TD n°5

EXAMEN GLPH614
(Deuxième session)
CIRCUITS ELECTRIQUES
(Durée de l'épreuve 2h00)
I. Questions de cours
I.1 Qu’est-ce qu’un dipôle électrique ?
I.2 Qu’est-ce qu’un circuit électrique ?
I.3 Dans un circuit électrique :
I.3.a Qu’est-ce qu’un nœud ?
I.3.b Qu’est-ce qu’une branche ?
I.4 Que représente l’intensité (ou courant) dans une branche d’un circuit électrique ?
I.5 À quelle loi obéissent les intensités électriques dans un circuit ?
I.6 Enoncer cette loi.
I.7 Application : Montrer que dans un circuit électrique, l’intensité est la même en tout
point d’une branche.
II. Associations de deux résistors
On dispose de deux résistors de résistance R et R’.
II.1 Rappeler la relation courant - tension pour le résistor R si
l’on mesure les deux grandeurs électriques u(t) et i(t) avec les
conventions fixées sur le schéma ci-contre.
II.2 Parmi les quatre branchements proposés ci-dessous, lequel doit-on effectuer pour
mesurer l’intensité i(t) avec la convention retenue ci-dessus ?
II.3 Parmi les quatre branchements proposés ci-dessous, lequel doit-on effectuer pour
mesurer la tension u(t) avec la convention retenue ci-dessus ?
…/…
1
II.4 Application n°1 : On associe en série les deux résistors R et R’.
II.4.a Faire un schéma de cette association. Sur ce schéma, on fera apparaître les quatre
grandeurs électriques suivantes :
• u(t) différence de potentiel aux bornes de R,
• u’(t) différence de potentiel aux bornes de R’,
• u’’(t) différence de potentiel aux bornes de l’association série,
• i(t) courant qui traverse l’association série.
On choisira de façon arbitraire les conventions retenues pour mesurer ces quatre grandeurs.
II.4.b Démontrer à partir des lois de l’électrocinétique que l’association série des deux
résistors est équivalente à un unique résistor de résistance R’’ dont on précisera la valeur.
II.4.c Que remarque-t-on sur la valeur de la résistance R’’ si on la compare aux deux valeurs
de résistances R et R’ utilisées pour constituer cette association série ?
II.5 Application n°2 : On associe en parallèle les deux résistors R et R’.
II.5.a Faire un schéma de cette association. Sur ce schéma, on fera apparaître les quatre
grandeurs électriques suivantes :
• i(t) courant qui traverse R,
• i’(t) courant qui traverse R’,
• i’’(t) courant qui traverse l’association parallèle,
• u(t) différence de potentiel entre les bornes de l’association parallèle.
On choisira de façon arbitraire les conventions retenues pour mesurer ces quatre grandeurs.
II.5.b Démontrer à partir des lois de l’électrocinétique que l’association parallèle des deux
résistors est équivalente à un unique résistor de résistance R’’ dont on précisera la valeur.
II.5.c Que remarque-t-on sur la valeur de la résistance R’’ si on la compare aux deux valeurs
de résistances R et R’ utilisées pour constituer cette association parallèle ?
III. Equivalence entre dipôles actifs
III.1 Un générateur de courant réel est constitué par
l’association parallèle d’une source idéale de courant I(t) et
d’un résistor de résistance R comme indiqué sur le schéma cicontre. Etablir la relation courant - tension pour ce générateur
si l’on mesure les deux grandeurs électriques u(t) et i(t) avec
les conventions fixées sur ce schéma.
III.2 Un générateur de tension réel est constitué par
l’association série d’une source idéale de tension U(t) et d’un
résistor de résistance R’ comme indiqué sur le schéma cicontre. Etablir la relation courant - tension pour ce générateur
si l’on mesure les deux grandeurs électriques u(t) et i(t) avec
les conventions fixées sur ce schéma.
III.3 Trouver les deux conditions que l’on doit imposer entre les quatre paramètres qui
caractérisent les deux sources, R, R’, U(t) et I(t), pour que les deux dipôles représentés cidessus soient strictement équivalents.
