Les logarithmes - Sn-Bretagne

Lycée EPIL : 08/11/04
CLASSE : TB6
Support : Télémètre à ultrasons
LES LOGARITHMES
I] HISTORIQUE
Belle invention due à John Napier, (Neper dans d'autres langues) qui publia le premier je crois
une table de logarithmes.
Nous ne parlerons ici que du logarithme décimal (en base 10)
II MANIPULONS LES LOGARITHME
log (a x b) = log a + log b
log a / b = log a - log b
Moins indispensable pour le moment :
log an = n log a
III] ECHELLE LOGARITHMIQUE
A quoi cela ressemble t-il, une échelle logarithmique ?
A cela...
IV] APPLICATION NUMERIQUE
1) Avec votre calculatrice, nous allons réaliser les opérations suivantes :
Taper LOG 425 = 2.62838893
Taper 2nd LOG 2.62838893 = 425
2) Remplir le tableau
Quel est le log de 1 ?
Log 1 =
Quel est le log de 10
Log 10 =
Quel est le log de 100
Log 100 =
Quel est le log de 1000
Log 1000 =
Quel est le log de 10000
Log 10000 =
M RASO
BEP DES METIERS DE L’ELECTRONIQUE
Epreuve EP1
Session 2005
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LE DECIBEL
Voilà une unité de mesure que vous allez employer quotidiennement. Utilisé à tout, il
sert souvent d'argument définitif lors des discussions ou sur les affiches publicitaires. Il
est important de bien le maîtriser.
I] HISTORIQUE
Comme son nom l'indique, le décibel est le dixième du Bel. On a donné ce nom à cette unité
en hommage à Alexander Graham Bell.
II] MESURE LOGARITHMIQUE
1) culture
2) influence
Si, quand vous écoutez de la musique sur votre chaîne haute fidélité
3) représentation graphique
Ceci pourrait être la courbe de réponse de votre oreille à une excitation sonore.
Sur l'axe des "x" vous trouvez l'augmentation de puissance, sur les "y" la sensation
physiologique
III] FORMULES
En tension ou courant
Le dB est 20 fois le logarithme base 10
du rapport des tensions V1/V2 ou des
courants I1/I2
dB =
______
Exemple :
Quelle est l'amplification de tension exprimée en dB d'un transistor monté en
amplificateur sur lequel on mesure 3 V de tension de sortie pour 10 mV de tension
d'entrée ?
Si le résultat est négatif, il s'agit d'une atténuation, si le résultat est positif, il s'agit d'un
gain.
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ETUDE DES CIRCUITS EN SINUSOIDAL (complexe)
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Les filtres RC ET CR
Les filtres sont indissociables de la radio, sans eux nous aurions quand même beaucoup de
mal à concevoir des émetteurs et des récepteurs.
Tout cela va être réalisé avec un assemblage savant de composants : les filtres.
I] CONCEPTION GENERALE
1) Identification
Signaux de
fréquence
quelconque
ie
is
Ve
Vs
SUPPRESSION DES
SIGNAUX DE
FREQUENCES NON
DESIRES
Signaux de
fréquence
déterminée
2) Rôle
II TYPOLOGIE
1) Catégories : les filtres sont classés en quatre catégories
Passe-bas
coupe-bande
Passe-bande
Passe-haut
Gain
Fréquence
Vous pouvez observer ci-dessus les courbes de réponses des quatre types de filtres. Ces
courbes donnent la réponse en amplitude du filtre en fonction de la fréquence. L'axe vertical
représente l'atténuation, l'axe horizontal indique la fréquence.
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2) classification
-
filtre idéal : N’est passant que pour une fréquence donnée et non passant pour une
fréquence très voisine : Av = f(f)
-
filtre réel : présente une amplification en tension donnée, Av0, pour les signaux
qu’il transmet et une amplification nulle pour les autres G = f(f)
III] CARACTERISTIQUES
IV] FILTRES PASSIFS
C’est association de dipôles passifs élémentaires : résistances, condensateurs et inductances.
1) filtre passe-bas du 1er ordre
Les filtres passe-bas atténuent les fréquences élevées. Comme leur nom l'indique, ils ne
laissent passer que les ____________________ .
a) Calcul de Vs en fonction de Ve :
Comme le filtre est à vide (le courant de sortie est nul), on peut appliquer le pont diviseur de
tension pour calculer Vs en fonction de Ve. Le pont diviseur nous donne :
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La transmittance (notée T complexe) est le rapport Vs / Ve :
On en déduit que :
Sachant que l'impédance de la résistance vaut :
Et que l'impédance du condensateur vaut :
On en déduit que la transmittance du filtre passe bas est :
Et en multipliant le numérateur et le dénominateur par
on obtient :
Appelons oméga zéro le rapport 1/RC :
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La transmittance du filtre passe bas du premier ordre sécrit alors :
Vs =
b) Calcul du module et de l'argument de la transmittance complexe:
Le module de la transmittance complexe est :
Et son argument est :
2) filtre passe-haut du 1er ordre
Les filtres passe-haut atténuent les fréquences basses. Comme leurs noms l'indiquent, ils ne
laissent passer que les fréquences élevées.
