Modèle mathématique. - Mathématiques | Académie de Dijon
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QUELQUES REFLEXIONS SUR LE THEME DE
L’INFINI MATHEMATIQUE AU COLLEGE ET AU LYCEE
La modification, pour une classe ou une filière donnée, des programmes de mathématiques provoque
chaque fois chez les professeurs chargés de cet enseignement, des réactions empreintes de nostalgie vis à vis des
chapitres caducs et d’inquiétude vis à vis des notions nouvellement introduites. Au delà des habitudes à modifier
dans le cadre de perspectives nouvelles, c’est la recherche d’une cohérence globale qui apparaît comme
essentielle pour que les mathématiques ne se réduisent pas aux yeux des élèves à un ensemble de chapitres
juxtaposés. Le tâche passionnante et difficile du professeur est donc de conduire, autant que faire se peut, un
enseignement qui permet en définitive, aux élèves, de maîtriser des outils de plus en plus élaborés, égrenés au fil
des chapitres, et d’en saisir la cohérence globale dans la résolution de problèmes. C’est en effet par la résolution
de problèmes que les mathématiques prennent leur sens et affirment leur unité. Les découvertes les plus récentes,
dans le domaine de l’algèbre notamment, n’ont pu être menées à bien que grâce au concours de puissants
résultats obtenus dans des domaines à priori très éloignés du but poursuivi. La question de la distribution des
nombres premiers est, on le sait, intimement liée à la fonction dzèta de Riemann
1
, profondément ancrée dans
l’analyse complexe. (A ce sujet on pourra consulter de nombreux et remarquables articles dans le n° spécial de la
Recherche paru en octobre 2001).
Le thème de l’infini est partout présent en mathématiques (et pas seulement en mathématiques). Tantôt
infiniment grand, tantôt comme le disait Drieu de la Rochelle « Une minute excessivement intense » , l’infini
inquiète et fascine par les problèmes qu’il suscite et surtout par les paradoxes, les ruptures d’habitudes
qu’impose le passage du fini à l’infini. Dans ces quelques pages nous voyons dans un premier temps comment
cette notion d’infini mathématique opère comme un « fil rouge» qui relie les apparents « tiroirs mathématiques »
des programmes que sont l’algèbre, la géométrie, l’analyse et les probabilités, et nous étudions d’autre part
quelques questions mettant en évidence les perturbations algébriques ou topologiques qu’induit le passage à
l’infini. L’idée directrice étant de balayer l’ensemble des notions mathématiques des programmes de
l’enseignement secondaire à l’aide de problèmes accessibles aux élèves et ayant en commun une idée donnée :
ici celle de l’infini.
PREMIERE PARTIE :
L’INFINI EST PARTOUT
1°) L’infini et les nombres :
a) Les entiers naturels et leur ensemble N .
Utilisés depuis toujours, leur existence est postulée par les axiomes de Péano
2
. Lorsqu’un ensemble
E est fini, il est impossible de construire une bijection entre E et l’un quelconque de ses sous ensembles stricts.
Le bon sens voudrait donc qu’il y ait « moins » de nombres pairs que d’entiers naturels, mais si cette assertion
est vraie lorsqu’on considère l’ensemble {0,1,…,99}, elle ne peut être maintenue dès lors que l’application f
définie de N dans N par f(x)=2x est bijective. Ainsi, le caractère infini de N est affirmé par le fait qu’il peut-être
mis en bijection avec l’un de ses sous ensembles stricts. Cantor
3
a le premier défini un « étalonnage » de l’infini,
appelant 0 le cardinal de N et de tous les ensembles qui peuvent être mis en bijection avec lui, nommés
ensembles dénombrables. Bien qu’à l’origine de ces cardinaux transfinis, Cantor fut lui même stupéfait par ses
propres découvertes ainsi qu’en témoigne sa correspondance avec Dedekind
4
dans laquelle il écrit : « …tant que
vous ne m’aurez pas approuvé, je ne puis que dire : Je le vois mais ne le crois pas. ». Il est très important de
faire part à nos élèves, souvent habitués à des réflexions routinières desquelles le doute est absent, des
étonnements et des interrogations de grands mathématiciens. Quelques activités allant dans ce sens peuvent être
proposées : Si n>1, les classes de congruence modulo n sont dénombrables.
L’ensemble des nombres premiers est dénombrable.