…/…
2
III.4 Donner les deux paramètres X(t) et Y (force électromotrice et résistance interne)
qui caractérisent la source de tension réelle équivalente à la source de courant réelle
représentée ci-dessous :
III.5 Donner les deux paramètres X’(t) et Y’ (courant électromoteur et résistance
interne) qui caractérisent la source de courant réelle équivalente à la source de tension réelle
représentée ci-dessous :
IV. Exercice d’application
Dans le réseau représenté sur la figure suivante, tous les générateurs de tension idéaux
imposent une différence de potentiel D(t) entre leurs bornes, tous les générateurs de courant
idéaux imposent la circulation d’un courant C(t) dans leur branche et tous les résistors ont
pour valeur de résistance R.
Le but de cet exercice est de déterminer l’intensité i(t) qui circule dans la branche supérieure
de la maille du milieu (cf. figure).
IV.1 En utilisant l’équivalence établie à la question III.4, remplacer les trois
générateurs réels de courant par des générateurs réels de tension. Dessiner le nouveau circuit
obtenu. On exprimera en fonction de D(t), C(t) et R le paramètre qui caractérise chacun des
dipôles élémentaires représentés dans ce nouveau circuit.
IV.2 Dans le nouveau circuit dessiné à la question précédente, on remarque la
présence dans une branche d’une association série de trois générateurs de tension réels.
Montrer (en utilisant II.4) que cette association peut se réduire à un unique générateur de
tension réel dont on exprimera les deux paramètres caractéristiques (f.e.m. et résistance
interne) en fonction D(t), C(t) et R. Dessiner le nouveau circuit obtenu.
…/…
3
IV.3 Dans le circuit représenté à la question IV.2, en utilisant l’équivalence établie à
la question III.5, remplacer les deux générateurs réels de tension situés à gauche du circuit
par deux générateurs réels de courant. Dessiner le nouveau circuit obtenu. On exprimera en
fonction de D(t), C(t) et R le paramètre qui caractérise chacun des dipôles élémentaires
représentés dans ce nouveau circuit.
IV.4 Dans le circuit dessiné à la question précédente, on remarque la présence d’une
association parallèle de deux générateurs de courant réels. Montrer (en utilisant II.5) que cette
association peut se réduire à un simple générateur de courant réel dont on exprimera les deux
paramètres caractéristiques (c.e.m. et résistance interne) en fonction D(t), C(t) et R. Dessiner
le nouveau circuit obtenu.
IV.5 Dans le circuit dessiné à la question précédente, remplacer le générateur de
courant réel par son générateur de tension réel équivalent. On obtient alors une association
série de deux générateurs de tension réels. Pour finir, trouver en fonction de D(t), C(t) et R les
caractéristiques de l’unique générateur de tension réel équivalent à cette association série. En
déduire l’intensité i(t) cherchée.
V. Circuit RLC parallèle
On étudie dans cette partie le régime
permanent d’oscillation d’un circuit RLC
parallèle alimenté par une source idéale de
courant délivrant un courant sinusoïdal de
pulsation  :
I(t) = I0 cos(t).
V.1 Donner la caractéristique courant - tension entre grandeurs complexes u(t) et i (t)
pour les différents dipôles ci-dessous utilisés en régime sinusoïdal permanent de pulsation .
On donnera ces relations sous la forme habituelle (différentielle) puis sous forme algébrique
(loi d’Ohm généralisées).
En déduire l’expression de l’impédance complexe Z de chacun de ces trois composants
définie en convention « récepteur » comme le rapport : Z = u(t) / i (t) .
V.2 En régime sinusoïdal permanent de pulsation , la tension u(t) aux bornes de la
résistance est sinusoïdale de pulsation , on peut donc l’écrire sous la forme suivante :
u(t) = U() cos[t - ()] = Re{ u(t) }
avec
u(t) = U() e it e- i().
En utilisant la loi des nœuds et les trois relations algébriques obtenues à la question
précédente, trouver l’expression de u(t) en fonction de I(t) = I0 e i t , R, L, C et .
V.3 Déduire de cette dernière relation l’expression de U(). Montrer que l’on peut
écrire cette fonction sous la forme suivante :
R I0
U() =
.
2
ω0 
2 ω
1 P 

ω 
 ω0
On exprimera P et 0 en fonction des paramètres R, L et C du circuit.
_________________
4