i - modelisation des liaisons

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Modélisation des liaisons et des actions mécaniques
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I - MODELISATION DES LIAISONS:
I-1 Solide:
Qu’est ce qu’un solide?
On distingue trois familles de corps :
- les corps solide : table
- les corps liquide : eau
- les corps gazeux : air
Dans les corps solides, on fera la différence entre :
Solide réel : C’est un solide qui possède une masse constante et un volume dont les limites varient sous l’action
d’un système de forces extérieures suivant une loi inconnue à priori.
C’est le cas de la table, corps dur indéformable à priori, et de la feuille, corps mou déformable.
Solide indéformable : C’est le solide théorique qui possède
constante et un volume dont les limites sont invariantes
les actions extérieures auxquelles il est soumis.
 A et B  (S),t , AB Cte
une
masse
quelque soient
(S)
A
B
C’est le solide théorique que l’on considère en statique, en cinématique ou en dynamique en fait le solide
parfaitement indéformable n’existe pas.
En pratique, on considérera :
- soit des solides indéformables
- soit des solides déformables suivants une loi connue (Ressort, Rondelles élastiques)
I-2
Repérage d’un solide par rapport à un
z
autre:
a- Choix d’un référentiel :
Un référentiel est déterminé par le choix d’un système de
référence, d’un repère d’espace et d’un repère de temps. En
effet, un repère d’espace n’est pas en lui-même suffisant pour
décrire le mouvement d’un solide par rapport au système de
référence, car si le repère d’espace permet de connaître la
forme de la trajectoire, il ne permet pas de préciser la position
mobile sur celle-ci à un instant donné.
b- Les repères :
y
x
Un système de référence muni d’un repère
d’espace et d’un repère de temps, constitue un
référentiel.
du
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Repère plans :
 
R (O, i , j ) est le repère du plan
A (2, 3) coordonnées de A dans le plan
O : est l’origine du repère

(O, x ) : est l’axe des abscisses

(O, y ) : est l’axe des ordonnées
 
( i , j ) : est une base du plan


si (O, x )  (O, y ) le repère est orthogonal


si i  j  1 le repère est normé

y
A

j

i

x
Un repère qui est à la fois orthogonal et normé est dit
orthonormé.
Repères dans l’espace :
  
R (O, i , j , k) est le repère dans l’espace
O : est l’origine du repère

(O, x ) : est l’axe des abscisses

(O, y ) : est l’axe des ordonnées

(O, z ) : est l’axe des cotes
  
( i , j , k) : est une base dans l’espace

z

k

i

x
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
j

y
Remarque : Le repère orthonormé direct vérifie la règle des
trois doigts de la main droite.
Pour se souvenir du sens des 3 axes d’un trièdre direct, il existe
une méthode simple dite des 3 doigts de la main droite. Pouce,
index et majeur de la main droite, ils situent respectivement les
axes X, Y et Z. Les doigts donnent les sens des axes.
En mécanique, il faudra toujours prendre des repères orthonormés directs.
N

z

y
Le repère Galiléen :
Si nous étudions le mouvement d’un objet dans une salle de classe, il est
commode de choisir le référentiel terrestre appelé aussi référentiel du
laboratoire, dont le système de référence est la terre.
Il est lié à la Terre dans son mouvement autour du soleil et dans son
mouvement propre autour des pôles.
Un repère qui lui est couramment associé comporte deux axes horizontaux et un
axe vertical.

x
S
Repère associé au
référentiel terrestre
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I-3 Les liaisons :
a - Introduction :
Un système mécanique est généralement composé de plusieurs solides ayant une ou plusieurs surfaces de contacts
entre eux. La géométrie caractéristique de ces surfaces de contact permet de définir des liaisons que l’on appellera
liaisons mécaniques.
Ces liaisons sont classées en fonction des efforts transmissibles d’un solide vers l’autre ou en
fonction des mouvements qu’elles permettent entre les deux solides considérés.b - Caractéristiques d’une
fonction :
Si on considère deux solides n’ayant aucun contact entre eux, le nombre de mouvement maximum possible entre
les deux solides est de 6, on appellera ces mouvements degrés de liberté.
Ainsi pour définir une liaison, on recherchera dans un premier temps les surfaces de contacts entre les deux
solides considérés. Puis ensuite les mouvements possibles.

