IPSA Ing 1

IPSA Ing 1
Année 2003-2004
Traitement du signal
Cour de M Ramond
Chapitre 1
Introduction
Traiter un signal
• c'est extraire de l'information de mesures effectuées par des capteurs en vue d'atteindre
un but donné:
• de la compréhension du monde physique (les physiciens, les météorologues, les
géologues, les chimistes ou les biologistes, etc...)
• à l'action sur ce monde (en robotique, dans les applications militaires, etc...)
• en passant par la reconstruction d'un message transmis au moyen d'un médium
physique, comme une onde, utilisé pour le transporter (c'est le cas des sons, des
signaux de télécommunications, des signaux sonar ou radar).
Dès qu'on utilise un capteur pour mesurer une quantité, on est amené à effectuer un
traitement.
Domaines d'application
• l'émission et la réception des signaux de communication sur câbles électriques, sur
fibres optiques ou par ondes hertziennes,
• l'analyse, la synthèse et la compréhension du signal vocal ou des signaux musicaux,
• l'analyse des signaux biomédicaux (électrocardiogramme, électroencéphalogramme,
...),
• des signaux sonar en acoustique sous-marine.
Autre domaine important
• Celui des signaux radar où le signal émis est déformé par une cible ou un obstacle
avant d'être mesuré par le capteur.
• C'est la déformation du signal par l'obstacle qui donnera une information utile sur cet
obstacle.
Deux théories sont fondamentales pour la formulation des problèmes de traitement du
signal.
• La première est liée aux hypothèses faites sur la propagation des signaux, et plus
généralement des ondes dans un milieu:
• c'est la théorie des systèmes linéaires, plus particulièrement, celui des systèmes
linéaires invariants dans le temps.
• Cet outil permet de prévoir la réponse d'un système à l'entrée ou à la commande qui lui
est appliquée.
Processus stochastiques
• La seconde, liée au caractère aléatoire des phénomènes étudiés est la théorie des
probabilités.
• Elle permet de représenter correctement et d'extraire au mieux les informations
fournies par un phénomène aléatoire.
Introduction
Définition
• Un signal est la représentation d’une grandeur physique
• Elle dépend d’un ou plusieurs paramètres
• Il est en général caractérisé par l’évolution temporelle de la grandeur physique
• On parlera principalement de signal électrique (technologie électronique)
Signal aléatoire
• Un signal est aléatoire si on est incapable de le décrire par des lois simples
• Un signal aléatoire de type permanent peut être décrit par des lois de probabilité
Signal déterministe
• L’évolution en fonction du temps peut être modélisée par une fonction mathématique
dite certaine
• Un tel signal est parfaitement déterminé à chaque instant par cette fonction
Signal analogique
• Une grandeur physique traduite par un capteur dépend d’un ou plusieurs paramètres
dont le temps
• Signaux à temps continu: définis pour toute valeur de la variable temps
• Modèles mathématiques ne reproduisent pas la réalité mais se prêtent à l’étude
• Porteur d’information noté s(t) et d’énergie, sa puissance est s2(t)
Signal à temps discret
• La variable de la fonction ne peut prendre que des valeurs entières k
• Pour la variable temps, k représente un multiple d’une durée T qui permet
l’échantillonnage et la quantification des signaux analogiques
Signaux définis par une somme
• Le signal initial en produit d’autres sous forme d’intégrales
• Les systèmes physiques sont des intégrateurs ou sommateurs
t
F (t )   f ( x)dx
t0
•
Dans le cas d’interaction de signaux
t
F (t )   f ( x)
t0
g ( x)
dx
Approche d’une intégrale par une somme
t
F (t )   f ( x)dx
t0
•
•
•
•
L’intervalle d’intégration est partagé en k intervalles de durée identique Δ.
f(x) est approchée par un polynôme P sur un intervalle donné, on ajoute les résultats
des intervalles successifs.
Méthode des rectangles: P est de degré 0, l’erreur cumulée commise est de l’ordre de
Δ.
Méthode des trapèzes: P est de degré 1, l’erreur cumulée commise est de l’ordre de Δ2.
Signaux définis par une différence
• De nombreuses lois physiques apparaissent sous forme différentielle
s (t  h)  s (t )
s(t )  lim
h 0
h
• Approche par différence (polynôme P degré 1) l’erreur commise est de l’ordre de D
s(k) 
s(( k  1))  s (k)