L’ensemble Z est dénombrable.
b) Les rationnels, le même infini :
Introduits dès la classe de sixième, ils sont appelés quotients. Ce mot de vocabulaire,
habituellement associé à la division Euclidienne (dividende, diviseur, quotient et reste) peut surprendre par sa
nature en général non entière. Une cohérence peut être cependant trouvée si on appelle quotient le nombre par
lequel il faut multiplier un entier b pour obtenir un entier a. Un tel quotient est donc un entier lorsque a est
multiple de b, c’est un nombre nouveau lorsque a n’est pas multiple de b. Ce nombre sera noté par convention
Error!
. Voici pour nos élèves et pour la première fois, l’occasion de découvrir d’autres nombres d’autant plus
1
Bernhard Riemann Hanovre 1826 Selasca 1866
2
Giuseppe Péano Cueno 1858, Turin 1932
3
Georg Cantor Saint Pétersbourg 1845, Halle 1918
4
Richard Dedekind Brunswick 1831, Brunswick 1916
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nouveaux qu’ils sont multiformes. On se persuade aisément sur un plan strié de droites parallèles que
Error!
=
Error!
=
Error!
=…Une infinité dénombrable d’écritures représentent en fait le même nombre qu’on peut
heureusement construire à la règle et au compas. La technique de construction, validée par le théorème de
Thalès
1
peut être donnée comme telle dans les petites classes et justifiée plus tard dès la classe de quatrième. Il
est légitime de conduire les élèves à se poser le problème réciproque : un nombre constructible est-il rationnel ou
commensurable avec l’unité ? Les Grecs avaient compris que la réponse était négative et la doctrine
Pythagoricienne
2
s’en est trouvée fortement ébranlée. La diagonale du carré unité ; constructible n’est pas
commensurable au côté.
Activités possibles autour de cette idée :
En troisième et en seconde : 2, 3, 5 ne sont pas des rationnels et sont constructibles.
En terminale S : Si n n’est pas un carré, n n’est pas rationnel.
Preuve : Supposons déjà qu’aucun carré ne figure dans la décomposition de n en facteurs premiers.
Si n =
Error!
où p et q sont deux entiers naturels premiers entre eux, l’égalité nq2=p2 entraîne que p2 est
multiple de n . Effectuons la division euclidienne de p par n. Il existe deux entiers b et r avec 0r<n tels que
p=nb+r. Dans ces conditions , p2=n(nb2+2rb)+r2 et r2 est multiple de n. Si k est un diviseur premier de n, il
divise r2 donc r. Il en est ainsi de tous les diviseurs premiers de n donc n divise r. r est donc nul. p est multiple de
n, q aussi, ce qui contredit l’hypothèse comme quoi p et q sont premiers entre eux. Le cas où il existe un ou
plusieurs facteurs carrés dans la décomposition de n en produit de facteurs premiers se déduit aisément de ce qui
précède.
c) Les réels, un autre infini.
Jusqu’alors, le processus de construction de Z à partir de N, puis celui de Q à partir de Z s’est
effectué de manière purement algébrique et tous ces ensembles sont dénombrables ce qui, dans le cas de Q n’est
pas sans éveiller quelques questions. Le passage de Q à R est d’une complexité beaucoup plus importante et met
en jeu de fines considérations d’analyse. (Voir par exemple Arnaudiez et Fraysse, Analyse Dunod) . La grande
nouveauté est que R n’est pas dénombrable. Il ne peut être mis en bijection avec N mais par contre peut l’être
avec p(N), l’ensemble des parties de N. Cette découverte poussa Cantor à noter son cardinal
0
χ
2
>0. La
question est de savoir si
0
χ
2
=1, en d’autre termes s’il existe ou non un ensemble dont le cardinal soit compris
entre celui de N et celui de R. Cette hypothèse est nommée hypothèse du continu. Cantor a conjecturé en 1878
que cette hypothèse est vraie, Hilbert
3
l’a placée en première position dans la liste des vingt trois problèmes qu’il
proposa au congrès de Paris en 1900, la réponse est venue en 1963 de Paul Cohen
4
: l’hypothèse du continu est
indécidable : Si la théorie des ensembles est non contradictoire, on peut lui ajouter comme axiome l’hypothèse
du continu ou sa négation. Voilà élargie la brèche ouverte dans la pensée d’Hilbert, par Gödel
5
en 1930
concernant l’incomplétude de l’arithmétique.( On pourra consulter l’excellent article de J P Delahaye dans le n°
278 de la revue Pour la science de décembre 2000).
