Le calcul matriciel dans l`accroissement des populations
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Le calcul matriciel dans l’accroissement des
populations
I.
Qu’est-ce qu’une matrice ?
a. Définition
C’est un tableau contenant des nombres appelés coefficients. On note ce
tableau entre parenthèses.
Une matrice ayant n lignes et p colonnes est dite de forme (n,p).
Si n=p, la matrice est dite carrée d’ordre n.
Ex :
2 -1 7
0 5 ½
matrice (2,3)
5 √8
-3 14
matrice carrée d’ordre 2
Dans les matrices carrées, on trouve les diagonales.
Ex :
5
-3
√8
14
les nombres 5 et 14 constituent la diagonale
b. Cas particuliers
1- Une matrice n’ayant qu’une seule ligne est une matice-ligne ou vecteur-ligne.
Ex : (2 -7 0)
2- Une matrice n’ayant qu’une seule colonne est une matrice-colonne ou vesteurcolonne.
Ex : -5
2
0
-4
3- Une matrice nulle ne contient que des zéros.
Ex : 0 0 O
0 0 0
est la matrice nulle de format (2,3)
4- La matrice d’identité d’ordre n est une matrice carrée d’ordre n dont tous les
coefficients sont nuls à l’exception de la diagonale dont les coefficients sont 1.
Ex :
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
matrice identité d’ordre 4
5- Une matrice carrée est dite triangulaire si tous les nombres situés au dessus
ou au dessous de la diagonale sont nuls.
Ex :
5 2 -1 1
0 4 0 7
0 0 3 2
0 0 0 1
matrice triangulaire supérieure
2 0
1 3
matrice triangulaire inférieure
6- Une matrice carrée est diagonale si seuls les coefficients de la diagonale
comportent des nombres non nuls.
Ex :
3 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
c. Transposés d’une matrice
Si A est une matrice, on appelle transposée de A et on note tA la matrice qui
inverse les lignes et les colonnes de A.
Ex : A= 1 -2
0 1
3 5
format (3,2)
t
A=
1 0 3
-2 1 5
format (2,3)
II.
Ecriture matricielle d’un système
Un système de n équations et de p inconnus peut être écrit à l’aide d’une matrice (n,p).
Ex 1 :
2x – y + 3z = 5
x–z=0
2 -1 3
1 0 -1
x
y
z
=
5
0
Ex 2 :
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
x1
x2
x3
=
b1
b2
b3
C’est l’écriture matricielle du système
III. Opérations sur les matrices
Il est possible de :
a- Ajouter 2 matrices de même format
Ex :
2 -1 + 4 0 = 6 -1
5 3
2 -1
7 2
on additionne les coefficients correspondants
b- Multiplier une matrice par un réel
Ex :
-3 x 1 0 0 = -3x1 -3x0 -3x0
2 -5 7
-3x2 -3x-5 -3x7
=
-3 0
0
-6 15 -21
c- Multiplier une matrice de format (n,p) par une matrice de format (p,q) pour
obtenir une matrice de format (n,q).
Ex :
a b c
1ère colonne x 1ère ligne
d e f
2ère colonne x 1ère ligne
g h i
3ère colonne x 1ère ligne
x
aj+dk+gl
bj+ek+hl
cj+fk+il
j k l
am+dn+go bm+en+ho cm+fn+io
mn o
1ère colonne x 2ère ligne
2ère colonne x 2ère ligne
3ère colonne x 2ère ligne
Notation :
0 2 -2
1 0 1
2 1 3
3 -1 -2
-1 4 1
2 16 0
1 -2 -9
Remarque :
AxA= A²
AxAxA=A3
…
Si A matrice carrée
d- Il est possible, sous certaines conditions, d’inverser une matrice carrée.
C’est à dire de trouver une matrice notée A-1 tel que A-1A=AA-1=I (identité). Dans ce
cas, on dit que la matrice A est inversible.
IV.
Déterminant d’une matrice carrée
a. Déterminant d‘une matrice (2,2)
On appelle déterminant de la matrice carrée a b noté a
d c
d
a b
c d = ad – bc
b le réel égale à :
c
b. Déterminant d’une matrice (n,n)
On calcule le déterminant d’une matrice (n,n) en se ramenant à des déterminants
(2,2).
Ex :
1 -3 1
0 5 2
2 0 0
On développe le déterminant suivant :
+
1
0
2
la 1ère ligne
+
-3 1
5 2
0 0
1
0
2
-3
5
0
-
1
2
0
1
0
2
1 5 2 - (-3) 0 2 + 1 0 5 = 1(5x0-2x0) - (-3)(0x0-2x2)
0 0
2 0
2 0
+ 1(0x0-5x2)
= 0 – 12 + 10
= -22
-3 1
5 2
0 0
la 2ème ligne
1
0
2
+
-3
5
0
1
2
0
-0 -3 1 + 5 1 1 - 2 1 -3 = 0 + 5 (1x0-2x1) - 1(0x0-5x2)
O O
2O
2 0 = 0 – 10 - 12
= -22
1
0
2
-3
5
0
1
2
0
1
0
2
+1
-0
+2
1
0
2
-3
5
0
1
2
0
la 1ème colonne
-3
5
0
-3
5
0
1
2
0
1
2
0
1
5 2 + 0 -3 1 - 2 -3 1 = 1(5x0-2x0) – O + 2(-3x2-5x1)
O O
0 O
5 2 = 0 – 0 - 22
= -22
1
0
2
-3
5
0
1
2
0
Règle de signe dans une matrice
+ - + - …
- + - + …
+ - + - …
…
c. Une règle importante
Une matrice carré A est inversible si et seulement si son déterminant est non nul et
A-1 = 1 tCo (A)
Det
Co (A) est la matrice des cofacteur de A : la matrice des sous déterminant de A
affectés du signe adapté.
Ex : cherchons A-1 pour det A = -22 (cf exemple précédant) donc A est bien inversible
Co(A) = + 5 2 - 0 2 + 0 5
0 0
2 0
2 0
- -3 1 + 1 1 - 1 -3
0 0
2 0 2 0
+ -3 1 - 1 1 + 1 -3
5 2
0 2 0 5
= 5x0-2x0
-(0x0-2x2)
-(-3x0-1x0)
1x0-1x2
(-3)x2-1x5
-(1x2-1x5)
= 0
0
-11
4
-2
-2
-(1x0-2x(-3))
-10
-6
5
A-1 = 1
0
0 -11
-22 4 -2 -2
-10 -6
5
Exemple d’application :
x – 3y + z = 2
5y + 2z = -1
2x = 4
X = A-1 B
X= 1
0
0 -11
-22 4 -2 -2
-10 -6
5
X= 1
-22
-44
2
6
0x0-5x2
2
-1
4
1x5-(-3)x0
A 1 -3
0 5
2 0
1
2
0
x = -1/22 (-44) = 2
y = -1/22 x 2 = -1/11
z = -1/22 x 6 = -3/11
d’où S = { (2 , -1/11 , -3/11) }
