etude d`un systeme oscillant

PCSI. 99/00.
Physique.
Devoir surveillé N°9.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une
présentation claire et lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Il est choisi de représenter les vecteurs en caractères gras, non surmontés de flèches. Ainsi le
vecteur sera écrit AB. La valeur du vecteur AB est écrite AB.
Problème 1. Etude d’un système oscillant.
Ce problème a pour but d’étudier le mouvement d’une paroi soumise d’une part à la pression
d’un gaz et d’autre part à la force de rappel d’un ressort.
Il fait appel à des connaissances de thermodynamique, de mécanique, d’électricité et
d’électronique.
Les diverses parties du problème sont largement indépendantes. Une lecture attentive de
l’ensemble du problème est néanmoins recommandée, des données pouvant être communes à
plusieurs parties.
Description du système :
Soit un cylindre, de section A et de longueur L, séparé
en deux par une paroi mobile (P). Le compartiment de
gauche contient un gaz parfait. On a réalisé le vide
dans le compartiment de droite. La paroi mobile est
reliée à la paroi fixe de droite par un ressort idéal,
initialement au repos.
La pesanteur est négligée dans tout le problème.
Données numériques et conditions initiales :
Cylindre
Section : A = 10-2 m2 ; longueurs : a = 10 cm ; b = 20 cm.
Gaz
Rapport des capacités thermiques massiques (supposé constant) :  = 1,40
Etat initial : To = 300K ; Po = 1 bar ; Vo = A.a = 1 litre.
Ressort
Raideur : k = 104 N/m ; longueur au repos : lo = b = 20 cm
masse négligeable.
Paroi mobile
Masse : m = 10 kg , section: A = 10-2m2 ; épaisseur négligeable.
Les grandeurs vectorielles telles que la position ou la force subie par la paroi seront mesurées
algébriquement selon l’axe Ox, dont l’origine est placée en la position initiale de la paroi.
A l’origine des temps, on abandonne la paroi en x = 0 (ressort au repos) sans vitesse initiale.
On étudie les oscillations de la paroi.
1.Oscillations isothermes.
On admet que le gaz reste constamment à la température To. On néglige tout frottement
(excepté en 1.4).
1.1 Exprimer la composante Fx de la résultante des forces subies par la paroi en fonction
de son abscisse x.
Soient les grandeurs sans dimension : f = Fx/(PoA) et u = x/a .
Exprimer la fonction f (u) ( force réduite )en la simplifiant grâce aux valeurs
numériques des données.
1.2 Montrer que la composante Fx dérive d’une énergie potentielle Ep(x) que l’on choisira
nulle en x = 0 .
De nouveau, on peut introduire une grandeur sans dimension : e p = Ep / (Po.A.a).
Exprimer la fonction ep(u) en la simplifiant également.
1.3 Déterminer l’énergie mécanique Em de la paroi.
Exploiter les résultats précédents pour calculer le déplacement maximum de la paroi
xm ainsi que la position xe, pour laquelle la vitesse de la paroi est maximale. (Une
résolution purement numérique à la calculatrice est nécessaire pour au moins un
calcul.)
1.4 Bilan entropique. On suppose que, par suite des frottements inévitables, l’amplitude
des oscillations s’amortit lentement au cours du temps et que la paroi s’immobilise
finalement en X = 6,2 cm, la température valant toujours To = 300 K.
1.4.a. Calculer la variation d’entropie Sg du gaz depuis son état initial.
1.4.b. Déterminer l’entropie créée Sc. Application numérique.
1.5 Lorsque la paroi effectue des petites oscillations autour de sa position finale
d’équilibre
d’abscisse X , on peut admettre en première approximation que la force nette qu’elle
subit est de la forme : Fx = -K(x – X) où K est une constante.
Déterminer l’expression et la valeur de K.
En déduire l’expression et la valeur de la période T des petites oscillations de la paroi.
2. Oscillations adiabatiques.
Une hypothèse plus réaliste est de considérer que le gaz est en évolution isentropique en
l’absence de frottements.
2.1 Rappeler la relation liant à tout instant le volume V et la pression P du gaz dans le cas
de ce type de transformation.
2.2 Donner l’expression de la nouvelle force nette F’x subie par la paroi ainsi que celle de
la force réduite f’ = F’’x/ ( Po.A ) en fonction de u = x/a.
2.3 De nouveau, par suite des frottements inévitables, la paroi s’immobilise en une
certaine position x’e . La détermination de x’e, ne nécessite aucun des résultats
précédents. Elle se fera à l’aide des hypothèses suivantes :
Aucune chaleur n’est échangée au travers des parois.
On considère que la force de frottement est due à l’action du gaz sur la paroi mobile.
On prendra comme système d’étude (parois + gaz) et on posera nulle la variation
d’énergie interne des parois.
2.3.a. Déterminer l’expression de l’énergie interne d’un gaz parfait à  constant en
fonction de  et du produit PV.
2.3.b. Rappeler l’expression du travail de la tension d’un ressort idéal.
Exploiter ces résultats et les hypothèses pour calculer la position et la pression finales
x’e et P’e.
2.3.c. Calculer la température finale T’e.