2°) Approches algorithmiques :
La représentation des nombres par un alphabet approprié est au cœur de l’histoire depuis au moins cinq
millénaires. Le progrès décisif fut de trouver un système de représentation incluant le zéro qui soit opératoire, à
la différence par exemple de l’écriture Romaine ou de l’écriture Grecque. Nous devons le système actuel qui n’a
guère été vraiment utilisé en Europe qu’à partir du XV° siècle, à un travail de compilation du mathématicien
arabe Al Khwarizmi
6
(dont le nom a donné algorithme) qui sut avec talent dans un ouvrage du IX° siècle traduit
au XII° siècle, rendre compte des mathématiques grecques et indiennes et notamment du système de numération
appelé arabe mais issu de l’Inde.
Une base de numération b étant choisie, il est donc possible, par un nombre fini de divisions successives
de décomposer tout entier n sur les puissances de la base. Il en résulte une écriture de n constituée d’une suite
finie et ordonnée de symboles appelés chiffres et tous inférieurs à b. Le système décimal est évidemment le plus
répandu mais le système binaire et le système hexadécimal sont largement utilisés pour le codage informatique
des données. Une telle représentation des entiers dans une base de numération est exacte et offre des entiers une
image fidèle, si bien que l’habitude est prise d’identifier l’entier n à son écriture dans la base b. Il en va
autrement lorsque les nombres considérés ne sont plus des entiers.
a) Le cas des rationnels
1
Thalès de Milet : approximativement 625 av JC, 547 av JC.
2
Pythagore de Samos : approximativement 569 av JC, 500 av JC.
3
David Hilbert : Königsberg 1862, Göttingen 1943
4
Paul Cohen : Long Branch 1934
5
Kurt Gödel : Brno 1906, Princeton 1978
6
Mohammed Al Kkwarizmi : Khiva 788, Bagdad 850
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Les rationnels sont constructibles ce qui signifie que la géométrie permet d’en avoir une image fidèle
sur une droite graduée. La question de l’obtention d’une valeur approchée de ces nombres nouveaux nécessite le
choix d’une base de numération. Nous utiliserons systématiquement le système décimal mais il est intéressant
même avec de jeunes élèves de voir comment le choix de la base modifie la représentation d’une même nombre
rationnel. Par exemple le nombre noté
Error!
s’écrira 0,2 dans un système ternaire mais n’aura pas de
représentation finie en système décimal. L’existence d’une infinité de décimales, pour un rationnel est donc
attaché au choix de la base et n’est pas à imputer à la nature du nombre. Ce n’est pas le cas pour les irrationnels.
Les activités attachées à ce paragraphe sont nombreuses et de difficultés variées, elles ont comme thème le
développement décimal d’un rationnel.
Un nombre rationnel x est un nombre décimal s’il existe un entier naturel p tel que x10p soit un
entier naturel. Montrer que 1=0,999….et en déduire que les décimaux admettent deux
développement décimaux, l’un qui ne comporte que des « 0 » à partir d’un certain rang, l’autre
qui ne comporte que des « 9 » à partir du même rang.
Généraliser cette propriété à d’autres bases de numération.
Soit x =
Error!
un rationnel positif non décimal, prouver qu’il existe un entier naturel ak tel
que
k
k
k
ka
x
a
10
1
10
. ak est appelée valeur approchée par défaut de x à 10-k près. Comment
obtient-t-on ak+1 ? On pose un =
Error!
et vn =
Error!
. Montrer que ces suites sont adjacentes et
convergent vers x.
Montrer que lorsqu’un rationnel x =
Error!
n’est pas décimal, il admet un développement
décimal infini et périodique, la longueur de la période étant inférieure à q.
Montrer réciproquement, qu’un nombre admettant un développement décimal infini et
périodique est un rationnel.
Voici donc caractérisés les rationnels. Dans une base de numération b>1, les résultats sont les mêmes :
si x est un rationnel de l’intervalle [0 ;1], il existe une suite (xn) d’entiers positifs inférieurs à b tels que
1k
k
kbxx
. Ou bien à partir d’un certain rang n0 , xk=0 ou xk=b1, ou bien la suite (xn) est périodique.
b) Les irrationnels
Nous avons fait allusion précédemment à 2 que les élèves rencontrent comme nombre nouveau en
classe de troisième. Ce nombre n’est pas un rationnel et de ce fait admet nécessairement un développement
décimal infini mais jamais périodique. Il en est de même pour ou encore
32
. Cependant, ces nombres ne sont
pas de même nature, 2 est constructible mais pas
32
. 2 et
32
sont solutions d’équations algébriques à
coefficients entiers alors qu’il n’en est pas de même pour . Les irrationnels ne sont donc pas tous de la même
famille mais la quête de valeurs approchées est un problème qui les concerne tous et qui n’a pas de réponse
automatique comme dans le cas des rationnels. Les outils mis en œuvre sont ceux de l’analyse. La notion de
suites adjacentes est particulièrement précieuse et appartient désormais au nouveau programme de la filière S. La
recherche de valeurs approchées est très ancienne comme en témoigne la méthode dite de Babylone très
performante dans la recherche de valeurs approchées de a quand a est un entier non carré.