z
La pièce peut se déplacer :
- par Translation suivant chacun des axes : Tx, Ty, Tz
- par Rotation autour de chacun des axes : Rx, Ry, Rz
Rz
Tz
Ty
Tx

x
Rx
Dans tous les cas :
Ry

y
Chaque déplacement doit s’effectuer dans les deux sens.
Pour chacune des liaisons mécaniques rencontrées, on
définira les degrés de liberté de la liaison en comptant
les mouvements possibles. Lorsqu’un mouvement est
empêché, on aura un degré de liaison.
Nbre de degré de liberté + Nbre de degré de liaison = 6
Les liaisons mécaniques :
Définitions :
La liaison ponctuelle : Deux solides ou ensembles matériels sont en liaison ponctuelle si,
en fonctionnement, l’intersection de leur représentation géométrique se réduit à un point ou à
une surface suffisamment possible devant les dimensions des solides liés.
La liaison linéaire rectiligne : Deux solides sont en liaison rectiligne si, pendant le
fonctionnement, l’intersection de leur représentation géométrique se réduit à un segment
de droite ou à une portion de plan suffisamment petite pour être considérée comme telle.
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La liaison linéaire annulaire : Deux solides sont en liaison linéaire annulaire si, au cours du fonctionnement,
l’intersection de leur représentation géométrique se réduit à un arc de cercle
ou à un cylindre de révolution dont le rapport de la longueur au diamètre est
suffisamment petit pour être considéré comme un arc de cercle.
La liaison Appui plan : Deux solides ou ensembles matériels sont en liaison appui plan si l’intersection de leur
représentation géométrique est constituée d’un plan ou de plusieurs portions de plan parallèles.
La liaison rotule : Deux solides sont en liaison rotule si dans leur déplacement, l’intersection de leur représentation
géométrique est une sphère ou une portion de sphère.
La liaison sphérique à doigt : La liaison sphérique à doigt est une liaison dérivée de la liaison rotule ; un doigt ( ou
ergot), coulissant dans une rainure, empêche une des trois rotations.
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La liaison pivot glissant : Deux solides sont en liaison pivot glissant si dans leur déplacement, l’intersection de leur
représentation géométrique est un cylindre de révolution ou toute association d’éléments géométriques pouvant être
considéré comme telle.
La liaison pivot : Deux solides sont en liaison pivot si dans leur déplacement, l’intersection de leur représentation
géométrique est une surface de révolution différente d’un cylindre ou d’une sphère, ou une association de lignes ou de
points pouvant être considérée comme telle.
La liaison glissière : Deux solides sont en liaison glissière si dans leur déplacement, l’intersection de leur représentation
géométrique est un cylindre non de révolution ou une association de points de contact pouvant être considérée comme telle.
La liaison hélicoïdale : Deux solides sont en liaison hélicoïdale si dans leur déplacement, l’intersection de leur
représentation géométrique se réduit à une hélicoïde ou à une association d’éléments géométriques pouvant être considérée
comme telle.
La liaison encastrement : Deux solides sont en liaison encastrement s’il n’existe aucun degré de liberté entre les deux
solides. Le choix du référentiel est totalement libre.

