIEEE
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
Le facteur de puissance
Facteur de puissance
1
la puissance apparente en fonction du temps
1800
0.8
Comparaison entre les puissances Q de Fryze et N de IEEE
Budeanu
Fryze
Czarnecki
IEEE
1600
1200
Q Fryze
N IEEE
0.6
2500
1000
1400
0.4
Budeanu
Fryze
Czarnecki
IEEE
2000
1200
0.2
Q,N[Var]
800
1000
FP
1000
S[VA]
p[W]
800
1500
0
600
-0.2
600
400
-0.4
500
400
-0.6
200
0
200
-0.8
-500
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0
0.06
La puissance active
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0
0.06
900
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
-1
L’allure du courant et de la
tension de la phase R
la puissance réactive en fonction du temps
Budeanu
Fryze
Czarnecki
IEEE
1400
Budeanu
Fryze
Czarnecki
IEEE
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
L’allure du courant et de la
tension de la phase S
1200
Le courant et la tension de la phase S
Les grandeurs courant et tension de la phase R
400
400
Courant
Tension
Courant
Tension
1000
500
300
300
200
200
800
Q[var]
600
300
200
100
100
100
400
200
iS[A],vS[V]
400
iR[A],vR[V]
P[W]
0.06
Groupe(C)
1600
800
600
0.01
La puissance réactive
la puissance active en fonction du temps
700
0
0
-200
-200
0
0
-300
-300
-100
0
-100
-100
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
-200
0.06
Comparaison entre les
puissances QFryze et NIEEE
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
-400
Le facteur de puissance
Facteur de puissance
-400
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
0
0.01
L’allure du courant et de la
tension de la phase T.
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
Courant du neutre.
1
Budeanu
Fryze
Czarnecki
IEEE
0.8
Comparaison entre les puissances Q et N
1600
Q Fryze
N IEEE
le courant du neutre
400
Le courant et la tension de la phase T
400
Courant
Tension
0.6
1400
300
300
0.4
1200
200
200
0.2
1000
100
iN[A]
Q,N[Var]
0
iT[A],vT[V]
FP
100
800
0
600
-0.2
400
-0.4
-100
-0.6
-200
0
-100
200
-200
0
-0.8
-200
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
-1
-300
-300
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
-400
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
Le facteur de puissance.
Groupe (B)
L’allure de la tension
-400
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
Facteur de puissance en fonction du temps
15
Comparaison entre les puissances S et Se
x 10
14
(Se) IEEE
(S) Akagi
(S) Czarnecki
(S) Fryze généralisée
(FPe) IEEE
(FP) Akagi
(FP) Czarnecki
(FPw) Fryze généralisée
12
0.06
les puissances apparentes
4
l’allure du courant
Le courant en fonction du temps
La tension en fonction du temps
25
150
10
20
10
15
8
S,Se[VA]
100
FP
10
50
i[A]
5
v[V]
0
6
0
4
0
5
-5
2
-10
-50
-15
0
-100
-20
-25
-150
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
-2
0.06
0
0
0.01
0.02
0.06
La puissance instantanée
La puissance apparente
la puissance apparente en fonction du temps
1400
Budeanu
Fryze
Czarnecki
IEEE
la puissance instantanée
3000
Budeanu
Fryze
Czarnecki
IEEE
2500
1200
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
Comparaison entre les
puissances actives et la
puissance réelle continue
x 10
0.04
0.05
0.06
les puissances Q et q continue en fonction du temps
4
IEEE
Akagi
Czarnecki
Fryze généralisée
6
S[VA]
800
x 10
400
500
4
Q,q continue[Var]
600
1000
IEEE
Akagi
Czarnecki
Fryze généralisée
6
5
P,P continue[W]
p[W]
0.03
Temps[s]
7
2000
4
3
2
2
0
1
200
0
0.02
Comparaison entre les
puissances réactives et la
puissance imaginaire continue
8
1500
0.01
les puissances P et P continue en fonction du temps
4
8
1000
0
-2
0
-500
0
0
0.01
0.02
0.03
temps[s]
0.04
0.05
0.06
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
-1
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
-4
