Descartes et les Mathématiques
Bac S – Pondichéry – Inde – 2010
Restitution organisée de connaissances : fonctions – Droites de l’espace – Arithmétique et surfaces de l’espace –
Probabilités – Suites.
Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts/terminale.html
Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2010/bac_s_inde_2010.doc
BACCALAUREAT GENERAL Session 2010
Épreuve : MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9
OBLIGATOIRE et SPÉCIALITÉ
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non
fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une
part importante dans l'appréciation des copies.
EXERCICE 1 (6 points)
Commun à tous les candidats
Partie A - Restitution organisée de connaissances :
Soit a et b deux réels tels que a < b et f et g deux fonctions continues sur l’intervalle [a ; b]. On suppose
connus les résultats suivants :
=
+
.
Si pour tout t ∈ [a ; b], f (t ) 0 alors
0.
Montrer que : si pour tout t ∈ [a ; b], f (t ) ≤ g (t ) alors
≤
.
Partie B
Soit n un entier naturel non nul. On appelle fn la fonction définie sur [0 ; +∞[ par fn(x) = ln(1+xn)
et on pose In =
.
On note Cn la courbe représentative de fn dans un repère orthonormal (O,
,
).
1. a. Déterminer la limite de f1 en +∞.
b. Étudier les variations de f1 sur [0 ; +∞[.
c. À l’aide d’une intégration par parties, calculer I1 et interpréter graphiquement le résultat.
(Pour le calcul de I1 on pourra utiliser le résultat suivant : pour tout x ∈ [0 ; 1],
= 1 +
)
2. a. Montrer que pour tout entier naturel non nul n, on a 0 ≤ In ≤ ln2.
b. Étudier les variations de la suite (In)
c. En déduire que la suite (In) est convergente.