En voici le principe :
Supposons qu’on ait trouvé deux rationnels an et bn tels que an <a< bn alors on a encore an+1 <a<
bn+1 lorsque bn+1=
Error!
et an+1=
Error!
. Cet algorithme est un très bon sujet de devoir pour son intérêt
historique et ses performances. C’est également l’occasion d’utiliser un tableur.
On notera enfin que ce problème équivaut à résoudre l’équation f(x)=x lorsque f est définie par
x
a
xxf 2
1
)(
.
Remarque : la méthode de Babylone est aussi connue sous le nom de méthode de Héron
1
.
3°) A la frontière de l’algèbre et de l’analyse : Les fractions continues.
Ce thème est source de très nombreux problèmes qui peuvent être proposés aux élèves depuis la classe
de troisième jusqu’aux classes de terminales.
a) Un exemple :
1
Héron d’Alexandrie : 1er siècle après JC
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Choisissons x =
Error!
. X est un nombre rationnel dont le développement décimal est infini et
périodique de période : 473684210526315789 ! Si maintenant nous appliquons l’algorithme d’Euclide aux
nombres 245 et 38, nous obtenons les quotients successifs 6, 2, 4, 4 et un calcul simple montre que l’on obtient
l’écriture
4
1
4
1
2
1
6
x
. Cette expression notée [6,2,4,4] s’appelle développement de x en fractions
continues.
Notons au passage que ce développement est unique et fournit la fraction irréductible égale à x. Une
telle écriture est apparue pour la première fois dans les travaux de Guillaume Brouncker
1
. Wallis
2
fut ensuite l’un
des premiers à étudier et diffuser les fractions continues auxquelles les traités d’arithmétique du XIX° siècle
consacraient une part importante. L’intérêt des fractions continues résulte des caractérisations qu’elles donnent
des rationnels et de certains irrationnels, de leur faculté à fournir des approximations rationnelles optimisées des
réels irrationnels et de leur utilité pratique notamment dans le domaine de la mécanique.
b) Le principe général :
Notons comme d’habitude E la fonction partie entière définie de R+ dans N.
Reprenons x =
Error!
= 6 +
Error!
. 6= E
Error!
et
Error!
= xE(x). L’écriture évidente x=E(x) +
xE(x) conduit à
)(
1
)(
)(1
1
1
)( xf
xE
xE
xEx
(1) si f désigne la fonction définie lorsque xN
par
)(
1
)( xEx
xf
.
Une première itération du processus donnera
))(( 1
))((
1
)(
xff
xfE
xEx
(2).
On est donc amené à chercher une écriture de x sous la forme x=[y0, y1, …,yn, ,xn+1] où les suites (xn) et
(yn) sont définies par x0=x et pour tout entier naturel n>0, xn = f(xn –1) et yn= E(xn).
c) Question n°1 : Que se passe-t-il lorsque x est un rationnel positif.
Soit x =
Error!
un rationnel positif non entier. p et q sont deux entiers naturels non nuls et premiers
entre eux. Il est toujours possible de supposer p > q car dans le cas contraire, on applique la méthode à
Error!
puisque
p
q
q
p1
. Il est bon de noter que le seul terme éventuellement nul de la suite (yn) est y0 .
Dans ces conditions, il existe des entiers y0 et r0 tels que p = y0q + r0 avec 0<r0<q. On a donc
0
0
0
01
r
q
y
q
r
y
q
p
qui est bien la forme prévue en (1). On procède de même avec q/r0 pour obtenir
l’expression prévue en (2). Il existe donc des entiers y1 et r1 avec 0 r1< r2<q tels que
1
0
1
01
1
r
r
y
y
q
p
si r1 est
non nul et tels que
1
01
y
y
q
p
si r1 est nul. On définit bien par itérations successives une suite d’entiers
strictement positifs y1, y2,…,yk et une suite d’entiers strictement décroissante 0 rk< rk-1<…<r0<q. Il existe donc
un rang N tel que rN=0 et rN-10. Il vient enfin x=[ y0, y2,…,yN].
