exercice i - Daniel BRU . net

Nom
Classe
:
: 3 ème ……
DEVOIR DE MATHEMATIQUES N°11
Prénom :
Groupe :
Jeudi 22 avril 1999
EXERCICE I
Les neuf droites suivantes sont données par leur équation :
Error! : x = – 2
(D1) : y = – Error! x + 5
Error!
(D2) : y = 2 x – 4
(D3) : y = 3
(D8) : 2 x = y + 4
(D9) : x = y
(D5) : y = – 3 x – 2
(D6) : y – 7 = x – 5
: y = – 0,4 x
1°) Donner le coefficient directeur des droites (D1), (D2), (D3), (D8), (D9)
2°) Donner l’ordonnée à l’origine des droites (D2), (D3), (D5), (D6), (D7)
3°) Parmi les droites (D1), (D2), (D3), (D4), (D5), (D6), (D7), (D8), (D9) :
a) Quelles sont les droites parallèles à l’axe des abscisses (x’x) ?
b) Quelles sont les droites parallèles à l’axe des ordonnées (y’y) ?
c) Quelles sont les droites passant par l’origine des axes du repère ?
4°) a) Le point A (2 ; 6) appartient-il à la droite (D1) ? Justifier votre réponse.
b) Le point B (–1 ; 4) appartient-il à la droite (D5) ? Justifier votre réponse.
c) Le point C (–1 ; –1) appartient-il à la droite (D9) ? Justifier votre réponse.
d) Trouver les coordonnées du point E de la droite (D2) d’abscisse – 21
e) Trouver les coordonnées du point F de la droite (D5) d’ordonnée 17
5°) Tracer dans le repère orthonormal (O, I, J) ci-dessous les droites (D1), (D2), (D3), (D4), (D5),
(D9). Ne pas oublier de marquer le nom de chaque droite.
Pour la droite (D5), faire apparaître (en rouge) dans le repère le coefficient directeur.
axe des ordonnées
y
1 J
x'
I
O 1
y'
x
axe
des
abscisses
EXERCICE II
Tracer dans le repère ci-dessous la droite (D10) de coefficient directeur
point A (5 ; 1).
Déterminer l’équation de la droite (D10)
–3
et passant par le
EXERCICE III
Déterminer l’équation de la droite (D)passant par les deux points M (– 1 ; 3) et N (3 ; 10)
EXERCICE IV
Les équations suivantes sont les équations des droites représentées dans le repère orthonormal
(O, I, J) ci-dessous.
Compléter les phrases suivantes :
a) y = – 3 est l’équation de la droite ……
d) x = 2 est l’équation de la droite ……
b) y = 2 x est l’équation de la droite ……
e) y = – Error! x – 1 est l’équation de la droite
……
c) y = Error! x + 3 est l’équation de la droite …… f)
y = – x + 3 est l’équation de la
droite ……
axe des ordonnées
y
(D1)
1
J
x'
x
I
O 1
(D3)
axe
des
abscisses
(D5)
(D6)
y'
(D4)
(D2)
CORRECTION DU CONTRÔLE N° 11
CLASSE DE 3ème
EXERCICE I
1°) et 2°)
DROITE
EQUATION
COEFFICIENT
DIRECTEUR
a
D
ROITE
NOM
y = ax + b
(D1)
3
y=– x+5
2
–
3
2
y=2x–4
(D2)
(D3)
y=3
(D5)
(D6)
y=0x+3
ou
yy == –– 33 xx ––22
2
–4
0
3
–2
y–7= x–5
y= x+2
ou
2
y–7 +7=x–5+7
y = – 0,4 x + 0
y = – 0,4 x
(D7)
ou
2x=y+4
(D8)
ou
x=y
(D9)
ORDONNEE
A L'ORIGINE
b
y+4=2x
ou
y+4 –4 =2x–4
2
y=1x+0
y=x
ou
0
y=2–4x
ou
1
3°) a) La droite (D3) : y = 3 est parallèle à l’axe des abscisses (x’x)
b) La droite (D4) : x = – 2 est parallèle à l’axe des ordonnées (y’y)
c) Les droites (D7) : y = – 0,4 x et (D9) : x = y passent par l’origine O des axes
4°) Un point appartient à une droite quand ses coordonnées vérifient l’équation de cette droite
a) En remplaçant dans l’équation de la droite (D1) : y = – Error! x + 5 , x par l’abscisse du point
A (2 ; 6), on obtient une ordonnée y = 2 différente de l’ordonnée yA = 6 du point A
y = – Error! x + 5 = – Error!  2 + 5 = – 3 + 5 = 2
Les coordonnées du point A (2 ; 6) ne vérifient pas l’équation de la droite (D1) ; A n’est pas un point de la droite (D1)
b) En remplaçant dans l’équation de la droite (D5) : y = – 3 x – 2 , x par l’abscisse du point
B (–1 ; 4), on obtient une ordonnée y = 1 différente de l’ordonnée yB = 4 du point B:
y = – 3 x – 2 = – 3  (– 1) – 2 = 3 – 2 = 1
Les coordonnées du point B (–1 ; 4) ne vérifient pas l’équation de la droite (D5) ; B n’est pas un point de la droite (D5)
21 ,remplaçant
–46) est un
point
de la droite (D2)
c) Le point C (–1 ; –1) est un point de la droite (D9)Et
: x =Ey.(– En
dans
l’équation
de la droite (D9) x et y par les coordonnées du point C, on obtient une égalité.