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
29
Comparaison entre les
courants i R actif
Comparaison entre Les
courants i R ref
Comparaison entre les
courants i R actif d’Akagi
Comparaison entre les
courants i R ref d’Akagi
d’Akagi THD  0.02 et
d’Akagi THD  2.438 t
i qR de Fryze THD  2.486
THD  0.014 et i wR de
Fryze THD  0.003
THD  2.445 et iqR de Fryze
i wR de Fryze THD  0.14
Comparaison entre les courants iR ref et iqR
Comparaison entre les courants iR actif et iwR
150
300
150
iR actif
50
100
100
200
50
100
iR actif,iwR[A]
iqR
iR ref,iqR[A]
iR actif,iwR[A]
iR ref
0
0
0
-100
-50
-50
-200
-100
-300
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
iR ref,iqR[A]
200
0
iR ref
iqR
iR actif
iwR
iwR
100
-150
-100
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
-150
0.06
L’allure du courant et de
la tension de la phase R
0
-100
-200
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
-300
0.06
Groupe (D)
0
0.01
Le courant et la tension de la phase R
L’allure du courant et de la
tension de la phase R
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
L’allure du courant et de la
tension de la phase S
Le courant et la tension de la phase S
400
Courant
Tension
Le courant et la tension de la phase S
Le courant et la tension de la phase R
Courant
Tension
300
400
400
Courant
Tension
Courant
Tension
300
200
300
300
200
200
100
100
200
0
-100
-200
-200
-300
iS[A],vS[V]
0
iR[A],vR[V]
100
iS[A],vS[V]
100
-100
0
0
-100
-100
-200
-200
-300
-300
-300
-400
0.02
Groupe(E)
L’allure du courant et de
la tension de la phase S
400
iR[A],vR[V]
THD  2.446
Comparaison entre les courants iR ref et iqR
Comparaison entre les courants iR actif et iwR
300
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
-400
0.06
L’allure du courant et de
la tension de la phase T
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
-400
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
-400
0.06
0
0.01
L’allure du courant et de la
tension de la phase T
Courant du neutre
le courant du neutre
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
Courant du neutre
-13
400
4
Le courant et la tension de la phase T
le courant du neutre
x 10
400
Le courant et la tension de la phase T
Courant
Tension
300
400
3
Courant
Tension
300
300
200
2
200
200
100
1
0
iT[A],vT[V]
0
iN[A]
100
iN[A]
iT[A],vT[V]
100
-100
0
0
-1
-100
-100
-200
-200
-400
-2
-200
-300
-300
-400
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
Le facteur de puissance
Facteur de puissance en fonction du temps
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
-400
0.06
Comparaison entre les
puissances apparentes
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
les puissances apparentes
4
4.5
Facteur de puissance en fonction du temps
Comparaison entre les puissances S et Se
x 10
6
(FPe) IEEE
(FP) Akagi
(FP) Czarnecki
(FPw) Fryze généralisée
16
-4
0
Le facteur de puissance
18
4
15
(FPe) IEEE
(FP) Akagi
(FP) Czarnecki
(FPw) Fryze généralisée
Comparaison entre les puissances S et Se
x 10
5
4
(Se) IEEE
(S) Akagi
(S) Czarnecki
(S) Fryze généralisée
14
3
4
6
4
S,Se[VA]
S,Se[VA]
8
FP,FPw,FPe
10
10
(Se) IEEE
(S) Akagi
(S) Czarnecki
(S) Fryze généralisée
3.5
12
FP,FPe,FPw
-3
-300
3
2
2.5
2
1.5
5
1
1
2
0.5
0
0
-2
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0
0.06
0
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
-1
Comparaison entre les
puissances actives et la
puissance réelle continue
les puissances P et p continue en fonction du temps
4
8
x 10
Comparaison entre les
puissances réactives et la
puissance imaginaire
continue
IEEE
Akagi
Czarnecki
Fryze généralisé
7
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
Comparaison entre les
puissances actives et la
puissance réelle continue
0.01
x 10
0.04
0.05
0.06
