Circuit RLC dans le régime transitoire oscillant amortie

CORTES-PEREZ Javier
FORNEA Andrei
GIGNAC Xavier
HARO Sébastien
CIRCUIT RLC EN REGIME TRANSITOIRE OSCILLANT AMORTIE
(SORTIE CAPACITE)
1.
Position du problème
On considère un circuit RLC série alimenté par un générateur de tension de résistance interne RG et
de force électromotrice E constante (fig. 1). La résistance interne de la bobine la résistance interne
du générateur et la résistance R’ du résistor seront par la suite regroupées sous le terme R, ces
résistances étant placées en série. R = RG + RL + R’
On s’intéresse aux phénomènes suivant la mise en marche du générateur, et plus particulièrement la
réponse temporelle aux bornes du condensateur.
L’observation du circuit et les acquis des classes précédentes permettent de prévoir la présence d’un
régime transitoire entre le régime nul, initial, et le régime permanent. En effet, la charge du
condensateur n’est pas instantanée. De plus, la variation de l’intensité à l’intérieur de la bobine
modifie son champ magnétique propre, d’où l’apparition d’une force électromotrice d’induction qui
s’oppose à la variation de l’intensité et qui disparaît avec le régime permanent.
Pour mettre en évidence la présence de ce régime transitoire, nous allons poser l’équation
différentielle du circuit et la résoudre.
2.
Equation différentielle
La loi des mailles appliquée au circuit donne :
E U R  U L UC  0
q

 UC  C

dq
dI
d 2q
dq q
L
R
 E
avec : U L   L
ce qui donne, avec I 
:
dt
dt ²
dt C
dt

 U R  RI

Or, nous nous intéressons ici à la réponse temporelle aux bornes du condensateur, on remplace donc
q par : q  CU , avec U tension aux bornes du condensateur et C la capacité, constante.
d 2U R dU U
E



dt ²
L dt LC LC
Par analogie avec la mécanique on introduit des grandeurs physiques positives dont la signification
sera expliquée par la suite :
Q – facteur de qualité
 – coefficient d’amortissement
0 – pulsation propre
 – temps de relaxation
On obtient :
En écrivant l’équation sous les formes :
d ²U
dU
E
 20
  02U 
dt ²
dt
LC
on identifie :  0 
d ²U  0 dU
E

  02U 
dt ²
Q dt
LC
;
1
LC

R
1
 RC  0
2 L 0 2
Par la suite on va s’intéresser à l’équation de la forme :
3.
;
d ²U 1 dU
E

  02U 
dt ²  dt
LC
Q
L0
1

R
RC 0
d ²U
dU
E
 20
  02U 
dt ²
dt
LC
Résolution de l’équation différentielle
On a une équation différentielle du deuxième degré avec coefficients constants positifs. La solution
générale d’une telle équation est la somme de la solution de l’équation homogène associée et d’une
solution particulière.
3.1 Equation homogène associée
d ²U
dU
 20
  02U  0
dt ²
dt
L’équation caractéristique nous donne : r 2  20 r   02  0 d’où   4 02 ( 2  1)
Le régime transitoire oscillant amorti correspond à   0 , c.à.d. à 0  σ  1
On a dans ce cas une solution réelle de la forme :
U 0  e  0t [ A cos(t )  B sin( t )]
avec A et B deux constantes à déterminer avec les conditions initiales, et    0 1   2 , qu’on
appelle pseudo-pulsation.
3.2 Solution particulière
Quand t  
on a U=E, car le condensateur étant chargé
dI
 0  U R  U L  0 et donc q U p  E
I=0,
dt
3.3 Conditions initiales
Par continuité de la tension dans le condensateur, UC=0, d’où A=-E
dq
dU
C
0
Lorsque t = 0, par continuité du courant dans la bobine, I  0 
dt
dt
 E
dU
 O A  B  B   0
dt

 0t
[ E cos(t ) 
La solution complète U  e
0 E
sin( t )]  E

4.
Représentation graphique
U0 représente la solution de l’équation si E=0, ce qui est assimilable à des oscillations libres : le
condensateur, initialement de charge –q, se décharge et se recharge dans la bobine et la résistance,
l’amplitude des oscillations diminuant à chaque passage dans la résistance (fig. 2). La solution
particulière représente le régime permanent constant avec le temps (fig. 3).
Le graphe de la solution complète est donc la superposition des graphes de la solution homogène et
de la solution particulière. A t=0, u=0. A l’établissement du courrant, la tension décrit des
oscillations amorties pour se stabiliser à U=E au régime permanent (fig. 4).
5.
Signification des paramètres physiques
 0t

t
2
e ,
On est dans le cas 0    1 et le graphe du régime permanent a une enveloppe en e
donc  joue bien le rôle d’un temps de relaxation, car au bout de quelques  le régime libre
devient négligeable.
Si la résistance R est faible, Q et  sont grands, le circuit RLC est alors peu amorti : il y a peu pertes
par effet Joule.
On a un régime pseudo périodique amorti de pseudo période T
1
  1  2 , si Q>>1 alors   0  T  T0
4Q
On peut avoir un ordre de grandeur de Q en comptant le nombre de maximums d’amplitude non
négligeables.
6.
Application pratique
On peut utiliser un circuit RLC en régime transitoire pour synthétiser des notes. En effet, les
oscillations de l’air associées à ces notes correspondent à des sinusoïdes s’atténuant assez
rapidement. Les oscillations électriques obtenues aux bornes du condensateur sont ensuite amplifiées
puis transmises à un haut-parleur qui les transforme en son.
Ainsi, en choisissant C=3,29µF, L=40mH et R=9, on obtient f0 = 440Hz soit la hauteur musicale
du La.
Figure 1
Figure 2
Figure 4
Figure 3