d) Pour trouver l’ordonnée de E (– 21 ; yE) point de la droite (D2) : y = 2 x – 4, il suffit de remplacer x par
la valeur – 21 dans l’équation y = 2 x – 4 :
y = 2  (– 21)– 4 = – 42 – 4 = – 46
Coordonnées du point E : abscisse xE = – 21
Ordonnée yE = – 46
Et
E (– 21 , –46)
est un point de la droite (D2)
e) Pour trouver l’abscisse de F (xF ; 17) point de la droite (D5) : y = – 3 x – 2, il suffit de remplacer y par la valeur
17 dans l’équation y = – 3 x – 2:
17 = – 3 x – 2 et 17 + 2 = – 3 x – 2 + 2 et 19 = – 3 x
et Error! = Error! x
et x = – Error!
Coordonnées du point F : abscisse xF = – Error!
EXERCICE II
Ordonnée yF = 17
et Error! est un point de la droite (D5)
L’équation de la droite (D10) de coefficient directeur –3 et passant par le point A (5 ;1) est de la forme
(a est le coefficient directeur de la droite et b est l’ordonnée à l’origine de la droite)
Calcul de l’ordonnée à l’origine de la droite (D10) :
On a
(D10) est de la forme y = a x + b
donc
y–ax=ax–ax+b
b = y–ax
On a
b = y–ax
x = 5 au point A (5 ;1)
y=1
donc
de la droite (D10)
b = 1 – (– 3)  5
b = 1 + 15
b = 16
a = –3
Equation de la droite (D10) :
On a
y=ax+b
a=–3
b = 16
donc
y = – 3 x + 16
y = a x + b.
EXERCICE III
Equation de la droite (D) :
On a
(D) est une droite
l’équation de (D) est de la forme
donc
M (– 1 ; 3) est un point de (D)
y=ax+b
(car xM
 x N)
N (3 ; 10) est un point de (D)
xM = – 1 (abscisse du point M)
xN = 3 (abscisse du point N)
Calcul de a coefficient directeur de la droite (D) :
On a
(D) a une équation de la forme y = a x + b
M (– 1 ; 3) est un point de (D)
Au point M, l’équation y = a x + b s’écrit:
3 = a  (– 1) + b
donc
3 = – 1a + b
N (3 ; 10) est un point de (D)
(E1)
Au point N, l’équation y = a x + b s’écrit:
10 = a  3 + b
10 = 3 a + b
(E2)
Résolution par combinaison (addition) du système suivant :
b
(S) { 3 = – 1 a + b ;10
(E1=) 3 a +(–1)
(E2)
système de deux équations à deux inconnues
{ – 3 = 1 a – b ;10 = 3 a + b
7=4a
éliminer b
a et b
ADDITION membre à membre des deux équations pour
et
Error! = Error!
et
Error!
Calcul de b ordonnée à l’origine de la droite (D) :
On a
3=–a+b
(E1)
donc
3+a=a–a+b
b=3+a
On a
b=3+a
a = Error!
donc
b = 3 + Error!
b = Error! + Error!
b = Error!
Error!
Equation de la droite (D) :
On a
y=ax+b
donc
Error!
a = Error!
b = Error!
COMMENT TRACER DANS UN REPERE (O ; I ; J) UNE DROITE D’EQUATION
y = a x + b avec a = Error! et d >
0
Placer sur l’axe (y’y) le point d’ordonnée b
A partir de ce point se déplacer de d unités dans le sens positif parallèlement à l’axe (x’x)
Puis de n unités parallèlement à l’axe (y’y) dans le sens positif si n > 0, dans le sens négatif si n < 0
Et marquer le deuxième point
La droite d’équation y = Error! x + b passe par les deux points marqués