Signaux tests
• Fonction porte ou fenêtre:
1
pour
t T
0
pour
t T
 (t )  
Fonction échelon unité ou de Heaviside

u (t )  
0
u (0  )  1
u (0  )  0
1
pour
pour
t 0
t 0
causalité
Fonction impulsion de Dirac
Recherche de
limite
0
lim  (t )  
 0


  (t )dt  1

t0
t 0
pour
pour
Représentation de cette limite

  (t )dt  1

 (t )  lim
 0
0

 (t )  
pour
pour
t0
t 0
Théorie des distributions

  (t  t
0
)dt  1

0

 (t  t0 )  
pour
t  t0
pour
t  t0
Fonction périodique
• La loi d’évolution doit vérifier:
•
La fréquence de récurrence:
•
Valeur moyenne:
•
f 
1
f (t ) 
T
Valeur efficace:
f eff2 
1
T
f (t )  f (t  T )
t
1 

T 2
t 0 T
 f (t )dt
t0
t0 T
f
2
(t )dt
t0
Remarque
• dans la plupart des ouvrages anglo-saxons, il n’ y a pas de différence entre
« pulsation » et fréquence, qui représentent des données identiques avec des unités
différentes: les radians par seconde dans le premier cas ou le nombre de périodes ou de
tours par seconde dans le second cas.
Représentation
• On utilise la représentation complexe plus facile à manipuler que la représentation en
sinus et cosinus.
• Ceci fait intervenir la notion de fréquences négatives qu'on peut interpréter de la
manière suivante.
• La fréquence est associée à la vitesse de rotation d'un point se déplaçant uniformément
sur le cercle de rayon unité.
• Une rotation dans le sens positif correspond à une fréquence positive, une rotation
dans le sens négatif correspond à une fréquence négative.
• Un mouvement sinusoïdal réel sera la combinaison de deux mouvements en sens
inverse.
Notations
• On pose : s(t )  A sin(  t   )

s(t )
•
En maths : cartésien :
x  a  ib
•
En physique :
x  a  jb
•
En polaire :
x  a  jb   cos   j sin 

A
e j
e jt

b
a
s(t )  S e jt
e j
On utilisera en linéaire : S  
Transformation cissoïdale
• Notée C(w) est une application de Tw ensemble des fonctions sinusoïdales dans C
ensemble des nombres complexes
•
j
s(t )  A sin(  t   )
•

S
 A
e

   
Traitement des problèmes non dans le domaine temporel mais dans espace image
Application: mise en équation
• Mécanique (avec et sans frottements) :
•
Électricité :

  a2  b2
tg 
•



Résolution sans frottement:
jt
• Équation fondamentale mécanique : F (t )  F0 sin t  m x(t )  k x(t )  F0 e
F (t )  F0 sin t  m x(t )  k x(t )  F0 e jt
•
x(t )  Xe
Application de C(w) :
F0 
X 
jt
( j)2 X  k X
m
m
F0
( j ) 2  k

F0
k  m
2
Solutions
• 2 cas :
F0
k  m 2
 F0
X 
k  m 2
k  m 2
X 
k  m 2
•
 ArgX  0
X
ArgX  
temporel :
e jX
x(t )  X
x(t )  X sin  t
Existence de frottement
• Équation:
F0 
X
X 
X

m
F0
k  m  jf
2
F0
(k  m )  ( f )


