1) , on en déduit que les trois amis pourront tous manger la part qu
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CORRECTION devoir commun n°3 - 21avril 2011 Sujet A ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 : QCM – Probabilité /3 1) : Réponse A. Error! = Error! Réponse C 4) 3) : Réponse A. : Réponse B. 5) Error! : Réponse D. 6) Error! Réponse A. Exercice 2 1. 2) /3 Calculer le périmètre du triangle AMQ et du carré BMPN dans le cas où AM = 10 cm. Si AM = 10 cm, on peut en déduire que MB = 22 -10 = 12 cm. 2. Où doit-on placer le point M sur le segment [AB] pour le périmètre du triangle équilatéral soit égal à celui du carré ? Posons , on en déduit que On veut que les deux périmètres soient égaux : Conclusion : Il faut placer le point M à du point A. Exercice 3 1) , on en déduit que les trois amis pourront tous manger la part qu’ils désirent, il restera même un peu de ce bon dessert !! 2) Il reste donc Error! de ce gâteau, or : revient à dire avec légalité des produits en croix que : Il reste donc environ 2,9 % du gâteau après que les trois amis aient été servis. Exercice 4 : On sait qu’augmenter une valeur de 5 % revient à multiplier cette valeur par . Donc pour déterminer le prix de l’objet en 2010 il faut multiplier celui de 2008 par : Or , on en déduit que le prix a augmenté de 15,7625 % en trois ans. Bravo à Simon !! ACTIVITES GEOMETRIQUES (12 points) Exercice 1 1. Faire la figure en respectant les dimensions données. 9 cm 2. Montrer que le triangle ABD est un triangle rectangle. 46° On sait que le triangle ABD est inscrit dans le cercle (C) et que [AD] est un diamètre de (C). Or si un triangle est inscrit dans un cercle en ayant comme côté un diamètre de ce cercle alors ce triangle est rectangle. Donc Le triangle ABD est rectangle en B. 3. Justifier que : ;ADB= 23°. L’angle ;AEB est un angle au centre qui intercepte l’arc L’angle ;ADB est un angle inscrit qui intercepte l’arc . . De plus ;AEB = 46° Or si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc alors la mesure de l’angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre. Donc ;ADB = Error! = Error! =23° 4. Calculer la longueur AB et préciser sa valeur arrondie au centième de cm. On sait que le triangle ABD est rectangle en B. Sin( ;ADB) = Error! sin(23°) = Error! AB = 9 sin (23°) AB≈ 3,52 cm 5. On trace la droite parallèle à la droite (AB) passant par E. Elle coupe le segment [BD] au point F. 6. Calculer la longueur EF et préciser sa valeur arrondie au dixième de cm. On sait que dans le triangle DAB, E les droites (EF) et (AB) sont parallèles. On peut appliquer le théorème de Thalès. On en déduit :Error! =Error! = Error! Error! =Error! = Error! Par l’égalité des produits en croix, on obtient : EF = Error! = 1,76 Exercice 2 Dans le triangle ADF : les points A,F,T et D, F,S sont alignés dans le même ordre. Error! = Error! = Error! Error! = Error! = Error! Ainsi Error! =Error!. J’applique la réciproque du théorème de Thalès : Donc les droites (AD) et (ST) sont parallèles. PROBLEME (12 points) EF ≈1,8 cm Première partie : la base hexagonale 1. a) Démontrer que OAB est un triangle équilatéral. On sait que le triangle OAB est isocèle en O, donc , de plus Or dans un triangle la somme des angles est égale à 180°. Donc Autrement dit le triangle OAB possède trois angles égaux à 60°, on peut en déduire que le triangle OAB est équilatéral. b) En déduire le périmètre de la scène. Le triangle OAB étant équilatéral, on peut en déduire que OA =OB = AB = 10 m. Donc 2. Démontrer que OABC est un losange. Avec un raisonnement analogue à la première question, on sait que OBC est un triangle équilatéral, donc OC = OB = BC. On en déduit que dans le quadrilatère OABC, on a OA = AB = BC = OC. Or si un quadrilatère possède quatre côtés égaux alors c’est un losange. Donc OABC est un losange. 3. a) Démontrer que FAC est un triangle rectangle. On sait que le triangle FAC est inscrit dans le cercle (C) et que [FC] est un diamètre de (C). Or si un triangle est inscrit dans un cercle en ayant comme côté un diamètre de ce cercle alors ce triangle est rectangle. Donc Le triangle FAC est rectangle en A. b) Calculer AC. (On donnera la valeur exacte et une valeur approchée arrondie au centième.) On sait que le triangle FAC est rectangle en A. On peut appliquer le théorème de Pythagore. 4. Calculer l’aire de la scène. (On donnera la valeur exacte et une valeur approchée arrondie au centième.) Cette scène est constituée de 3 losanges identiques. Calculons l’aire du losange OABC. où D est la grande diagonale et d est le petite diagonale du losange. Pour le losange OABC, on a D = AC et d = OB Donc Deuxième partie : la pyramide Avant et après le spectacle, on observe une pyramide SABCDEF, de sommet S et dont la base est l’hexagone régulier ABCDEF. On supposera, dans cette partie, que l’aire de ABCDEF est égale à 259,8m². La hauteur SO de cette pyramide mesure 4 m. 1. Calculer le volume de cette pyramide. On donnera la réponse en m3. 2. Calculer SA. On sait que le triangle SOA est rectangle en O. On peut appliquer le théorème de Pythagore. 3. On souhaite réaliser une maquette de cette pyramide à l’échelle . Calculer le volume de la maquette. On choisira une unité appropriée pour donner la réponse.
