Puissance d`une action mécanique

Puissance
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Puissance d’une action mécanique
1. Puissance développée, à un instant t, par des actions mécaniques appliquées sur
un ensemble matéri el (E ) dans son mouvement par rappor t à un repèr e R
Soit (E) un ensemble matériel et
r
VP / R le vecteur vitesse du point P de
(E) dans son mouvement par rapport à un repère R .
Soit
{F → E} le torseur représentant certaines actions mécaniques
appliquées à l'ensemble matériel (E).
r
r


R F→E = ∫∫∫ dF(P)


P∈E


{F → E} =  r
uuur
r 
M A, F→E = ∫∫∫ AP ∧ dF(P)


P∈E

A
Alors la puissance développée par les actions mécaniques
R
{F → E} sur l'ensemble matériel (E) dans son mouvement par rapport à
vaut, par définition :
P (F→E / R ) =
r
r
∫∫∫ VP / R .dF(P)
P∈E
2. Cas du solide indéformable
2.1. Puissance développée, à un instant t, par des actions mécaniques appliquées sur un solide (S) dans
son mouvement par rapport à un repère
R
Si (S) est un solide indéformable il est possible d’écrire son torseur cinématique :
r
 Ω S / R
{V S / R } =  r
 V A∈S / R
r

Ω S /R


uuur 
r
r
 = r
 A  VP∈S / R = V A∈S / R + Ω S / R ∧ AP  P
Alors la puissance des actions mécaniques {F → S} sur le solide (S) en mouvement par rapport à R s'exprime par
P (F→S / R ) =
r
r
r
r
r
∫∫∫ VP∈S / R .dF(P) = ∫∫∫ V A∈S / R .dF(P) + ∫∫∫ (Ω S / R
P∈S
P∈S
uuur r
∧ AP).dF(P)
P∈S
r r r r r r
Or (u ∧ v).w = u.(v ∧ w) (propriété du produit mixte)
Donc
uuur
r
r
r
r
P (F→S / R ) = V A∈S / R . ∫∫∫ dF(P) + Ω S / R . ∫∫∫ AP ∧ dF(P)
P∈S
P∈S
r
r
r
r
P (F→S / R ) = V A∈S / R .R F→S + Ω S / R .M A,F→S
Nous reconnaissons le produit du torseur cinématique et du torseur des actions mécaniques
P (F→S / R ) = {F → S} ⊗ {V S / R
}
Le résultat du produit de deux torseurs est indépendant du point auquel est effectué, donc quel que soit le point A considéré :
r
r
r
r
P (F→S / R ) = R F→S .V A∈S / R + M A,F→S .Ω S / R
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Puissance
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Cas particuliers
Si (S) est fixe dans
R
, alors ⇒ P (F →S / R )
=0
r
r
r
R F→S 
 r  alors ⇒ P (F→S / R ) = R F→S .V A∈S / R
 0 
A 
r
m.g
C’est par exemple le cas de la pesanteur, {pes → S} =  r  et d’une manière
 0 
G
r
 Ω S / R 
générale {V S / R } =  r

 VG∈S / R 
G
r r
Alors ⇒ P (pes→S / R ) = m.g.V G∈S / R , la rotation éventuelle du solide (S)
Si {F → S} est un glisseur d'axe passant par A, {F → S} =
n’intervenant pas dans la puissance développée par la pesanteur.
r
r
Dans l’exemple ci contre P (pes→S / R ) = −m.g. VG∈S / R .z
14243
Composante
de la vitesse
du centre d'inertie
selon rla direction
r
de g,ici z
Si le point A est fixe dans R (c'est-à-dire rotation du solide (S) autour du point A ou autour d’un axe passant par A,) alors
r
r
⇒ P (F →S / R ) = M A,F →S . Ω S / R
Dans le cas de la liaison pivot (non parfaite) ci-contre
r
r
Ω

. x
ω
{V S / R} =  Sr / R  =  S /rR 
 0  A  0 
A 
Et {0 → S} =
A
r
 R 0→S 
r
=
M A,0→S 
X L 


 Y M
Z N r r r
 (x,y,z)
A 
r
r
⇒ P ( 0 →S / R ) = M A,0 →S . Ω S / R =
r
r
M A,0 →S . x
14
4244
3
.ωS /R
=L, composante
du moment
selon la direction
du vecteur rotation
Si {F → S} est un torseur couple, {F → S} =
0


r  alors
r
M
=
C
.u
F→S 
∀P  F→S
r
r
⇒ P (F →S / R ) = M F →S . Ω S / R = C F→S .
r
r
Ω S / R .u
1424
3
Composante
du vecteur rotation
selon la direction
du vecteur couple
C’est par exemple le cas de la puissance développée par un moteur électrique
{magnétique → rotor} =
∀P
r
0


r

C
 magnétique→rotor 
r
r
P (magnétique →rotor / stator) = C magnétique →rotor . Ω rotor / stator ,
r
r
Expression que l’on met souvent sous la forme P = C. ω car C magnétique →rotor et Ω rotor / stator sont de même direction
Si le mouvement de (S) par rapport à
R
r


