exercice i - Daniel BRU . net

DEVOIR DE MATHEMATIQUES N°11 Jeudi 22 avril 1999
Nom : Prénom :
Classe : 3 ème …… Groupe :
EXERCICE I
Les neuf droites suivantes sont données par leur équation :
( ) D1 : y = –
Error!
x + 5
Error!
: x = – 2
Error!
: y = – 0,4 x
( ) D2 : y = 2 x – 4 ( ) D5 : y = – 3 x – 2 ( ) D8 : 2 x = y + 4
( ) D3 : y = 3 ( ) D6 : y – 7 = x – 5 ( ) D9 : x = y
1°) Donner le coefficient directeur des droites ( ) D1, ( ) D2, ( ) D3, ( ) D8, ( ) D9
2°) Donner l’ordonnée à l’origine des droites ( ) D2, ( ) D3, ( ) D5, ( ) D6, ( ) D7
3°) Parmi les droites ( ) D1, ( ) D2, ( ) D3, ( ) D4, ( ) D5, ( ) D6, ( ) D7, ( ) D8, ( ) D9 :
a) Quelles sont les droites parallèles à l’axe des abscisses (x’x) ?
b) Quelles sont les droites parallèles à l’axe des ordonnées (y’y) ?
c) Quelles sont les droites passant par l’origine des axes du repère ?
4°) a) Le point A (2 ; 6) appartient-il à la droite ( ) D1 ? Justifier votre réponse.
b) Le point B (–1 ; 4) appartient-il à la droite ( ) D5 ? Justifier votre réponse.
c) Le point C (–1 ; –1) appartient-il à la droite ( ) D9 ? Justifier votre réponse.
d) Trouver les coordonnées du point E de la droite ( ) D2 d’abscisse – 21
e) Trouver les coordonnées du point F de la droite ( ) D5 d’ordonnée 17
5°) Tracer dans le repère orthonormal (O, I, J) ci-dessous les droites ( ) D1, ( ) D2, ( ) D3, ( ) D4, ( ) D5,
( ) D9. Ne pas oublier de marquer le nom de chaque droite.
Pour la droite ( ) D5, faire apparaître (en rouge) dans le repère le coefficient directeur.
axe des
abscisses
I
J
O
x
1
1
axe des ordonnées
x'
y
y'

EXERCICE II
Tracer dans le repère ci-dessous la droite ( )
D10 de coefficient directeur –3 et passant par le
point A (5 ; 1).
Déterminer l’équation de la droite ( ) D10
EXERCICE III
Déterminer l’équation de la droite ( ) Dpassant par les deux points M (– 1 ; 3) et N (3 ; 10)
EXERCICE IV
Les équations suivantes sont les équations des droites représentées dans le repère orthonormal
(O, I, J) ci-dessous.
Compléter les phrases suivantes :
a) y = – 3 est l’équation de la droite …… d) x = 2 est l’équation de la droite ……
b) y = 2 x est l’équation de la droite …… e) y = –
Error!
x – 1 est l’équation de la droite
……
c) y =
Error!
x + 3 est l’équation de la droite …… f) y = – x + 3 est l’équation de la
droite ……
CORRECTION DU CONTRÔLE N° 11
axe des
abscisses
I
J
O
x
1
1
axe des ordonnées
x'
y
y'
(D1)
(D2)
(D3)
(D4)
(D5)
(D6)
CLASSE DE 3ème

