série 1 - TD de Physique pour la filère PC (IPEIN)

I.P.E.I.N Filière SP
Série n°1
TRAVAUX DIRIGEES DE PHYSIQUE
DENSITE DE CHARGE ET COURA NT
Exercice 1 :
Une petite sphère radioactive de rayon a initialement neutre, émet de façon isotrope par sa surface n charges q par unité de temps
avec une vitesse radiale de norme v constante.
Déterminer à un instant t, la répartition de charges et de courants correspondante
Exercice2 : Champ radial à divergence nulle
L’espace entre deux cylindres concentriques de hauteur h et de rayons a et b est occupé par un conducteur. Un courant d’intensité
électrique I(t) circule entre les deux cylindres.
Déterminer en négligeant tout effet de bord et dans l’A.R.Q.P. la répartition de courant entre les deux cylindres.
Exercice 3 : Conduction électrique d’un métal
1°)Evaluer, pour un très bon conducteur comme le cuivre métallique, l'ordre de grandeur de la vitesse de dérive des électrons de
conduction, dans un fil de section S=1 mm2, parcourue par un courants I=10A.
La comparer à la vitesse d'agitation thermique d'un électron libre à la température T=300K.
On suppose que chaque atome de cuivre donne un électron libre
On donne pour le cuivre:La masse volumique =8.9 103 Kg m-3, La masse molaire M=64g.mol-1, la conductivité =5.9 107 S.m-1
La masse d’un électron m=9.1 10-31 kg ; La charge d’un électron :-e=-1.6 10-19 C; Constante de Boltzmann kB=1.381023 J K-1 . Le
nombre d’Avogadro NA=6.02 1023 mol-1
2°) Evaluer le temps de relaxation  du milieu. En assimilant  à un temps de collision (temps moyen entre deux collisions
successives d'une charge de reconduction avec le réseau). Évaluer le libres parcourt moyen l des charges de conduction.
3°) Le champ électrique appliqué au milieu est sinusoïdal, de la forme
tj
eEE .
0
en notation complexe. Montrer que le modèle
précédent nous permet de définir une conductivité complexe en régime sinusoïdal établi. Dans quel domaine de fréquence sera-t-il
possible d'assimiler la conductivité du milieu à sa valeur en régime permanent?
Exercice 4
Dans cet exercice, tous les champs de vecteurs considérés sont dirigés parallèlement à l’axe Ox.
1) Un milieu ohmique de conductivité  possède une répartition de charge volumique
)0,()(
0 txx
initiale non
identiquement nulle. En utilisant une surface de Gauss adaptée, relier l’évolution spatiale du champ électrique
x
etxEE 
),(
à la
charge volumique
),( tx
du milieu ( Le théorème de Gauss est applicable en régime variable).
2) Quelle loi d’évolution de la charge volumique
),( tx
peut on déduire, en utilisant la loi d’ohm ?
Vers quel état le milieu évolue-t-il ?
Au bout de quel temps caractéristique T peut-on considérer que le milieu a perdu le souvenir de son état initial ?
3) indiquer l’ordre de grandeur de ce temps caractéristique T associé à cette relaxation .
La loi d’ohm est elle effectivement utilisable pour étudier ce régime transitoire ?
3) Modèle de Drude
Pour corriger l’incohérence de résultat, on se propose d’appliquer au milieu conducteur (possédant n porteurs mobiles de charge q
et de masse m par unité de volume ) le modèle de Drude. On note  le temps de relaxation associé.
Le nombre n de porteurs mobiles par unité de volume ne peut être constant puisque  varie ,mais en pratique , sa variation relative
est extrêmement faible.
a) En reprenant l’étude précédente, indiquer l’équation d’évolution de la charge
),( tx
obtenue en utilisant cette nouvelle
approche.
b) Quel temps caractérise ici , compte tenu des ordres de grandeur, la perte de mémoire du conducteur ?
Est-il comparable au temps T obtenu précédemment
Données : le milieu ohmique est du cuivre de conductivité
17 .10.6 
mS
et de temps de relaxation
s
14
10
.
Exercice 5 :Résistance électrique
Deux cylindres conducteurs coaxiaux, de hauteur h et de rayons
R1 et de R2 respectivement, sont séparés par un milieu
conducteur
ohmique de conductivité.
Un courant I circule dans ce système lorsqu'il est soumis en une
tension U.
1°) Déterminer la résistance R de ce système de deux manières
différentes (on exigera tout effet de bord).
La résistance précédente et plongée dans un champ magnétique
uniforme et permanent
z
eBB 
0
.
R2
R1

