série 1 - TD de Physique pour la filère PC (IPEIN)
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I.P.E.I.N Filière SP Série n°1 TRAVAUX DIRIGEES DE PHYSIQUE DENSITE DE CHARGE ET COURA NT Exercice 1 : Une petite sphère radioactive de rayon a initialement neutre, émet de façon isotrope par sa surface n charges q par unité de temps avec une vitesse radiale de norme v constante. Déterminer à un instant t, la répartition de charges et de courants correspondante Exercice2 : Champ radial à divergence nulle L’espace entre deux cylindres concentriques de hauteur h et de rayons a et b est occupé par un conducteur. Un courant d’intensité électrique I(t) circule entre les deux cylindres. Déterminer en négligeant tout effet de bord et dans l’A.R.Q.P. la répartition de courant entre les deux cylindres. Exercice 3 : Conduction électrique d’un métal 1°)Evaluer, pour un très bon conducteur comme le cuivre métallique, l'ordre de grandeur de la vitesse de dérive des électrons de conduction, dans un fil de section S=1 mm2, parcourue par un courants I=10A. La comparer à la vitesse d'agitation thermique d'un électron libre à la température T=300K. On suppose que chaque atome de cuivre donne un électron libre On donne pour le cuivre:La masse volumique =8.9 103 Kg m-3, La masse molaire M=64g.mol-1, la conductivité =5.9 107 S.m-1 La masse d’un électron m=9.1 10-31 kg ; La charge d’un électron :-e=-1.6 10-19 C; Constante de Boltzmann kB=1.381023 J K-1 . Le nombre d’Avogadro NA=6.02 1023 mol-1 2°) Evaluer le temps de relaxation du milieu. En assimilant à un temps de collision (temps moyen entre deux collisions successives d'une charge de reconduction avec le réseau). Évaluer le libres parcourt moyen l des charges de conduction. 3°) Le champ électrique appliqué au milieu est sinusoïdal, de la forme E E0.e jt en notation complexe. Montrer que le modèle précédent nous permet de définir une conductivité complexe en régime sinusoïdal établi. Dans quel domaine de fréquence sera-t-il possible d'assimiler la conductivité du milieu à sa valeur en régime permanent? Exercice 4 Dans cet exercice, tous les champs de vecteurs considérés sont dirigés parallèlement à l’axe Ox. 1) Un milieu ohmique de conductivité possède une répartition de charge volumique 0 ( x) ( x, t 0) initiale non identiquement nulle. En utilisant une surface de Gauss adaptée, relier l’évolution spatiale du champ électrique E E ( x, t )e x à la charge volumique ( x, t ) du milieu ( Le théorème de Gauss est applicable en régime variable). 2) Quelle loi d’évolution de la charge volumique ( x, t ) peut on déduire, en utilisant la loi d’ohm ? Vers quel état le milieu évolue-t-il ? Au bout de quel temps caractéristique T peut-on considérer que le milieu a perdu le souvenir de son état initial ? 3) indiquer l’ordre de grandeur de ce temps caractéristique T associé à cette relaxation . La loi d’ohm est elle effectivement utilisable pour étudier ce régime transitoire ? 3) Modèle de Drude Pour corriger l’incohérence de résultat, on se propose d’appliquer au milieu conducteur (possédant n porteurs mobiles de charge q et de masse m par unité de volume ) le modèle de Drude. On note le temps de relaxation associé. Le nombre n de porteurs mobiles par unité de volume ne peut être constant puisque varie ,mais en pratique , sa variation relative est extrêmement faible. a) En reprenant l’étude précédente, indiquer l’équation d’évolution de la charge ( x, t ) obtenue en utilisant cette nouvelle approche. b) Quel temps caractérise ici , compte tenu des ordres de grandeur, la perte de mémoire du conducteur ? Est-il comparable au temps T obtenu précédemment Données : le milieu ohmique est du cuivre de conductivité 6.10 7 S.m 1 et de temps de relaxation 10 14 s . Exercice 5 :Résistance électrique Deux cylindres conducteurs coaxiaux, de hauteur h et de rayons R1 et de R2 respectivement, sont séparés par un milieu conducteur ohmique de conductivité. Un courant I circule dans ce système lorsqu'il est soumis en une tension U. 1°) Déterminer la résistance R de ce système de deux manières différentes (on exigera tout effet de bord). La résistance précédente et plongée dans un champ magnétique uniforme et permanent B B0ez . R1 R2 Le champ électrique étant encore radial, mais la répartition des lignes de courants est altérée par la présence du champ magnétique. q la mobilité des porteurs de charge j . On pourra noter m (de charges q et de masse m) du milieu ohmique et on exprimera j par ces composantes dans la base cylindrique ( er, e , ez ). 2°) Déterminer le nouveau vecteur densité volumique de courant 3°) Quelle est la nouvelle et expression de la résistance du système? Compariez celle-ci à la valeur de la résistance en l’absence du champ magnétique, en utilisant les ordres de grandeur relatifs à un bon conducteur et pour un champ magnétique de 10 teslas. AN : q=-e= 1.6.10-19 C. m= 9.1 .1031 Kg et =10-14 s. Exercice n°6 : Déviation d’un faisceau de particules 1) Dans le cas d’une distribution à modélisation volumique, caractérisée par la densité de charge ( M,t) et de courant j (M, t) , quelle force volumique peut-on associer à la force de Lorentz exercée sur une charge ? 