Le calcul matriciel dans l`accroissement des populations

Le calcul matriciel dans l’accroissement des
populations
I. Qu’est-ce qu’une matrice ?
a. Définition
C’est un tableau contenant des nombres appelés coefficients. On note ce
tableau entre parenthèses.
Une matrice ayant n lignes et p colonnes est dite de forme (n,p).
Si n=p, la matrice est dite carrée d’ordre n.
Ex :
2 -1 7
0 5 ½ matrice (2,3)
5 √8
-3 14 matrice carrée d’ordre 2
Dans les matrices carrées, on trouve les diagonales.
Ex :
5 √8
-3 14 les nombres 5 et 14 constituent la diagonale
b. Cas particuliers
1- Une matrice n’ayant qu’une seule ligne est une matice-ligne ou vecteur-ligne.
Ex : (2 -7 0)
2- Une matrice n’ayant qu’une seule colonne est une matrice-colonne ou vesteur-
colonne.
Ex : -5
2
0
-4
3- Une matrice nulle ne contient que des zéros.
Ex : 0 0 O
0 0 0 est la matrice nulle de format (2,3)

4- La matrice d’identité d’ordre n est une matrice carrée d’ordre n dont tous les
coefficients sont nuls à l’exception de la diagonale dont les coefficients sont 1.
Ex :
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 matrice identité d’ordre 4
5- Une matrice carrée est dite triangulaire si tous les nombres situés au dessus
ou au dessous de la diagonale sont nuls.
Ex :
5 2 -1 1
0 4 0 7
0 0 3 2
0 0 0 1 matrice triangulaire supérieure
2 0
1 3 matrice triangulaire inférieure
6- Une matrice carrée est diagonale si seuls les coefficients de la diagonale
comportent des nombres non nuls.
Ex :
3 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
c. Transposés d’une matrice
Si A est une matrice, on appelle transposée de A et on note tA la matrice qui
inverse les lignes et les colonnes de A.
Ex : A= 1 -2 tA= 1 0 3
0 1 -2 1 5
3 5
format (3,2) format (2,3)

II. Ecriture matricielle d’un système
Un système de n équations et de p inconnus peut être écrit à l’aide d’une matrice (n,p).
Ex 1 : 2x – y + 3z = 5
x – z = 0
2 -1 3 x = 5
1 0 -1 y 0
z
Ex 2 :
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3
a11 a12 a13 x1 = b1
a21 a22 a23 x2 b2
a31 a32 a33 x3 b3 C’est l’écriture matricielle du système

III. Opérations sur les matrices
Il est possible de :
a- Ajouter 2 matrices de même format
Ex :
2 -1 + 4 0 = 6 -1
5 3 2 -1 7 2 on additionne les coefficients correspondants
b- Multiplier une matrice par un réel
Ex :
-3 x 1 0 0 = -3x1 -3x0 -3x0 = -3 0 0
2 -5 7 -3x2 -3x-5 -3x7 -6 15 -21
c- Multiplier une matrice de format (n,p) par une matrice de format (p,q) pour
obtenir une matrice de format (n,q).
Ex :
a b c 1ère colonne x 1ère ligne
d e f 2ère colonne x 1ère ligne
g h i 3ère colonne x 1ère ligne
x
aj+dk+gl bj+ek+hl cj+fk+il
j k l am+dn+go bm+en+ho cm+fn+io
m n o
1ère colonne x 2ère ligne
2ère colonne x 2ère ligne
3ère colonne x 2ère ligne
Notation :
0 2 -2
1 0 1
-1 4 1
2 1 3 2 16 0
3 -1 -2 1 -2 -9
Remarque :
AxA= A² Si A matrice carrée
AxAxA=A3
…

d- Il est possible, sous certaines conditions, d’inverser une matrice carrée.
C’est à dire de trouver une matrice notée A-1 tel que A-1A=AA-1=I (identité). Dans ce
cas, on dit que la matrice A est inversible.
IV. Déterminant d’une matrice carrée
a. Déterminant d‘une matrice (2,2)
On appelle déterminant de la matrice carrée a b noté a b le réel égale à :
d c d c
a b
c d = ad – bc
b. Déterminant d’une matrice (n,n)
On calcule le déterminant d’une matrice (n,n) en se ramenant à des déterminants
(2,2).
Ex : 1 -3 1
0 5 2
2 0 0
On développe le déterminant suivant :
- la 1ère ligne
+ - +
1 -3 1 1 5 2 - (-3) 0 2 + 1 0 5 = 1(5x0-2x0) - (-3)(0x0-2x2)
0 5 2 0 0 2 0 2 0 + 1(0x0-5x2)
2 0 0 = 0 – 12 + 10
= -22
1 -3 1 1 -3 1
0 5 2 0 5 2
2 0 0 2 0 0