les puissances Q et q continue en fonction du temps
4
x 10
0.03
Temps[s]
Comparaison entre les
puissances réactives et la
puissance imaginaire continue
2.5
les puissances Q et q continue en fonction du temps
4
8
0.02
les puissances P et p continue en fonction du temps
4
4
0
0.06
x 10
3.5
2
6
5
IEEE
Akagi
Czarnecki
Fryze généralisée
2.5
1.5
2
Q,q continue[Var]
P,p continue[W]
3
IEEE
Akagi
Czarnecki
Fryze généralisée
1
4
4
Q,q continue[Var]
P,p continue[W]
3
IEEE
Akagi
Czarnecki
Fryze généralisé
6
2
1.5
0.5
0
-0.5
2
0
1
-1
1
0.5
-2
-1.5
0
0
-4
-1
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
-2
0.06
-0.5
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
0.06
30
Comparaison entre les
courants i R actif d’Akagi
Comparaison entre les
courants i R ref d’Akagi
Comparaison entre les
courants i R actif d’Akagi
Comparaison entre les
courants i R ref d’Akagi
THD  0.004 et i wR de Fryze
THD  0.359 et iqR de
THD  0.1696 et i wR de Fryze
THD  1.702 et
THD  0.003
THD  0.1605
Fryze THD  0.360
iqR de Fryze
iR ref
iqR
iR actif
iwR
iR ref
iqR
80
200
60
60
60
40
40
40
iR ref,iqR[A]
20
0
0
20
iR ref,iqR[A]
iR actif,iwR[A]
100
20
iR actif,iwR[A]
300
iR actif
iwR
80
80
THD  1.668
Comparaison entre les courants iR ref et iqR
Comparaison entre les courants iR actif et iwR
100
Comparaison entre les courants iR ref et iqR
Comparaison entre les courants iR actif et iwR
0
0
-20
-20
-100
-40
-20
-40
-60
-200
-40
-60
-80
-80
-60
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
-100
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
Groupe (F)
L’allure du courant et de
la tension de la phase R
L’allure du courant et de
la tension de la phase S.
0
0.01
0.04
0.05
-300
0.06
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
THD  0.0228 et iwS de Fryze
THD  3.414 et i qS de Fryze
THD  3.374
THD  0.1774 .
Le courant et la tension de la phase S
500
Courant
Tension
400
Comparaison entre les courants iS actif et iwS
Comparaison entre les courants iS ref et iqS
100
200
0
Comparaison entre les
courants iS ref d’Akagi
400
Courant
Tension
0.03
Temps[s]
Comparaison entre les
courants i S actif d’Akagi
Le courant et la tension de la phase R
300
0.02
500
iS actif
iwS
300
iS ref
iqS
50
400
200
0
300
100
iS[A],vS[V]
-50
0
-100
200
-100
iS ref,iqS[A]
0
-100
iS actif,iwS[A]
iR[A],vR[V]
100
-150
100
0
-200
-200
-200
-100
-300
-250
-300
-200
-400
-300
-400
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
-500
0.06
0
0.01
L’allure du courant et de
la tension de la phase T
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
-350
Courant du neutre
400
Courant
Tension
300
300
200
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
-400
0.06
0
0.01
100
iR actif
iwR
iN[A]
250
0
200
iT actif,iwT[A]
-200
-200
-300
-300
-400
-400
-500
0.06
Le facteur de puissance
50
-50
iT ref,iqT[A]
iT[A],vT[V]
-100
0.05
iR ref
iqR
300
0
-100
0.04
0.06
Comparaison entre les courants iT ref et iqT
350
0
0.03
Temps[s]
0.05
Fryze THD  0.138
Comparaison entre les courants iT actif et iwT
100
0.02
0.04
THD  0.02711 et iqT de
100
0.01
0.03
Temps[s]
THD  0.0271 et i wT de Fryze
THD  0.1381
200
0
0.02
Comparaison entre les
courants iT ref d’Akagi
500
Le courant et la tension de la phase T
0.01
Comparaison entre les
courants iT actif d’Akagi
Courant du neutre
400
-300
0
150
100
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
-200
0
-250
-300
0.06
-100
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
Facteur de puissance en fonction du temps
4
14
0.6
(Se) IEEE
(S) Akagi
(S) Czarnecki
(S) Fryze généralisé
12
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
Groupe (G)
L’allure du courant et de la
tension de la phase R
Comparaison entre les puissances apparentes S et Se
x 10
-350
0.06
les puissances apparentes
0.8
-150
50
-50
0
-100