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a) Calcul de Vs en fonction de Ve :
Comme le filtre est à vide (le courant de sortie est nul), on peut appliquer le pont diviseur de
tension pour calculer Vs en fonction de Ve. Le pont diviseur nous donne :
La transmittance (notée T complexe) est le rapport Vs / Ve :
On en déduit que :
Sachant que l'impédance de la résistance vaut :
Et que l'impédance du condensateur vaut :
On en déduit que la transmittance du filtre passe haut est :
Et en divisant le numérateur et le dénominateur par R on obtient :
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Appelons oméga zéro le rapport 1/RC :
La transmittance du filtre passe haut du premier ordre sécrit alors :
Vs =
b) Calcul du module et de l'argument de la transmittance complexe:
Le module de la transmittance complexe est :
Et son argument est :
IV] FILTRES ACTIFS (AOP en plus)
Voir livre page 131
V] FORMULES A RETENIR
1) Amplification : A
=
2) Gain de tension G
=
3) Fréquence de coupure : Fc
4)
Atténuation =
5) Bande passante : [
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=
;
]
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Remarque :
Nous avons parlé de la pente d'atténuation des filtres qui s'exprime en dB/octave ou
dB/décade; un schéma valant mieux que mille paroles, regardez ce qui suit :
un octave correspond à la fréquence x 2
une décade correspond à la fréquence x 10
si l'on dit que la pente d'atténuation du filtre est de 20 dB/décade, cela est équivalent à
6dB/octave.
Exercice :
Observez le schéma ci-dessus, la fréquence est en abscisse . Nous partons de 1 F,
doublons la fréquence, nous obtenons 2F. Entre F et 2F nous avons 6 dB d'atténuation.
Maintenant, doublons 2F, il vient 4F et nous avons toujours 6dB d'atténuation. Doublons
4F, il vient 8F toujours avec 6dB.
A 8F nous avons 18 dB d'atténuation.
Pour progresser d'un octave à partir de 8F, il faudrait passer à 16F, nous, nous nous
arrêtons à 10F ce qui donne seulement 2dB d'atténuation : ______________
C'est l'atténuation du filtre. Nous retiendrons :
VI] REPRESENTATION GRAPHIQUE
Diagramme de Bode (courbe de gain)
La courbe de gain représente G exprimé en décibels, en fonction du logarithme (décimal) de
la pulsation
ou de la fréquence f (en Hertz).
Elle est constituée par :
-
Une partie rectiligne horizontale correspondant à la bande passante
Une ou plusieurs parties obliques, sensiblement rectilignes correspondant aux
bandes de fréquences atténuées.
Une partie curviligne ou les fréquences de coupures correspondent à un
affaiblissement du gain de – 3dB
Le gain maximal noté G0, le gain à la fréquence de coupure Gc est égal à : Gc =
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VII] APPLICATIONS DES CIRCUITS RC
Le filtre RC peut être utilisé dans plusieurs domaines :
En démodulateur dans les circuits radio, le filtre RC supprime la porteuse du signal, car celleci est de fréquence beaucoup plus basse que le signal transféré.
Pour les enceintes acoustiques, on trouve les correcteurs, les égaliseurs dont la technologie
fait généralement intervenir des filtres passifs. L'avantage des filtres passifs (tels que RC) est
qu'ils sont rarement limités au niveau de l'amplitude des signaux traités, ce qui n'est pas cas
des filtres actifs. Par exemple, un filtre passe-bas peut être branché entre la source et un hautparleur pour filtrer les basses.
En domotique, on rencontre les filtres sur les lignes d'alimentation des variateurs
électroniques de vitesse ou sur celles des gradateurs pour l'éclairage. Dans ces applications,
on s'arrange généralement pour éliminer les harmoniques dus aux découpages des sinusoïdes
secteur.
VIII] EXERCICES
1) Tracer la courbe représentative de la fonction de transfert du montage ci dessous en
fonction de f, en utilisant la relation mathématique de la fonction de transfert.
R
Ve
C
Vs
Sachant que R = ZR et que Zc = 1 /(jc ) Trouver la formule qui permet de donner Vs
En déduire A
Tracer la courbe représentative de la fonction de transfert en fonction de la fréquence. Prendre
f entre 0 et 10kHz et R = 50 et C = 20F.
F Hz
0
10K
A
gain
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