Le champ électrique étant encore radial, mais la répartition des lignes de courants est altérée par la présence du champ magnétique.
2°) Déterminer le nouveau vecteur densité volumique de courant
j
. On pourra noter
m
q
la mobilité des porteurs de charge
(de charges q et de masse m) du milieu ohmique et on exprimera
j
par ces composantes dans la base cylindrique (
zr eee  ,,
).
3°) Quelle est la nouvelle et expression de la résistance du système?
Compariez celle-ci à la valeur de la résistance en l’absence du champ magnétique, en utilisant les ordres de grandeur relatifs à un
bon conducteur et pour un champ magnétique de 10 teslas.
AN : q=-e= 1.6.10-19 C. m= 9.1 .1031 Kg et =10-14 s.
Exercice n°6 : Déviation d’un faisceau de particules
1) Dans le cas d’une distribution à modélisation volumique, caractérisée par la densité de charge ( M,t) et de courant
),( tMj
,
quelle force volumique peut-on associer à la force de Lorentz exercée sur une charge ?
2) Que peut-on en déduire quant à l’évolution d’un pinceau de particules chargées, assimilé à un tube de courant rectiligne et de
section circulaire de rayon a, contenant n charges q par unité de volume se déplaçant à la vitesse
v
dans la direction de l’axe Oz du
tube ? ( il s’agit , dans cette modélisation, d’une distribution infinie fonctionnant en régime permanent.
Exercice n°7 : Effet Hall
On considère une plaquette conductrice parallélépipédique de
section rectangulaire de largeur a , de très faible épaisseur
b(b<<a) et de très grande longueur. Elle est placée
perpendiculairement à un champ magnétique constant et
uniforme
z
eBB 
et elle est parcouru par un courant constant
de densité uniforme
x
ejJ 
parallèle à sa longueur ( voir
figure ci-dessous)
On désigne par
x
euu 
la vitesse des charges mobiles et par n
leur nombre
1°) Ecrire le bilan des forces s’exerçant sur une charge mobile q lorsque
0B
.par unité de volume.
2°-a) Déterminer la force supplémentaire s’exerçant sur q dés que l’on applique
z
eBB 
.Faire une figure dans les deux cas :q>0
et q<0. Qu’en conclure ?
2°-b) Dés que le régime devient établi, quel est le nouveau bilan des forces s’exerçant sur q ?
3°) On désigne par
H
E
le champ électrostatique dû aux charges surfaciques qui apparaissent sur les faces (1) et (2) du conducteur.
Exprimer la différence de potentielle de Hall
12 VVVH
en fonction de u, B, a. Que conclure concernant le signe des charges
mobiles ?
4°) Exprimer
H
V
en fonction de B, I, b, q et n.
5°) On considère un ruban de cuivre de 10cm de longueur , de largeur a=10cm et d’épaisseur b=1cm parcouru par un courant de
100 A, placé dans un champ B=1,75 T( cas de la figure). Le cuivre est de conductivité =5,8 107 S/met de densité d’électron libres
n=8.5 1018 m-3. Calculer V21, EH et le champ électrique E responsable du courant.
6°) Le principe de base d’un générateur magnétohydrodynamique est l’ehhet hall. En considérant les faces (1) et (2) conductrices et
les faces perpendiculaire à
B
isolantes et un plasma(gaz d’ions positives et négatives) en mouvement à la vitesse constante
x
euu 
, expliquer que l’on a bien un générateur .Calculer la tension de Hall lorsque a=75cm, b=3 cm ,u=1000m/s et B=1,5T.
Exercice 8 : Interaction entre deux spires
Deux spires circulaires, de rayon de R1 etR2, parcourues par les courants I et i , on un même axe (Oz). La deuxième spire à un
rayon R2 petit devant R1 et devant à distance d séparant ces deux circuits.
l’autre:
a) en évaluant le champ magnétique créé par la grande
Evaluer la force d'interaction exercée par l'une sur spire en un point de la petite spire.
b) en considérant la petite spire comme un dipôle magnétique subissant l'action du champ magnétique créé par la grande spire.
c) En utilisant le champ magnétique créé par la petite spire un point de la grande spire
I
z
d
R2
R1
I
y
z
x
B
j
(2)
(1)

Institut Préparatoire aux études
D’Ingénieur de Nabeul
Filière SP
Problème
On place a t = 0 au point O une petite quantité de matière de dimensions négligeables ; cette matière émet
des particules chargées positivement (charge e): chaque seconde le point O émet de façon isotrope n(t)
particules de vitesse v en norme (v << c). Le nombre de charges émises est assez grand pour que l'on puisse
admettre que la charge du point O soit continue :
q0(t) = - Q (1- exp(-t/)) où Q et  sont des constantes positives. Les durées prises en compte seront très
supérieures à r/c.
On note
(<r,t) la densité volumique moyenne de charge à l'intérieur de la sphère de centre O et de rayon r à
l'instant t et
(r,t) la densité volumique de charge à la distance r de O à l'instant t.
1°)a)Que valent
(<r,t) et (r,t) pour r > v.t ?
b) Pour r < v.t , à quel instant les charges arrivant à t en r partaient-elles de O ? En déduire, à l'aide de
la fonction q0, la charge comprise, à l'instant t, à l'intérieur de la sphère de rayon r< v.t . Quelle est
l'expression de
(<r,t) ?
c) En considérant deux sphères de rayons r et r + dr avec la condition précédente r < v.t calculer
(r,t) .
Représenter l'allure des courbes
(r,t) en fonction de t pour r donné puis en fonction de r pour t donné
2°)Des résultats précédents déduire l'expression du champ électriqueE ;  (r,t) pour r > v.t et pour r < v.t
3°)Pour un vecteur ne présentant qu'une composante radiale l'opérateur divergence s'écrit :
Les résultats du 2) et du 3) sont-ils compatibles ?
4°)Exprimer J ;  (r,t) la densité volumique de courant à la distance r de O et à l'instant t. En déduire le
vecteur champ magnétique B ;  à la distance r et à l'instant t (on pourra invoquer des raisons de
symétrie).
5°) E ;  (r,t) , J ;  (r,t) et B ;  vérifient-ils l'équation de Maxwell-Ampère ?
6°) Définir et calculer la densité d'énergie électromagnétique we à l'instant t à la distance r de O. Exprimer le
produit J ;  (r,t) E ;  (r,t) .
Comparer ce produit et la dérivée
we
t
. Conclusion.
1
2
2
r
r E
rr
( )