Algébre

Correction de devoir à la maison.
Algébre.
Exercice N° 1 Calculer
A
2 3 5 2 1 5 2 5
8
5
3 1
   
 




3 4 9 3 4  3 3 12 12 12 12 4
1   3 10   6 1   7 7  7 3  1
 1 2 
B      2           
 
 
 5 3 
3  15 15   3 3 15 3 15 7
5
Exercice N° 2 Ecrire sous la forme
a b
C  5 6  2 3  5  2  2  3  3  5  2  3  2  30 2
D  75  7 3  2 27  25  3  7 3  9  3  5 3  7 3  2  3 3  5 3  7 3  6 3  6 3
Exercice N° 3 Soit E = (2x+1)²-16
1) Développer.
E  ( 2 x )2  2  2 x  1  1  16  4 x 2  4 x  15
2) Factoriser
E  (2x  1)2  42  (2x  1)  4  (2x  1)  4  2x  1  4  2x  1  4  2x  3  2x  5
3) Calculer E pour x 
3
2
2
3 

2
E   2   1  16   3  1  16  4 2  16  16  16  0

2 
4) Résoudre
Si
2x  3  2x  5  0
2x  3  2x  5  0 alors 2 x  3  0
donc x 
ou 2 x  5  0 donc 2 x  3 ou 2 x  5
3
5
ou x 
.
2
2
Les solutions de
2x  3  2x  5  0 sont donc
3
5
et
.
2
2
Exercice N° 4 Résoudre le système.
Soit x le prix d’un iris et y le prix d’un œillet. On a le système suivant :
2 x  25  5 y

3x  10 y  43
2 x  5 y  25
2 x  2511 11
11
donc
donc
donc
donc



 y
 2 x  5 y  25
 5 y  11

 y  5
5

Le prix d’un iris est de 7 F et le prix d’un œillet est de 2,20 F.
Géométrie.
Exercice N° 1 Définitions de géométrie.
1) La notion mise en évidence est le milieu d’un segment.
2) La notion mise en évidence est les coordonnées de vecteur.
3) La notion mise en évidence est la longueur d’un segment.
2 x  14
 x  7
11
donc
y
 y  11


5
5
Exercice N° 2
1) Montrer que ABE est rectangle puis calculer BE.
E est un point du cercle de diamètre [AB] donc le triangle ABE est rectangle en E.
Dans ABE rectangle en E, on a : EB  sin BAE donc EB = AB sin BAE
AB
donc EB = 8 sin 40° . La distance EB arrondie au millimètre est 5,1 cm.
2) Montrer que (AD) et (OE) sont parallèles .
O est le centre du cercle et [AB] un diamètre donc O est le milieu de [AB].
D est le symétrique de B par rapport à E donc E est le milieu de [BD].
Dans le triangle ABD, d’après le « théorème » de la droite des milieux, la droite (OE) est
parallèle au troisième côté [AD].
3) Nature de ABD.
Dans AEB triangle rectangle, la médiane relative à l’hypoténuse mesure la moitié de l’hypoténuse, donc OE = 4.
Dans le triangle ABD, d’après le « théorème » de la droite des milieux, AD = 2  OE
donc AD = 8 or AB = 8 donc ABD est isocèle en A.
Ou bien
(AE) est perpendiculaire à (BD) donc (AE) est la hauteur issue de A
et E est aussi le milieu de [BD] donc (AE) est aussi la médiane issue de A.
La médiane issue de A est confondue avec la hauteur issue de A donc le triangle est
isocèle en A.
Exercice N° 3
1) Calculer AE.
Dans le triangle ABE rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore, on a :
BE² = AB² + AE² donc 10² = 6² + AE² donc AE² = 100-36 donc AE² = 64 donc AE = 8
2 ) Sachant que AF = 18 calculer AH.
Dans le triangle AFH, E est un point de [AF] et D un point de [HF], les droites (AH) et (ED)
sont parallèles, d’après le théorème de Thalès, on a :
FE ED donc 18  8
6  18 donc
6 donc
AH  10,8


AH 
FA AH
18
AH
10
Exercice N° 4
1) Montrer que ABC est rectangle.
BC est le plus grand côté, on a : BC² = 49 et AB² + AC² = 4,2² + 5,6² = 49. Puis que BC² = AB² + AC² d’après la
réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A
2) a) Montrer que CD = 9,8 cm
Dans le triangle BCD, I  [CB], A  [CD], les droites (AI) et (BC) sont parallèles, d’après le théorème de Thalès,
on a : CI  CA donc 3  4,2 donc CD  7  4,2 donc CD = 9,8 cm
CB CD
7 CD
3
b) Calculer AD puis montrer que ABD est rectangle isocèle.
Puis A  [CD], AD = CD - AC = 9,8 - 4,2 = 5,6 cm. Or AB = 5,6 cm donc ABD est isocèle.
De plus ABC est rectangle en A donc ABD est aussi rectangle en A.
c) Déterminer la mesure de DBA.
Dans ABD rectangle en A, on a : AD  tan DBA donc tan DBA  1 donc DBA = 45°
AB
3) a) Calculer IAB.
Puisque les droites (AI) et (BD) sont parallèles, les angles alternes-internes IAB et DBA sont de même mesure.
Donc IAB mesure aussi 45°
b) Démontrer que (AI) est la bissectrice de CAB
CAB est un angle droit or CAB = IAB + IAC et IAB = 45° donc IAC = 45°. La droite (AI) partage donc l’angle
CAB en deux angles de même mesure donc (AI) est la bissectrice de CAB.
4) Montrer que AEIF est un rectangle.
AEI est un angle droit car E est le projeté orthogonal de I sur (AB). FAI est un angle droit car F est le projeté
orthogonal de I sur (AC). EAF est un angle droit donc AEIF est un quadrilatère ayant trois angles droits, c’est un
rectangle.
5) Démontrer que IE = IF
IE représente la distance de I à (AB), IF représente la distance de I à (AC) or I est un point de la bissectrice de
BAC, donc I est équidistant de (AB) et de (AC) . On a IE = IF
Préciser la nature de AEIF
AEIF est donc un rectangle qui a deux côtés consécutifs égaux, c’est un carré.