division des nombres par un entier

DIVISION DES NOMBRES PAR UN ENTIER
I) Division euclidienne
1) Définition
voir activitéS 1, 2, 3, 4 p 66 : choisir la bonne opération, comprendre l’énoncé, effectuer une division, effectuer
un partage
Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier (le dividende) par un autre nombre entier (le diviseur)
différent de 0, c’est trouver deux nombres entiers, le quotient et le reste tels que :
Dividende = (diviseur quotient) + reste avec reste < diviseur
2) Exemples
CALCULATRICE
1) Comment partager entre 3 personnes 84 oeufs ?
Division euclidienne de 84 par 3 :
Preuve :
28  3 = … [on calcule] … = 84
84 = 3  28
ET 0 < 3
Chaque personne recevra 28 oeufs.
2) Comment partager entre 3 personnes 85 oeufs ?
Division euclidienne de 85 par 3 :
Preuve :
28  3 = … [on calcule] … = 84
84 + 1 = … [on calcule] … = 85
85 = 3  28 + 1
ET 1 < 3
Chaque personne recevra 28 œufs et il restera 1 œuf qu’on ne peut pas partager...
3
4
8
6
2  3 = 6 et 3  3 = 9 (>8)
2
4
8  3 = 24
2
8
2
4
0
QUOTIENT
DIVISEUR
DIVIDENDE
RESTE
3
5
8
6
2  3 = 6 et 3  3 = 9 (>8)
2
5
8  3 = 24
2
8
2
4
1
QUOTIENT
DIVISEUR
DIVIDENDE
RESTE

Exercices 1, 2, 3, 4 page 74 ; Exercices 10, 11, 12 page 75 ; Exercice 77 page 80, Exercices 83, 84, 86 page 81
II) Critères de divisibilité
Voir activité 5 p 66
Le reste de la division euclidienne de 36 par 9 est nul (= 0). On dit que 9 est un diviseur de 36 ou que 36 est
divisible par 9 ou encore que 36 est un multiple de 9.
Propriétés
Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est pair (c'est-à-dire égal à 0, 2, 4, 6 ou 8).
Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est égal à 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un nombre entier est divisible par 4 lorsque le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des
unités est divisible par 4.
Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemples :
147 336 est divisible par 2
65531 n’est pas divisible par 2
475 est divisible par 5
874 n’est pas divisible par 5
822 est divisible par 3 car 8 + 2 + 2 = 12 est divisible par 3 1 + 2 = 3 divisible par 3
34 n’est pas divisible par 3
87 436 est divisible par 4 car 36 est divisible par 4
43129 n’est pas divisible par 4
45684 est divisible par 9 car 4 + 5 + 6 + 8 + 4 = 27 car 27 est divisible par 9 (à dire autrement avec diviseur et
multiple)
463 n’est pas divisible par 9
Exercices 21, 23, 25 page 76
III) Division décimale
1) Définition
Voir activité 9 p 69 : Mathilde partage l’argent
Effectuer la division décimale d’un nombre (le dividende) par un nombre entier (le diviseur) différent de 0,
c’est chercher le nombre appelé tel que :
dividende = diviseur quotient
On note quotient = dividende : diviseur
2) Exemples
UTILISATION DE LA CALCULATRICE POUR VERIFIER LE RESULTAT TROUVE
1) Le quotient peut être un nombre entier 18 : 6 = 3

PREUVE :
6 3 = 18
2) Le quotient peut être un
nombre décimal
PREUVE :
6,25 2 =12,5
3) Le quotient peut être un nombre non décimal
Dans ce cas, la division ne s’arrête jamais. On ne peut alors
pas donner de valeur exacte au quotient de 32 par 11. Il faut
alors en donner une approximation.
Exercices 30, 31, 32, 34 page 76
Exercices 39, 40, 42 page 77
IV) Approximation
1) Encadrement et valeurs approchées
Encadrer un nombre signifie intercaler un nombre entre deux autres.
Réalisons un encadrement à l’unité du dernier quotient 2 < 32 : 11 < 3
2 est une valeur approchée à l’unité par défaut du quotient 32 : 11
3 est une valeur approchée à l’unité par excès du quotient 32 : 11
Exercices 58, 59 page 78
2) Troncature
La troncature à l’unité d’un nombre, c’est ce nombre privé de tous les chiffres situés à droite du chiffre des
unités.
Exemple :
La troncature à l’unité de 85,472 est 85.
On dit que 85,472 a été tronqué à l’unité.
Exercice 36 page 76
Exercice 61 page 78
Remarque :
2
2
0
5
6,
6,
2
4
Dés qu’on abaisse le
chiffre des dixièmes du
dividende, on place la
virgule dans le
quotient.
0
0
1
1
0
5
0
Quand il n’y a plus
de chiffre à abaisser,
on rajoute un zéro pour
continuer.
Le RESTE est nul :
on s’arrête là.
2,
5
1
1
0
0
0
0
2,
3
1
1
0
9
0
9
2,
2
2
-
0
0
1
9
9
-
0
1
0
-
0
0
1
9
9
-
0
1
0
-
0
1

On peut aussi tronquer un nombre au dixième (ou au centième...) en lui enlevant tous les chiffres situés à droite
du chiffre des dixièmes (ou des centièmes...).
85,472 tronqué au dixième devient 85,4. 85,472 tronqué au centième devient 85,47.
3) Arrondis
L’arrondi à l’unité d’un nombre, c’est l’entier le plus proche de ce nombre.
Pour l’obtenir, on doit :
1) Tronquer à l’unité.
2) Si le premier chiffre tronqué est 0, 1, 2, 3 ou 4, on ne change rien mais si ce chiffre est 5, 6, 7, 8 ou 9, on
ajoute 1 au nombre.
Exemples :
L’arrondi à l’unité de 85,472 est 85.
Par contre, l’arrondi à l’unité de 85,672 est 86.
On dit que ces nombres ont été arrondis à l’unité.
Remarque :
On peut aussi arrondir un nombre au dixième, au centième... de la même manière.
85,472 arrondi au dixième devient 85,5, et arrondi au centième, devient 85,47.
Exercices 28, 29 page 76
V) Diviser par 10, 100 ou 1000
Dans une écriture décimale, la valeur de chaque chiffre dépend de sa position dans cette écriture.
En divisant un nombre par 10, on diminue la puissance de chacun de ses chiffres.
0,352 est 10 fois plus petit que 3,52
Exemples :
2304 : 100 = 23,04 75 : 10 = 7,5 52 :1000 = 0,052 0,07 : 10 = 0,007
Exercice 63 page 78
Exercices 49, 51 a, b, c , 52 page 77
DM
Exercices 22, 24 page 76
Exercices 35 page 76
Exercices 47 page 77
Exercices 50 p 77, 51 d, e, f p 77, 53 p 77
Unités
Dixièmes
Centièmes
3,
5
2
Unités
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
0,
3
5
2
:10