Le développement de x en fractions continues est fini. La réciproque est évidente. Voilà donc
caractérisés les rationnels comme admettant un développement en fractions continues, fini. Il est intéressant de
prouver que la donnée du développement correspond à la forme irréductible de la fraction qu’il représente. Ce
travail peut être conduit sur des exemples simples en 3° et généralisé en terminale.
d) Question n°2 : Le cas irrationnel : x est un irrationnel positif.
Avec les notations précédentes, posons x0=x et pour tout entier naturel n>0, xn = f(xn –1) et yn= E(xn).
Cette fois, le développement cherché sera infini. Pour tout entier naturel k, considérons le nombre rationnel ak
représenté par la fraction continue ak = [ y0, y2,…,yk]. Ces rationnels s’appellent les réduites d’ordre k de x. Il
serait intéressant que la suite (ak) converge vers x et que, de plus , cette convergence soit rapide.
Définissons donc les suites (Pn) et (Qn) d’entiers naturels par les relations de récurrences :
1
Guillaume Brouncker Castle Lyons 1620, Westminster 1684.
2
John Wallis Ashford 1616 Oxford 1703
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P0 = y0, P1 = y0y1+1 , Q0 = 1 , Q1 = y1 et pour tout entier naturel n>0,
Pn+1=Pnyn+1 + Pn –1 et Qn+1=Qnyn+1 + Qn –1
Les points égrenés ci dessous permettent d’obtenir le résultat souhaité :
1. Pour tout entier naturel k,
21
21
kkk
kkk
k
k
kQyQ
PyP
Q
P
a
;
2. Pour tout entier naturel k,
k
k
kk QQQ limet 2 11
;
3. Pour tout entier naturel k,
k
kkkk QPQP )1(
11
;
4. Pour tout entier naturel k,
21
21
kkk
kkk QxQ
PxP
x
;
5. Pour tout entier naturel k,
122
kk axa
;
6. Pour tout entier naturel k,
k
k
k
kQ
Q
P
x2
112
.
Quelques éléments de démonstrations :
1. est obtenu par récurrence en remarquant que l’on passe de ak à ak+1 en remplaçant dans ak, le
nombre yk par le nombre
1
1
k
ky
y
.
2. est obtenu en prouvant déjà que la suite(Qk) est croissante et que tous les yk sont strictement
positifs.
3. se démontre directement
4. est obtenu par récurrence à partir de la définition de la suite (xn).
5. Le sens de variation de la fonction
définie par
1
1
)(
kk
kk QtQ
PtP
t
est donné par le signe de
l’expression obtenue en 3., en remarquant que yk = E(xk) < xk .
6. Permet de conclure et d’obtenir un majorant de l’erreur commise en identifiant x et ak..
Dans le cadre de l’intégration des TICE dans l’enseignement des mathématiques, la définition des
réduites d’ordre k est une excellente occasion de manipuler le tableur ou un logiciel de calcul formel.
e) Question 3 : Quel sens donner à un développement périodique ?
On démontre que les développements périodiques sont caractéristiques des nombres irrationnels
algébriques d’ordre deux c’est à dire solutions d’une équation du second degré à coefficients rationnels. Pour
davantage de détails on pourra consulter le site http://lumimath.univ-mrs.fr. A titre d’illustration, donnons
quelques exemples simples qui sont autant d’exercices pouvant être proposés à des niveaux variés.
Le nombre d’or
2
51
est solution de l’équation t2-t-1=0. Il vérifie en outre la
relation :
1
1
1
1
, ce qui donne le développement superbe de simplicité : [1,1,1,…].
2 est solution de l’équation t2-2=0 et vérifie la relation :
)12(2
1
21
1
12
ce qui
donne le développement 2 = [1,2,2,2…].
Prouver que 3=[1,1,2,1,2,…] et que 5=[2,4,4,4…].
De bonnes valeurs approchées de permettent d’avoir le début de son développement en fractions
continues qui ne sera pas périodique, quadrature du cercle oblige. D’ailleurs comme à propos de beaucoup de
points concernant , l’obtention des réduites est un problème ouvert. Cependant, les premières réduites sont,
outre 3, les fractions bien connues :
Error!
utilisée par Archimède
1
,
Error!
,
Error!
découverte par Métius
2
,
Error!
etc…
4°) L’infini en géométrie.
a) Partage d’un segment, barycentres, divisions harmoniques.
En classe de troisième, les élèves apprennent à partager un segment [AB] de longueur donnée dans un
rapport simple
Error!
rationnel positif différent de 1. Le théorème de Thalès permet de construire deux points C
1
Archimède Syracuse 287 av JC, Syracuse 212 av JC .
2
Adrien Métius 1571, 1635 .
6
1
/
6
100%
