division des nombres par un entier
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DIVISION DES NOMBRES PAR UN ENTIER I) Division euclidienne 1) Définition voir activitéS 1, 2, 3, 4 p 66 : choisir la bonne opération, comprendre l’énoncé, effectuer une division, effectuer un partage Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier (le dividende) par un autre nombre entier (le diviseur) différent de 0, c’est trouver deux nombres entiers, le quotient et le reste tels que : Dividende = (diviseur quotient) + reste avec reste < diviseur 2) Exemples CALCULATRICE 1) Comment partager entre 3 personnes 84 oeufs ? Division euclidienne de 84 par 3 : DIVIDENDE 8 4 3 6 2 8 2 3 = 6 et 3 3 = 9 (>8) 2 4 2 4 8 3 = 24 0 DIVISEUR QUOTIENT RESTE Preuve : 28 3 = … [on calcule] … = 84 84 = 3 28 ET 0 < 3 Chaque personne recevra 28 oeufs. 2) Comment partager entre 3 personnes 85 oeufs ? Division euclidienne de 85 par 3 : DIVIDENDE 2 3 = 6 et 3 3 = 9 (>8) 8 3 = 24 DIVISEUR 8 5 3 6 2 8 2 5 2 4 1 QUOTIENT RESTE Preuve : 28 3 = … [on calcule] … = 84 84 + 1 = … [on calcule] … = 85 85 = 3 28 + 1 ET 1 < 3 Chaque personne recevra 28 œufs et il restera 1 œuf qu’on ne peut pas partager... Exercices 1, 2, 3, 4 page 74 ; Exercices 10, 11, 12 page 75 ; Exercice 77 page 80, Exercices 83, 84, 86 page 81 II) Critères de divisibilité Voir activité 5 p 66 Le reste de la division euclidienne de 36 par 9 est nul (= 0). On dit que 9 est un diviseur de 36 ou que 36 est divisible par 9 ou encore que 36 est un multiple de 9. Propriétés Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est pair (c'est-à-dire égal à 0, 2, 4, 6 ou 8). Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est égal à 0 ou 5. Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3. Un nombre entier est divisible par 4 lorsque le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des unités est divisible par 4. Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9. Exemples : 147 336 est divisible par 2 65531 n’est pas divisible par 2 475 est divisible par 5 874 n’est pas divisible par 5 822 est divisible par 3 car 8 + 2 + 2 = 12 est divisible par 3 1 + 2 = 3 divisible par 3 34 n’est pas divisible par 3 87 436 est divisible par 4 car 36 est divisible par 4 43129 n’est pas divisible par 4 45684 est divisible par 9 car 4 + 5 + 6 + 8 + 4 = 27 car 27 est divisible par 9 (à dire autrement avec diviseur et multiple) 463 n’est pas divisible par 9 Exercices 21, 23, 25 page 76 III) Division décimale 1) Définition Voir activité 9 p 69 : Mathilde partage l’argent Effectuer la division décimale d’un nombre (le dividende) par un nombre entier (le diviseur) différent de 0, c’est chercher le nombre appelé tel que : dividende = diviseur quotient On note quotient = dividende : diviseur 2) Exemples UTILISATION DE LA CALCULATRICE POUR VERIFIER LE RESULTAT TROUVE 1) Le quotient peut être un nombre entier 18 : 6 = 3 PREUVE : 6 3 = 18 2) Le quotient peut être un nombre décimal 1 2, 5 1 2 0 5 4 0 1 0 1 0 0 Dés qu’on abaisse le chiffre des dixièmes du dividende, on place la virgule dans le quotient. 2 6, 2 5 6, Quand il n’y a plus de chiffre à abaisser, on rajoute un zéro pour continuer. Le RESTE est nul : on s’arrête là. PREUVE : 6,25 2 =12,5 3) Le quotient peut être un nombre non décimal Dans ce cas, la division ne s’arrête jamais. On ne peut alors pas donner de valeur exacte au quotient de 32 par 11. Il faut alors en donner une approximation. Exercices 30, 31, 32, 34 page 76 Exercices 39, 40, 42 page 77 3 2, 0 - 2 2 1 0 0 9 9 1 1 - 0 0 0 1 1 2, 9 0 9 0 0 0 0 0 9 9 1 0 0 1 0 IV) Approximation 1) Encadrement et valeurs approchées Encadrer un nombre signifie intercaler un nombre entre deux autres. Réalisons un encadrement à l’unité du dernier quotient 2 < 32 : 11 < 3 2 est une valeur approchée à l’unité par défaut du quotient 32 : 11 3 est une valeur approchée à l’unité par excès du quotient 32 : 11 Exercices 58, 59 page 78 2) Troncature La troncature à l’unité d’un nombre, c’est ce nombre privé de tous les chiffres situés à droite du chiffre des unités. Exemple : La troncature à l’unité de 85,472 est 85. On dit que 85,472 a été tronqué à l’unité. Exercice 36 page 76 Exercice 61 page 78 Remarque : On peut aussi tronquer un nombre au dixième (ou au centième...) en lui enlevant tous les chiffres situés à droite du chiffre des dixièmes (ou des centièmes...). 85,472 tronqué au dixième devient 85,4. 85,472 tronqué au centième devient 85,47. 3) Arrondis L’arrondi à l’unité d’un nombre, c’est l’entier le plus proche de ce nombre. Pour l’obtenir, on doit : 1) Tronquer à l’unité. 2) Si le premier chiffre tronqué est 0, 1, 2, 3 ou 4, on ne change rien mais si ce chiffre est 5, 6, 7, 8 ou 9, on ajoute 1 au nombre. Exemples : L’arrondi à l’unité de 85,472 est 85. Par contre, l’arrondi à l’unité de 85,672 est 86. On dit que ces nombres ont été arrondis à l’unité. Remarque : On peut aussi arrondir un nombre au dixième, au centième... de la même manière. 85,472 arrondi au dixième devient 85,5, et arrondi au centième, devient 85,47. Exercices 28, 29 page 76 0, Dixièmes 3 Millièmes 2 Centièmes 5 Unités Dixièmes Unités 3, Centièmes V) Diviser par 10, 100 ou 1000 5 2 :10 Dans une écriture décimale, la valeur de chaque chiffre dépend de sa position dans cette écriture. En divisant un nombre par 10, on diminue la puissance de chacun de ses chiffres. 0,352 est 10 fois plus petit que 3,52 Exemples : 2304 : 100 = 23,04 75 : 10 = 7,5 Exercice 63 page 78 Exercices 49, 51 a, b, c , 52 page 77 DM Exercices 22, 24 page 76 Exercices 35 page 76 Exercices 47 page 77 Exercices 50 p 77, 51 d, e, f p 77, 53 p 77 52 :1000 = 0,052 0,07 : 10 = 0,007