0
est une translation, {V S / R } =
r
r  alors
 VS / R = v S / R .u
∀P 
r
r
⇒ P (F →S / R ) = R F →S . VS / R = v S / R .
r
r
R F →S .u
1424
3
Composante
de la résul tan te
selon la
direction de la
translation
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2.2. Travail développé par des actions mécaniques appliquées sur un solide (S) dans son mouvement par
rapport à un repère R , entre les instants t1 et t2
t
1
Par définition : Wt 2(F→S/ R ) =
t2
∫ P (F→S/ R ).dt
t1
La quantité dW (F→S / R ) = P (F→S / R ).dt est appelée le travail élémentaire développé par les actions mécaniques {F → S} appliquées
au solide (S), dans son mouvement par rapport à R
r
r
r
r
dW (F→S / R ) = R F→S . V A∈S / R .dt + M A,F→S . Ω S / R .dt
14243
1424
uuuur
r 3
dθ
dOA
Avec
uuuur
dOA = déplacement élémentaire du point A dans le repère R .
r
dθ = rotation élémentaire du solide (S) par rapport à R .
3. Puissance développée, à un instant t, par les efforts intérieurs à un ensemble de
solides en mouvement par rapport à un repère R
3.1. Cas de deux solides en contact surfacique
Considérons deux solides ( S 1 ) et ( S 2 ) en contact sur une
surface A .
En chaque point P de la surface de contact A , nous pouvons
définir un effort élémentaire de liaison
r
r
dF P,1→2 = − dF P,2→1
A
La puissance développée par les efforts intérieurs dans le mouvement de (S1) et (S2) par rapport au repère
R s'exprime par
P (int →(S 1 + S 2 ) / R ) = P (S1→S 2 / R ) + P (S 2 →S 1 / R )
{
}
{
}
P (int →(S 1 + S 2 ) / R ) = {S 1 → S 2} . ({V S 2 / R } − {V S 1 / R } )
P (int →(S 1 + S 2 ) / R ) = V S 2 / R .{S 1 → S 2 } + V S1 / R .{S 2 → S 1}
Résultat que nous pouvons mettre sous la forme suivante
{
}
{
}
P (int →(S 1 + S 2 ) / R) = {S 1 → S 2 } . V S 2 / S 1 = {S 2 → S 1} . V S1 / S 2 = P S 1 ↔ S 2
La puissance d’une action mécanique intérieure à un système de solides ne dépend que de la vitesse relative entre
les solides
Ou, en utilisant la démarche inverse du paragraphe 2.1
r

dF P,S1 →S 2 
∫∫


 P∈A

P (int →(S 1 + S 2 ) / R ) = 
uuur
r
.
P
dF
A
∧
 ∫∫
P,S1 →S 2  A


A P∈A
r
 Ω 2 / 1 
r


 V A∈2 / 1 
C’est-à-dire,
P (int →(S 1 + S 2 ) / R ) =
∫∫
P∈A
r
r
V P∈2 / 1.dF P,S1→S 2
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Puissance
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La puissance développée par les efforts intérieurs est nulle si pour chaque point I de contact :
r
r
Exemples :
V I∈2 /1 = 0 , c'est à dire qu'il y a non glissement entre
non glissement d’une roue
( S 1 ) et ( S 2 ).
Remarque 1 : cela ne signifie pas qu’il n’y a pas de frottement
aux points de contact. Par exemple il est nécessaire d’avoir
adhérence du pneumatique sur la chaussée dans une
automobile.
Remarque 2 : Le résultat est démontré pour une action entre
deux solides indéformables (utilisation du torseur distributeur des
vitesses).
Dans le cas de solides déformables le non glissement n’est pas
une condition suffisante pour avoir une puissance dissipée nulle.
r
r
dF P,1→ 2 .V P∈2 / 1 = 0 , c'est à dire que le contact est
sans frottement (la condition de HUNT implique que
r
r
r
V P∈2 /1 .n 12 = 0 donc dF P,1→ 2 doit être porté par
r
n 12 ).
Roulements à billes, rouleaux.....
Exemples :
Liaison réalisée avec une bonne lubrification ou avec un
couple de matériaux possédant un faible coefficient de
frottement.
Palier hydrodynamique ou hydrostatique (interposition d'un
mince film d'huile "laminé" entre les surfaces de contact ⇒
suppression du contact métallique).
Palier magnétique (guidage asservi au moyen d'électroaimants).
Si la puissance développée par les efforts intérieurs est nulle la liaison est dite parfaite.
Application
Connaissant le torseur cinématique d’une liaison parfaite, on peut en déduire le torseur des actions transmissibles ou inversement car
{1 → 2} ⊗ {2 / 1} = 0 .
Si la puissance développée par les efforts intérieurs est non nulle, la perte énergétique se traduira par un
échauffement du mécanisme et par un rendement différent de 1.
Un glissement non nul, associé à des efforts, provoquera également une usure du mécanisme.
3.2. Cas de deux solides en interaction quelconque
Si 2 solides sont en interaction on généralise aisément le résultat précédent. C’est notamment le cas entre un rotor et un stator de
moteur ( P int = C stator →rotor .ω rotor / stator = C rotor →stator .ω stator / rotor = C.ω ), dans un frein électromagnétique, entre deux solides
reliés par un ressort de masse négligeable, entre deux solides reliés par un amortisseur de masse négligeable...
3.3. Cas de plusieurs solides
On généralise le résultat précédent en étudiant les solides deux à deux.
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