 X
F0
k  m 2

x(t )  F (t )  k
sin  t
x(t )  f x (t )
( j)2 X  j f X  k X
m
2 2
e jt
2

X
e jX
tg ( ArgX )  tg ( )  
x(t )  X
f
k  m 2
sin ( t   )
SLTI
Système linéaire à temps invariant
Simplification
• Dans de nombreuses applications fondées sur la propagation des ondes, en acoustique
ou en électromagnétisme, on simplifie considérablement les problèmes étudiés en
faisant des hypothèses sur la manière dont un système déforme un signal.
• Deux des hypothèses les plus importantes sont la linéarité et l'invariance dans le
temps.
• Elles semblent, du moins à notre échelle, bien représenter le comportement de
nombreux systèmes physiques.
Propriétés
• Lorsqu'un système est linéaire et invariant dans le temps (SLTI), on a les propriétés
suivantes: si l'entrée x(t) produit une sortie y(t), quand on applique une entrée k x(t) ,
la sortie sera k y(t) .
• Si deux entrées x1(t) et x2(t) engendrent deux sorties y1(t) et y2(t), alors x1(t)+ x2(t)
engendrera y1(t) + y2(t) (linéarité).
Propriétés
• S'il y a invariance dans le temps, une translation de l'entrée x(t) en x(t-t) se traduira par
une même translation dans le temps de la sortie y(t) en y(t-t) .
• La multiplication d'un signal par une fonction du temps est une opération linéaire,
mais n'est pas une opération invariante dans le temps.
Réponse impulsionnelle
• Si les hypothèses de linéarité et d'invariance temporelle sont vérifiées, on peut
caractériser le système par sa réponse impulsionnelle soit h(t) .
• C'est le signal qu'on obtient en sortie si on applique en entrée une impulsion « de
Dirac » d(t)
Une propriété importante des Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps
• Si on applique à un SLTI une entrée sinusoïdale réelle ou complexe de fréquence ω
x(t ) 
x0 exp( jt )
•
soit
•
la sortie sera une sinusoïde dont l'amplitude et la phase pourront être modifiées mais
qui conservera la même forme (une sinusoïde) et la même fréquence :
y (t )  y0 exp j (t   )
Série de Fourier
Rôle
•
•
•
•
•
Électronique
Systèmes dynamiques
Notion fondamentale de spectre
Représentation d’un signal non plus dans le domaine temporel mais fréquentiel
Équivalence essentielle entre ces 2 domaines:
– Temporel
– Fréquentiel
Décomposition
• Un signal x(t) périodique de période T peut se décomposer sous la forme d'une
somme de signaux sinusoïdaux, les harmoniques dont la fréquence est un multiple de
la fréquence fondamentale
Signal périodique
• De fréquence f
• De forme quelconque
• Obtention par somme de:
– Sinusoïde de fréquence f (fondamental)
– Sinusoïdes de fréquence multiple de f (harmoniques)
• Ces sinusoïdes ont des:
– Amplitudes
– Phases
Appropriées
• Tout signal récurrent peut être décomposé en une somme de sinusoïdes (fondamental
et harmoniques)
Développement d’une fonction périodique
• Forme d’une série de fonctions trigonométriques:

•

f (t )  a0   an cos( nt )  bn sin( nt )
avec:
– Composante continue:
–
n 1
1
a0 
T
t 0 T
nième harmonique
an 
2
T
2
bn 
T
 f (t )dt
t0
t 0 T
 f (t ) cos(nt )dt
t0
t 0 T
 f (t ) sin( nt )dt
t0

Représentation complexe
• Formule d’Euler donne:
f (t )  a0 
Cn 
1
T
f (t ) 

1 
(an  jbn )e jnt  (an  jbn )e  jnt

2 n 1
t 0 T
 f (t )e
t0

e jnt  e  jnt
n  
n 0
2
 Cn e jnt   an
f (t )


a0
Sn
•
bn
an

f (t )
On écrit:
1
dt  C*n  (an  jbn )
2
n  
Représentation spectrale
• On pose:
tg n 
•
 jnt

a0




an2

e jnt  e  jnt
n 1
2j
  bn

n 1
n 1


an
cos(nt )  tg
cos( nt
Sn


n
sin( nt )

n )
bn2
Un signal périodique (ω=2пF=2п/T) peut être considéré comme résultant de l’addition
d’une composante continue (valeur moyenne) et d’une infinité de signaux sinusoïdaux
(ω, 2ω, …)