2) Que peut-on en déduire quant à l’évolution d’un pinceau de particules chargées, assimilé à un tube de courant rectiligne et de section circulaire de rayon a, contenant n charges q par unité de volume se déplaçant à la vitesse v dans la direction de l’axe Oz du tube ? ( il s’agit , dans cette modélisation, d’une distribution infinie fonctionnant en régime permanent. Exercice n°7 : Effet Hall On considère une plaquette conductrice parallélépipédique de section rectangulaire de largeur a , de très faible épaisseur b(b<<a) et de très grande longueur. Elle est placée perpendiculairement à un champ magnétique constant et y uniforme B Be z et elle est parcouru par un courant constant (2) de densité uniforme J je x parallèle à sa longueur ( voir figure ci-dessous) On désigne par u B z j ue x la vitesse des charges mobiles et par n I (1) leur nombre x 1°) Ecrire le bilan des forces s’exerçant sur une charge mobile q lorsque B 0 .par unité de volume. 2°-a) Déterminer la force supplémentaire s’exerçant sur q dés que l’on applique B Be z .Faire une figure dans les deux cas :q>0 et q<0. Qu’en conclure ? 2°-b) Dés que le régime devient établi, quel est le nouveau bilan des forces s’exerçant sur q ? E H le champ électrostatique dû aux charges surfaciques qui apparaissent sur les faces (1) et (2) du conducteur. Exprimer la différence de potentielle de Hall VH V2 V1 en fonction de u, B, a. Que conclure concernant le signe des charges 3°) On désigne par mobiles ? 4°) Exprimer V H en fonction de B, I, b, q et n. 5°) On considère un ruban de cuivre de 10cm de longueur , de largeur a=10cm et d’épaisseur b=1cm parcouru par un courant de 100 A, placé dans un champ B=1,75 T( cas de la figure). Le cuivre est de conductivité =5,8 107 S/met de densité d’électron libres n=8.5 1018 m-3. Calculer V21, EH et le champ électrique E responsable du courant. 6°) Le principe de base d’un générateur magnétohydrodynamique est l’ehhet hall. En considérant les faces (1) et (2) conductrices et les faces perpendiculaire à B isolantes et un plasma(gaz d’ions positives et négatives) en mouvement à la vitesse constante u ue x , expliquer que l’on a bien un générateur .Calculer la tension de Hall lorsque a=75cm, b=3 cm ,u=1000m/s et B=1,5T. Exercice 8 : Interaction entre deux spires Deux spires circulaires, de rayon de R1 etR2, parcourues par les courants I et i , on un même axe (Oz). La deuxième spire à un rayon R2 petit devant R1 et devant à distance d séparant ces deux circuits. R1 I R2 d z l’autre: a) en évaluant le champ magnétique créé par la grande Evaluer la force d'interaction exercée par l'une sur spire en un point de la petite spire. b) en considérant la petite spire comme un dipôle magnétique subissant l'action du champ magnétique créé par la grande spire. c) En utilisant le champ magnétique créé par la petite spire un point de la grande spire Institut Préparatoire aux études D’Ingénieur de Nabeul Filière SP Problème On place a t = 0 au point O une petite quantité de matière de dimensions négligeables ; cette matière émet des particules chargées positivement (charge e): chaque seconde le point O émet de façon isotrope n(t) particules de vitesse v en norme (v << c). Le nombre de charges émises est assez grand pour que l'on puisse admettre que la charge du point O soit continue : q0(t) = - Q (1- exp(-t/)) où Q et sont des constantes positives. Les durées prises en compte seront très supérieures à r/c. On note (<r,t) la densité volumique moyenne de charge à l'intérieur de la sphère de centre O et de rayon r à l'instant t et (r,t) la densité volumique de charge à la distance r de O à l'instant t. 1°)a)Que valent (<r,t) et (r,t) pour r > v.t ? b) Pour r < v.t , à quel instant les charges arrivant à t en r partaient-elles de O ? En déduire, à l'aide de la fonction q0, la charge comprise, à l'instant t, à l'intérieur de la sphère de rayon r< v.t . Quelle est l'expression de (<r,t) ? c) En considérant deux sphères de rayons r et r + dr avec la condition précédente r < v.t calculer (r,t) . Représenter l'allure des courbes (r,t) en fonction de t pour r donné puis en fonction de r pour t donné 2°)Des résultats précédents déduire l'expression du champ électriqueE ; (r,t) pour r > v.t et pour r < v.t 3°)Pour un vecteur ne présentant qu'une composante radiale l'opérateur divergence s'écrit : 1 (r 2 E r ) r2 r Les résultats du 2) et du 3) sont-ils compatibles ? 4°)Exprimer J ; (r,t) la densité volumique de courant à la distance r de O et à l'instant t. En déduire le vecteur champ magnétique B ; à la distance r et à l'instant t (on pourra invoquer des raisons de symétrie). 5°) E ; vérifient-ils l'équation de Maxwell-Ampère ? (r,t) , J ; (r,t) et B ; 6°) Définir et calculer la densité d'énergie électromagnétique we à l'instant t à la distance r de O. Exprimer le produit J ; (r,t) E ; (r,t) . Comparer ce produit et la dérivée we t . Conclusion.
