Résolution de l`équation différentielle du mouvement par la méthode

Objectifs :
Utiliser un tableur pour résoudre une équation différentielle du mouvement par la méthode d’Euler.
I°) Réalisation :
a°) Principe
Lors du dernier TP (Tp n°18) nous avons établi que l’équation différentielle donnant l’évolution de la vitesse v d’une bille
en mouvement dans un fluide visqueux (liquide vaisselle) pouvait s’écrire sous la forme :
b v-a)
ρ
ρ
g.(1
.Vρ
k.v
dt
dv
b
f
bb
(avec a=-
bb.Vρ
k.v
=-
m
k
et b=
)
ρ
ρ
g.(1
b
f
)
(Cas où la poussée d’Archimède et la force de frottement ne peuvent être négligées)
Avec : V volume de la bille :
3
R4
V3
k coefficient de frottement fluide
b masse volumique de la bille et f masse volumique du fluide (ici le liquide vaisselle)
Cette résolution par la méthode d’Euler peut s'effectuer à l'aide du tableur Excel.
Méthode d’Euler.
A une date t donnée, on suppose que la dérivée première
dt
dv
est constante pendant un cours intervalle de temps t . A
partir de l'équation différentielle et des conditions initiales, on calcule la valeur de la dérivée première :
)
ρ
ρ
g.(1
.Vρ
k.v
dt
dv
b
f
bb
0
1
(v0 : vitesse initiale)
puis on calcule la valeur de la vitesse v1 à la date t1 = t0 + t avec la relation : v1 = v0 +
dt
dv1
. t
On recommence en considérant la date suivante t2 = t1 + t :
)
ρ
ρ
g.(1
.Vρ
k.v
dt
dv
b
f
bb
12 
et v2 = v1 +
dt
dv2
. t
b°) Préparation du tableur :
 Ouvre le fichier billeacierélèver.xls dans Excel.
 Prépare le tableur en inscrivant les valeurs constantes et les conditions initiales qui correspondent à la chute de la
bille en acier (voir tableau ci-dessous) :
Données : coefficient de frottement k = 2,1 10-1 kg.s-1
masse volumique de la bille en acier b = 7,83 g.mL-1
masse volumique du liquide vaisselle : f = 1,01 g.mL-1
diamètre de la bille en acier : 15 mm
pas de discrétisation temporelle t = 0,01 s
valeur du champ de pesanteur g = 9,81 N.kg-1
 Dans la cellule D12 programme l’expression du volume V de la bille :
3
R.4
V3
(R : rayon de la bille)
Remarque : Quand vous entrez une donnée dans une formule, pour éviter d’écrire la valeur à chaque fois il faut
taper le numéro de cellule sous la forme $C$5 (par exemple pour le rayon)
 Dans la cellule A15 programme l’expression de la vitesse limite vL de la bille :
kV).g..ρ - .V.(
vfb
L
Remarque : Attention aux unités
 Colonne du temps : A (Chaque temps est égal au précédent augmenté du pas de calcul : t )
 Programme la cellule A19 puis recopie sur toute la colonne (aller jusqu’à 0,4 s ) en cliquant sur la poignée (dans
l’angle inférieur droit de la cellule) et en la tirant vers le bas.
 Colonne dérivée de la vitesse : B
Dans la cellule B19, note l’équation différentielle de la vitesse (voir ci-dessus méthode d’Euler) en utilisant les
cellules des conditions expérimentales. Puis tire la formule sur toute la colonne.
 Colonne vitesse : C
Reprends l’expression de v1, à l’instant t0 + t , en fonction de v0 ,
dt
dv1
et t , vue dans le principe de la méthode
d’Euler. Programme la cellule C19 puis recopie sur toute la colonne.
Résolution de l’équation différentielle du mouvement par la méthode d’Euler
TP N°19 (Physique)

 Colonne position : D
Donne l’expression de y1, à l’instant t0 + t , en fonction de y0 , v1 et t .
Programme la cellule D19 puis recopie sur toute la colonne.
 Affichage des graphes : Faire un copier collage spécial et afficher les courbes de y(t) et v(t) sur les mêmes
graphiques que ceux obtenus expérimentalement.
Appeler le professeur pour vérifier votre travail puis imprimer (ne pas quitter votre feuille Excel et enregistrer bien
votre travail)
c°) Questions :
* Commenter les graphiques obtenus.
* Repère sur la courbe les deux régimes (transitoire et permanent) et évalue le (temps pour que 63 % de la vitesse
limite soit atteinte). Comparer la vitesse limite théorique et expérimentale de la bille.
* Observe les résultats obtenus pour t = 0,1 s et conclure.
II°) Exploitation :
On se propose de prévoir, avec la méthode d’Euler, l’évolution de la vitesse d’une boule de pétanque lâchée dans l’air à plus
de 1500 m d’altitude et ce sans vitesse initiale. Deux modèles sont alors envisageables en ce qui concerne la force de
frottement f qui s’applique sur le système étudié f = k.v ou f = k.v2.
* Précise alors, dans chaque cas, quelle sera l’équation différentielle du mouvement puis ouvrir boulepétanqueélève.xls
dans Excel.
* Sachant qu’au bout de 15 secondes la vitesse d’une boule de pétanque lachée sans vitesse initiale est d’environ 100 m.s-1,
choisis le modèle le plus adapté. Pour cela modifier l’expression de la dérivée de la vitesse (pour le deuxième cas) et
refaire Le même travail que ci-dessus dans la feuille boulepétanqueélève.. (On établira des tableaux de 500 lignes).
D’autre part pour le 1er modèle vous n’avez qu’à rentrer les données (les formules sont déjà prêtes).
On prendra : k coefficient de frottement pour une sphère lisse dans l’air : 0,000 42 kg/s
b masse volumique de la boule de pétanque : 2,89 kg.L-1
f masse volumique de l’air : 0,0013 kg.L-1
t pas du calcul (discrétisation temporelle) : 0,1 s
Diamètre de la boule : 74 mm
* Quelle est la vitesse limite d’une boule de pétanque en chute dans l’air ?
* Au bout de quelle distance, atteint-elle cette vitesse limite ?
III°) Conclusion :
* Quel modèle doit-on choisir pour évaluer la force de frottement dans le cas de la chute d’un objet dans un fluide visqueux
tel que la glycérine, l’huile, le liquide vaisselle… et dans l’air ?
* Pour deux objets sphériques de même volume et d’état de surface identique en chute dans un même fluide, de quoi dépend
la vitesse limite ?
* Quelle est l’expression de cette vitesse limite si on néglige la poussée d’Archimède dans le liquide visqueux ?
* Même question dans l’air.
* On admet que le modèle de la force de frottement retenu pour la boule de pétanque est aussi celui correspondant le mieux à
la balle de ping-pong (Tp n°18), donner la vitesse limite de cette balle de ping pong si elle n’était pas attachée à un ballon
de baudruche. Justifier l’utilisation des ballons de baudruche dans le TP 18. Sur quelle grandeur a-t-on « joué » ?