2.3.d. Calculer la variation d’entropie S’g du gaz depuis son état initial.
3. Mesure électrique à l’aide d’une jauge de contrainte.
3.1 Principe de la jauge. Une jauge de contrainte est constituée
d’une petite plaquette dans laquelle est moulé un fil conducteur
replié
(n - 1) fois sur lui-même. Cette jauge est montée sur un
support déformable élastiquement. En l’absence de contrainte, la
longueur totale du conducteur vaut lo = n a.
Lorsque le support est soumis à la contrainte de compression F, on admet que sa longueur
l  lo l
  K 1F avec K1 < 0.
varie selon la loi simple :
lo
lo
3.1.a On donne : n = 10 ; a = 10 mm ;  = 106 -1m-1 (conductivité électrique du fil).
Calculer le diamètre D du fil ( en m ) pour obtenir une résistance initiale Ro égale
à 100 .
3.1.b On suppose que, lorsque la jauge est sous contrainte, le volume du fil reste
l
 1 ) en déduire que la résistance
constant. Les déformations restant petites (
lo
R  Ro R

 K 2 F.
du fil varie sensiblement selon la loi simple :
Ro
Ro
Exprimer K2 en fonction de K1.
3.1.c On utilise cette jauge pour mesurer le
déplacement x(t) de la paroi mobile étudiée
précédemment, en la plaçant avec son support
entre le ressort et la paroi fixe du cylindre (voir
schéma ci-contre). Justifier que l’on peut
R
 K 3 x (t ) .
admettre la loi :
Ro
Déterminer la constante K3.
3.2 Pont électrique de mesure. Pour obtenir un signal de
mesure électrique, on place cette jauge dans un montage
en pont qui est alimenté par une source de tension idéale
de f.é.m Eo = 10 V. Les trois autres résistances sont
choisies égales à Ro. Le détecteur (D) est un détecteur
de tension à très haute impédance d’entrée (par exemple
un oscilloscope).
Donner l’expression approchée (au premier ordre
en R/Ro) de la tension détectée : u = V(A) - V(B).
4. Montage électronique de détection.
On réalise le détecteur (D) du pont ci-dessus à l’aide d’un
montage à amplificateur opérationnel idéal, fonctionnant en
régime linéaire. Les points de branchements des bornes A et
B du pont sont indiqués sur le schéma ci-contre.
4.1 Déterminer l’expression de la tension de sortie u1 en
fonction du signal d’entrée du détecteur (D).
4.2 On désire visualiser, non plus le déplacement x(t) de
la paroi, mais la composante de la résultante Fx(t) qu’elle subit. Le signal u1(t) est le
signal de sortie du montage précédent.
On admet qu’il est de la forme : u1(t) = K x(t) avec K = 5 V/m.
Ce signal est appliqué à l’entrée du montage ci-dessous.
Données:
C4 = 10 F
R5 = 10 k.
Justifier que ce montage
fournit en principe une tension de sortie u3(t) qui mesure effectivement la force subie
par la paroi.
Calculer le rapport u3/Fx (en V/N).
4.3 En pratique, on ajoute en série avec chaque condensateur C4 une résistance R4 de
valeur R4 = 1 k .
4.3.a Déterminer l’expression de la fonction de transfert complexe de ce montage
u
en régime sinusoïdal de pulsation , soit: H  3 .
u1
On posera  = R4C4 et  = R5/R4
4.3.b En déduire l’allure du diagramme de gain en dB en fonction de log10( ).
Quel type de filtre a-t-on ainsi réalisé ?
4.3.c Déterminer la pulsation de coupure c.
Problème 2. Etude de distributions linéiques.
On considère un segment AB, de milieu O porté par l’axe Oz, de longueur 2l portant une
charge uniformément répartie avec la densité linéique .
1. Déterminer le champ électrostatique en un point M du
plan médiateur du fil. On donnera le résultant en
fonction de l et de r = OM.
2. En déduire la limite du champ lorsque l tend vers l’infini.
3. Retrouver le résultat de la question 2) en appliquant le
théorème de Gauss.
4. Dans le cas du fil infini, déterminer à partir du résultat de
la question 3) l’expression du potentiel électrostatique
en un point M quelconque.
On considère deux fils rectilignes infinis, parallèles à l’axe Oz et
d’équations cartésiennes respectives x = + a et x = - a, de
charges linéiques uniformes + et - ( > 0). On note A1 et A2
leurs intersections respectives avec le plan xOy.
Le point M sera repéré par ses coordonnées cylindriques (r, , z ) et on note r1 et r2 les
distances respectives entre M et le premier fil d’une part, et M et le second fil d’autre part.
L’origine des potentiels est choisie en O.
5. Déterminer l’expression du potentiel en M.
On fait tendre a vers zéro, tout en maintenant le produit 2a. constant. On obtient une ligne
dipolaire, caractérisée par la constante K = a/o.
On considère que la distance r du point M à l’axe Oz est très grande devant a.
6. Déterminer le potentiel crée par la ligne en M. On se contentera d’un développement
limité de l’ordre en a/r non nul le plus petit possible.
7. En déduire les composantes du champ dans la base cylindrique.