x 
x z

z
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Nom de la liaison et
caractéristiques
Représentation
spatiale

z
Ponctuelle
de normale
(O,
1.
Représentation plane

z

z)

z

z
Linéaire rectiligne
d’axe (O,

x)
& de normale (O,

z)
Linéaire annulaire
d’axe (O,

x)

x

x
O
Rotule
de centre O

z
Appui plan
de normale
(O,

z)
Pivot glissant
d’axe (O,

x)
Glissière
hélicoïdale
d’axe (O,

x)
Glissière
d’axe (O,
Pivot
d’axe (O,

x)

x)
Encastrement

x

x

x

x
Mobilités
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Torseur d’action
transmissible
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II- MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES :
II-1 Définition:
D’une façon générale, on appelle action mécanique toute cause susceptible de maintenir un corps
au repos , de créer ou de modifier un mouvement, de déformer un corps.
II-2 Formes d’action mécaniques :
Forces :
On appelle force, l’action mécanique qui s’exerce mutuellement entre deux particules élémentaires
par forcements en contact.
Une force est toujours appliquée en un point, elle est modélisable par un vecteur.
AH/V
AV/H
Une force est caractérisée géométriquement par :
-son point d’application
-sa direction
-son sens
-sa norme
Unité: l’unité légale de force est le newton dont le symbole est N
Réciproquement la voiture exerce une action sur l’homme
On a
A V/H  - A H/V
AV / H
.
c’est le principe des actions réciproques.
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II-3 Moment d’une force par rapport à un point:
Trousse au bout de la règle (la main remplace l’encastrement faire varier la position de la trousse)
Serrage d’un écrou avec une clé.
Un moment d’une force par rapport à un point, c’est une action qui a tendance à faire tourner la pièce sur laquelle
il est appliqué autour du point de référence.
Exemple :

F
F
M A, F
La force
a tendance à faire tourner la porte autour
du point A. On a en A, un moment, sa norme dépend

de la norme de F et de la distance entre M et A.
M
Définition : Dans le repère orthonormé direct
 
R (O, x, y, z ) , on considère une force
A

F (XF, YF, ZF) appliquée au point M (x, y, z) et un
point quelconque A (xA, yA, zA)
On appelle moment par rapport au point A de la force F appliquée au point M, le vecteur d’origine A défini par la
relation :
M

A,F

 AM  F
M est le point d’application de la force et A est le point de calcul du moment.
Voir exercices sur les produits vectoriels

Propriétés: Soit () le support de F , on démontre que quelque soit P  ():
On montre que :


MA,F  AM . sin  . F  d . F
d : distance entre A et () support de F , on l’appelle aussi bras de levier.
Unité: La norme de F s’exprimant en newton (N) et la distance d en mètres (m) , l’unité légale de mesure d’un
moment sera le newton-mètre ( Nm)

F
Cas de nullité: Le moment d’une force
par rapport à un point A est nul si le support de F passe par A (d=0)
ou si F = 0
Le moment d’une force au point d’application de la force est nul.
Voir exercices d’application.
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Relation fondamentale:

Soit F une force appliquée en M et 2 points quelconques A et B.
Par définition on sait que :


M A,F  AM  F et MB,F  BM  F
Or BM  BA  AM , par conséquent:

MB,F  (BA  AM)  F

MB,F  (BA  F)(
AM

F

)
M A, F
MB,F  MA,F  BA  F
ou
MB,F  MA,F F  AB
MB,F  MA,F  BA  F
III – MODÉLISATION DES ACTIONS MÉCANIQUES AU MOYEN DES TORSEURS :
III-1 Champ de l’action mécanique d’une force sur un solide :
Soit A (1S) une force appliquée en A sur le solide S.
A1/S
A
B
R1/S
MB,1/S
L’action mécanique de la force A (1S) est modélisable en tout point B de S par:
- une action que l’on notera R (1S) égale à A (1S)
- un moment que l’on notera MB,A(1S) qui est le moment en B de la force A (1S)
Le graphe suivant permet de visualiser cette modélisation:
A (1S) => R (1S) = A (1S)
(1)
A
MB,A(1S)  BA  A(1S)
(2)
B
La relation (1) caractérise sur (S) un champ uniforme
La relation (2) caractérise sur (S) un champ de moment B étant un point quelconque lié à S
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Propriété de l’action mécanique appliquée à un solide :
L’action mécanique sur un solide (S), exercée par une force A (1S) appliquée en un point A de ce solide se
caractérise par deux champs :
- un champ uniforme défini par A (1S)
- un champ de moment défini en tout point B par :
MB,A(1S)  BA  A(1S)
III-2 Torseur associé à l’action mécanique d’une force:
D’après la définition de l’action mécanique , on peut la modéliser par un torseur
Soit une force A (1S) appliquée en A sur un solide (S) , considérons le torseur noté T(1S)  tel que en un point
quelconque B:
 R (1S)  A(1S)