L’allure du courant et de la
tension de la phase S
0.4
10
Le courant et la tension de la phase R
Le courant et la tension de la phase S
400
400
Courant
Tension
0.2
S,Se[VA]
0
(FPe) IEEE
(FP) Akagi
(FP) Czarnecki
(FPw) Fryze généralisé
Courant
Tension
300
300
200
200
6
100
4
-0.4
100
iS[A],vS[V]
-0.2
iR[A],vR[V]
FP,FPe,FPw
8
0
0
-100
-100
-200
-200
2
-0.6
0
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
Comparaison entre les
puissances actives et la
puissance réelle continue
les puissances P et p continue en fonction du temps
4
6
x 10
0
0.01
0.02
0.05
0.06
-300
Comparaison entre les
puissances réactives et la
puissance imaginaire
continue
5
IEEE
Akagi
Czarnecki
Fryze généralisée
x 10
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
-400
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
Courant du neutre
Courant du neutre
500
400
Le courant et la tension de la phase T
400
300
Courant
Tension
IEEE
Akagi
Czarnecki
Fryze généralisée
7
-300
0
L’allure du courant et de la
tension de la phase T
les puissances Q et q continue en fonction du temps
4
300
200
200
100
6
100
5
2
iT[A],vT[V]
3
Q,q continue[Var]
P,p continue[W]
0.04
-400
8
4
0.03
Temps[s]
0.06
iN[A]
-0.8
4
3
2
0
0
-100
-100
-200
-200
-300
1
1
0
0
-1
-1
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
-2
-400
-300
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
-400
-500
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
31
Le facteur de puissance
les puissances apparentes
4
Comparaison entre les puissances S et Se
x 10
12
Facteur de puissance en fonction du temps
0.8
10
0.6
0.4
8
FP,FPe,FPw
(Se) IEEE
(S) Akagi
(S) Czarnecki
(S) Fryze généralisée
S,Se[VA]
IEEE
Akagi
Czarnecki
Fryze généralisée
0.2
0
6
4
-0.2
-0.4
2
-0.6
0
-0.8
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
Comparaison entre les
puissances actives et la
puissance réelle continue
les puissances P et p continue en fonction du temps
4
5
x 10
0
0.01
0.02
0.04
0.05
0.06
Comparaison entre les
puissances réactives et la
puissance imaginaire
continue
les puissances Q et q continue en fonction du temps
4
7
4
0.03
Temps[s]
0.06
IEEE
Akagi
Czarnecki
Fryze généralisée
x 10
6
IEEE
Akagi
Czarnecki
Fryze généralisée
3
4
Q,q continue[Var]
P,p continue[W]
5
2
1
3
2
1
0
0
-1
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
-1
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
Comparaison entre les
courants i R actif d’Akagi
Comparaison entre les
courants i R ref d’Akagi
THD  0.0130 et i wR de
THD  1.722 et iqR Fryze
Fryze THD  0.0144
THD  1.725
Comparaison entre les courants iR ref et iqR
Comparaison entre les courants iR actif et iwR
300
150
iR ref
iqR
iR actif
iwR
200
100
100
iR ref,iqR[A]
iR actif,iwR[A]
50
0
0
-100
-50
-200
-100
-300
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
Comparaison entre les
courants i S actif d’Akagi
Comparaison entre les
courants i S ref d’Akagi
THD  0.0088 et i wS
THD  3.480 et i qS Fryze
Fryze THD  0.0178
THD  3.483
Comparaison entre les courants iS actif et iwS
Comparaison entre les courants iS ref et iqS
100
400
iS ref
iqS
50
300
0
200
-50
100
iS ref,iqS[A]
iS actif,iwS[A]
iS actif
iwS
-100
0
-150
-100
-200
-200
-250
-300
-300
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
Comparaison entre les
courants iT actif d’Akagi
THD  0.0236 et i wT
-400
0
0.01
0.02
THD  0.0236 et
0.05
0.06
iqT Fryze
THD  0.00516
Comparaison entre les courants iT actif et iwT
Comparaison entre les courants iT ref et iqT
300
150
iT actif
iwT
iR ref
iqR
250
100
200
50
150
0
100
iT ref,iqT[A]
iT actif,iwT[A]
0.04
Comparaison entre les
courants iT ref d’Akagi
Fryze THD  0.00516
50
0
-50
-100
-150
-50
-200
-100
-150
0.03
Temps[s]
-250
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
-300
0
0.01
0.02
0.03
Temps[s]
0.04
0.05
0.06
32