Et E (– 21 , –46) est un point de la droite (D2)
et Error! est un point de la droite (D5)
EXERCICE I 1°) et 2°)
3°) a) La droite (D3) : y = 3 est parallèle à l’axe des abscisses (x’x)
b) La droite (D4) : x = – 2 est parallèle à l’axe des ordonnées (y’y)
c) Les droites (D7) : y = – 0,4 x et (D9) : x = y passent par l’origine O des axes
4°) Un point appartient à une droite quand ses coordonnées vérifient l’équation de cette droite
a) En remplaçant dans l’équation de la droite (D1) : y = –
Error!
x + 5 , x par l’abscisse du point
A (2 ; 6), on obtient une ordonnée y = 2 différente de l’ordonnée yA = 6 du point A
y = –
Error!
x + 5 = –
Error!
2 + 5 = – 3 + 5 = 2
Les coordonnées du point A (2 ; 6) ne vérifient pas l’équation de la droite (D1) ; A n’est pas un point de la droite (D1)
b) En remplaçant dans l’équation de la droite (D5) : y = – 3 x – 2 , x par l’abscisse du point
B (–1 ; 4), on obtient une ordonnée y = 1 différente de l’ordonnée yB = 4 du point B:
y = – 3 x – 2 = – 3 (– 1) – 2 = 3 – 2 = 1
Les coordonnées du point B (–1 ; 4) ne vérifient pas l’équation de la droite (D5) ; B n’est pas un point de la droite (D5)
c) Le point C (–1 ; –1) est un point de la droite (D9) : x = y. En remplaçant dans l’équation
de la droite (D9) x et y par les coordonnées du point C, on obtient une égalité.
d) Pour trouver l’ordonnée de E (– 21 ; yE) point de la droite (D2) : y = 2 x – 4, il suffit de remplacer x par
la valeur – 21 dans l’équation y = 2 x – 4 : y = 2 (– 21)– 4 = – 42 – 4 = – 46
Coordonnées du point E : abscisse xE = – 21
Ordonnée yE = – 46 Et E (– 21 , –46) est un point de la droite (D2)
e) Pour trouver l’abscisse de F (xF ; 17) point de la droite (D5) : y = – 3 x – 2, il suffit de remplacer y par la valeur
17 dans l’équation y = – 3 x – 2:
17 = – 3 x – 2 et 17 + 2 = – 3 x – 2 + 2 et 19 = – 3 x et
Error!
=
Error!
x et x = –
Error!
Coordonnées du point F : abscisse xF = –
Error!
EXERCICE II Ordonnée yF = 17
L’équation de la droite (D10) de coefficient directeur –3 et passant par le point A (5 ;1) est de la forme y = a x + b.
(a est le coefficient directeur de la droite et b est l’ordonnée à l’origine de la droite)
Calcul de l’ordonnée à l’origine de la droite (D10) :
On a (D10) est de la forme y = a x + b donc y – a x = a x – a x + b
b = y – a x
On a b = y – a x donc b = 1 – (– 3) 5
x = 5 au point A (5 ;1) b = 1 + 15
y = 1 de la droite (D10) b = 16
a = –3
Equation de la droite (D10) :
On a y = a x + b donc y = – 3 x + 16
a = – 3
b = 16
DROITE
EQUATION COEFFICIENT ORDONNEE
NOM DIRECTEUR A L'ORIGINE
y = ax + ba b
(D1)
(D2) 2 – 4
(D3) ou 0 3
(D5) – 2
(D6) ou 2
(D7) ou 0
(D8) ou ou 2
(D9) ou ou 1
DROITE
y = 2 x – 4
y = – 3 x – 2
2 x = y + 4
x = y
y = – 0,4 x + 0
y + 4 = 2 x
y = x
y = 1 x + 0
y + 4 – 4 = 2 x – 4
y = – 3 x – 2
y – 7 = x – 5
y = 0
x + 3
y = x + 2
– 3
2
y = – 0,4 x
y = 2 – 4 x
y – 7 + 7 = x – 5 + 7
y = – 3
2 x + 5
y = 2 x – 4
y = 3

(E2)
EXERCICE III
Equation de la droite (D) :
On a (D) est une droite donc l’équation de (D) est de la forme
M (– 1 ; 3) est un point de (D) y = a x + b (car xM  xN)
N (3 ; 10) est un point de (D)
xM = – 1 (abscisse du point M)
xN = 3 (abscisse du point N)
Calcul de a coefficient directeur de la droite (D) :
On a (D) a une équation de la forme y = a x + b donc Au point M, l’équation y = a x + b s’écrit:
M (– 1 ; 3) est un point de (D) 3 = a (– 1) + b
N (3 ; 10) est un point de (D) 3 = – 1a + b (E1)
Au point N, l’équation y = a x + b s’écrit:
10 = a 3 + b
10 = 3 a + b (E2)
Résolution par combinaison (addition) du système suivant :
(S) { 3 = – 1 a + b ;10 = 3 a + b système de deux équations à deux inconnues a et b
{ – 3 = 1 a – b ;10 = 3 a + b ADDITION membre à membre des deux équations pour
éliminer b 7 = 4 a et
Error!
=
Error!
et
Error!
Calcul de b ordonnée à l’origine de la droite (D) :
On a 3 = – a + b (E1) donc 3 + a = a – a + b
b = 3 + a
On a b = 3 + a donc b = 3 +
Error!
a =
Error!
b =
Error!
+
Error!
b =
Error!
Error!
Equation de la droite (D) :
On a y = a x + b donc
Error!
a =
Error!
b =
Error!
COMMENT TRACER DANS UN REPERE (O ; I ; J) UNE DROITE D’EQUATION y = a x + b avec a =
Error!
et d >
0
Placer sur l’axe (y’y) le point d’ordonnée b
A partir de ce point se déplacer de d unités dans le sens positif parallèlement à l’axe (x’x)
Puis de n unités parallèlement à l’axe (y’y) dans le sens positif si n > 0, dans le sens négatif si n < 0
Et marquer le deuxième point
La droite d’équation y =
Error!
x + b passe par les deux points marqués
 (–1)
(E1)