 Par défaut on considère l’écriture du torseur dans le repère R rattaché au solide
T(1S) B  

M B, A (1S)  BA  A(1S)  B
(S)
R (1S)  A(1S) est la résultante d’action , elle est invariante.
MB,A(1S) est le moment en B de l’action A (1S) , il varie suivant la relation fondamentale de calcul des moments.
Le torseur [ T(1S) ] modélise parfaitement l’action mécanique de la force A (1S) appliquée en A
En pratique , on associera dorénavant à chaque action mécanique son torseur représentatif et on fera apparaître le
point de calcul du torseur.
Changement du point de réduction d’un torseur :
 R (12) 

Soit un torseur [ T(12) ] écrit en A avec les éléments de réduction suivants : T(12) A  


MA,12  A
Si on écrit les éléments de réduction du torseur en B, on obtiendra :


R (12)


T(12) B 


MB,12  MA,12  BA  R (12)  B
Torseur particuliers :
*Le torseur représentatif de l’action mécanique de la force A (1S) ) appliquée en A et calculée au point A se
R (1S)  A(1S) 

note: T(1S) A  



0

A
Ce torseur s’appelle un glisseur car son moment est nul
 0 
* Un torseur de la forme : T(1S) A    est appelé torseur couple. C’est par exemple l’action mécanique
 
M A  A
exercée par un moteur pour mettre un solide en rotation autour d’un axe
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III-3 Actions mécaniques dans les liaisons entre solides :
a - Définition d’une liaison parfaite :
Une liaison parfaite est une liaison supposée sans jeu et sans frottements
sans jeu : contact entre 2 surfaces géométriquement parfaites
b - Compatibilité entre degré de liberté et action transmissible :
On considère le système étudié suivant :
B
B
(3)
(2)
(1)
(2)
(3)
(1)
C
y
C
A
A
(0)
x
A
Bride de serrage :
On définit le graphe des liaisons suivant :
Considérons la bride serrée, l’ensemble {2+3} ne forme qu’un
seul solide que l’on décide d’isoler.
Ponctuelle

De normale (B,x )
1
2
Pivot
d'axe

(C,z )
Ponctuelle
Hélicoïdale

y )
D'axe (C,
3
Frontière
d’isolement
0
Ponctuelle

De normale (A,y
)
On peut définir trois actions transmises par l’intermédiaire de trois liaisons.

 L1/2 : liaison ponctuelle de normale (B, - x )

 L0/2 : liaison pivot d’axe (C, z )

 L0/3 : liaison ponctuelle d’axe (A, - y )
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Soit la liaison ponctuelle L1/2 :
On connaît le tableau des mobilités :
T
0
Ty
Tz

x

y

z
R
Rx
Ry
Rz
On considère deux actions élémentaires
 

 Une force de direction x , y ou z pour définir la résultante du torseur
 

 Un moment autour de x , y ou z pour définir le moment de ce même torseur
On applique successivement ces deux actions élémentaires à une des deux pièces de la liaison considérée et on
regarde les effets sur l’autre pièce de la liaison.
Si une action (force ou moment) est transmise d’une pièce à l’autre alors la composante correspondante dans le
torseur d’action transmissible de la liaison est non nulle.
Ecrivons le torseur d’action transmissible

x

y

z
R
X
0
0
R : Résultante d’action transmissible
M
0
0
0
M : Moment transmissible
Propriété : Pour chaque liaison parfaite, on peut remarquer que dans le même repère à chaque degré de liberté
non nul de cette liaison correspond une composante nulle du torseur associé à l’action mécanique transmissible
par celle-ci.
L12B 
On notera ce torseur :
X12 0 
0 0
0 0 R
B

