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2nde CHAPITRE 1 : CONFIGURATIONS PLANES. REPÉRAGES
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I. Rappels
Triangle rectangle : Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.
Propriétés
Si ABC est un triangle rectangle en A
Théorème de Pythagore :
AB 2 + AC 2 = BC 2
Méthodes pour démontrer qu’un triangle est rectangle :
 Réciproque du théorème de Pythagore :
Si AB 2 + AC 2 = BC 2 alors le triangle ABC est rectangle en A
 Si le triangle ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [BC] alors le triangle ABC est rectangle en
A.
Triangle isocèle : Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur
Propriétés
Si ABC est un triangle isocèle en A
La médiane issue de A est aussi :
 La médiatrice de [BC],
 La hauteur issue de A,
 La bissectrice de
A
ˆ
.
La droite (AF) est un axe de symétrie.
Méthodes pour démontrer qu’un triangle est isocèle :
 On montre que AB = AC et on conclut que le triangle ABC est isocèle en A.
 On montre que
B
ˆ
=
C
ˆ
et on conclut que le triangle ABC est isocèle en A.
Triangle équilatéral : Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois côtés de même longueur.
Propriétés
Si ABC est un triangle équilatéral
 Les médianes sont aussi hauteurs,
médiatrices, bissectrices des angles
et des axes de symétrie du triangle
 AB = BC = AC
A
ˆ
=
B
ˆ
=
C
ˆ
= 60 °
Méthodes pour démontrer qu’un triangle est équilatéral :
 On montre que AB = AC = BC et on conclut que le triangle ABC est équilatéral.
 On montre que ses trois angles sont égaux et on conclut que le triangle ABC est équilatéral.
Alors
Alors
Alors

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Parallélogramme : est un quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux à deux
Propriétés
Si ABCD est un parallélogramme
 Les diagonales ont le même milieu
 ABCD a ses côtés opposés de
même longueur et ses angles
opposés égaux.
Méthodes pour démontrer que ABCD est un parallélogramme :
 On montre que (AB) // (CD) et (AD) // (BC) , on conclut que ABCD est un parallélogramme.
 On montre que les diagonales ont même milieu et on conclut que ABCD est un parallélogramme.
 On montre que deux côtés parallèles ont même longueur, conclut que ABCD est un
parallélogramme.
Losange : est un quadrilatère qui a ses côtés de même longueur.
Propriétés
Si ABCD est un losange
 Ses diagonales sont
perpendiculaires.
 ABCD est un parallélogramme, donc
il a toutes les propriétés de celui-ci.
Méthodes pour démontrer que ABCD est un losange
 On montre que ses côtés ont la même longueur
 On montre que ABCD est un parallélogramme et que ses diagonales sont perpendiculaires
 On montre que ABCD est un parallélogramme et que ses côtés consécutifs sont de même
longueur.
Rectangle : est un quadrilatère qui a quatre angles droits
Méthodes pour démontrer que ABCD est rectangle :
 On montre que ABCD a quatre angles droits
 On montre que ABCD est un parallélogramme qui a ses diagonales de même longueur
Rectangle : est un quadrilatère qui a quatre angles droits et ses côtés de même longueur
Méthodes pour démontrer que ABCD est carré :
 On montre que ABCD a quatre angles droits et des côtés de même longueur
Alors
Alors

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 On montre que ABCD est à la fois un rectangle et un losange.
II. Coordonnées d’un point du plan
II. 1 Repères et coordonnées
II. 2 Distance entre deux points
II. 3 Coordonnées du milieu d’un segment
Exemple
Dans un repère du plan on considère les points A (1 ; -2) et B (-3 ; 0) .
Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées :
Définition
Définir un repère orthonormé du plan, c’est choisir trois points non alignés dans un ordre précis : O, I, J
tel que (OI)  (OJ) et OI = OJ
On note ce repère (O, I, J).
 Le point O est l’origine du repère ;
 La droite (OI) est l’axe des abscisses et le point I donne l’unité sur cet axe ;
 La droite (OJ) est l’axe des ordonnées et le point J donne l’unité sur cet axe ;
Dans ce repère, tout point A est repéré par un unique couple (xA ; yA) de nombres réels,
son couple de coordonnées. On note A(xA ; yA)
A (xA ; yA)
2 3
2
3
0 1
1
x
y
Propriété 1
Soit A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points dans un repère orthonormé. La distance entre A et B est
égale à :
2
)
A
y
B
y(
2
)A
x
B
x( AB 
Démonstration
Considérons le point C(xB ; yA) . On suppose que xB ≠ xA et yB ≠ yA
Le triangle ABC est rectangle en C
AC = xB - xA donc AC 2 = (xB - xA ) 2
De même BC = yB - yA donc BC 2 = (yB - yA ) 2
Or d’après le théorème de Pythagore, AB 2 = AC 2 + BC 2
On a alors AB 2 = (xB - xA ) 2 + (yB - yA ) 2 d’où
2
)
A
y
B
y(
2
)A
x
B
x( AB 
yB - yA
xB - xA
2 3 4 5 6
2
3
4
0 1
1
x
y
A C
B
Propriété 2
Si, dans un repère (O, I, J) du plan, deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) , alors le milieu du segment
[AB] a pour coordonnées :
)
2yy
;
2xx
(BA
BA 
.

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xI =
1
2
2-
2)3(1 2B
x
A
x
et yI =
1
2
2-
202 2B
y
A
y
. D’où I (-1 ; -1)