Torseur d’action transmissible par une ponctuelle d’axe (B, x )
Soit la liaison pivot L0/2 :
On connaît le tableau des mobilités :
T
0
0
0

x

y

z
R
0
0
Rz
Ecrivons le torseur d’action transmissible

x

y

z
R
X
Y
Z
M
L
M
0
 X02 L02 
L02C   Y02 M02
On notera ce torseur :
Z02 0  R
C
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Nom de la liaison et
caractéristiques

z
Ponctuelle

z
de normale
(O,
Représentation spatiale
Représentation plane

z)

z

z
Linéaire rectiligne
d’axe (O,

x)
& de normale (O,

z)
Linéaire annulaire
d’axe (O,

x)

x

x
O
Rotule
de centre O

z
Appui plan
de normale
(O,

z)
Pivot glissant
d’axe (O,

x)
Glissière
hélicoïdale
d’axe (O,

x)
Glissière
d’axe (O,
Pivot
d’axe (O,

x)

x)
Encastrement

x

x

x

x
Mobilités
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Torseur d’action
transmissible
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III-4 Ecriture plane du torseur d’action transmissible :
Pour écrire le torseur d’une liaison quelconque dans un plan donné, il faut appliquer la règle suivante :
on ne garde que les composantes correspondants aux actions qui maintiennent la pièce dans le plan considéré.
 
Pour le plan (x , y) on gardera pour la résultante : X et Y et pour le moment : N

-------------- (y, z ) --------------------------------------Y et Z -------------------------L

--------------- (x , z ) -------------------------------------X et Z -------------------------M
Le torseur d’action transmissible de liaison pivot L0/2 étudiée précédemment s’écrira donc:
 
Dans le plan (x , y) plan dans lequel est dessiné la liaison L0/2
X02 0 
L02C   Y02 0 
0 0 R
C

Dans le plan (x , z )
L02C 
 X02 0 
 0 M02
Z02 0  R
C

Dans le plan (y, z )
 0 L02
L02C  Y02 0 
Z02 0  R
C
III-5 Actions mécaniques à distances :
a- Définition :
L’action mécanique d’un élément 1sur un élément 2 est dite à distance si elle ne résulte pas d’une liaison
mécanique entre 1 et 2
Les principales actions mécaniques à distances sont : le champs de pesanteur et les champs magnétiques.
b- Le champ de pesanteur :
C’est l’action mécanique à distance exercée par la terre T sur un système matériel S.
Ex : Une craie abandonnée à une certaine distance du sol, tombe jusqu’au sol. Idem avec des fragments de craie.
L’action de pesanteur est donc répartie sur toutes les particules élémentaires du solide S.
Définition:
Le poids P est défini comme l’action mécanique de pesanteur.
- Son intensité est proportionnelle à la masse du système matériel
- Sa direction est verticale
- Son sens est descendant
- Son point d’application est le centre de gravité G du système déterminé à l’aide du calcul de barycentre.
Le torseur associé calculé au centre de gravité G :
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R Pesanteur/ s  P  - m . g y 
 en posant y verticale ascendante du repère R
TPesenteur/ S G  



MG, pesanteur / S  0
R
G
m : masse du système en kg
g : accélération de gravité ou accélération de pesanteur (généralement g = 9,81 m /s2 )
c- les champs magnétiques :
2 aimants de même polarité se repoussent mutuellement sans qu’il y ait contact.
Très utilisés dans l’industrie : les moteurs et génératrices électriques.
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