Licence GMI cours de Méthodes Numériques ( Michel Betton

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cours de Méthodes Numériques ( Michel Betton )
Méthodes Numériques :
Applications concrètes ( sur machine ) de résultats d’analyse numérique.
1/ Soit résolution de manière analytique ( solution analytique ) : solution sous forme de formule
Exemple : Equation du second degré
ax2 + bx + c = 0
x
b  
 0
2a
2/ Soit solution numérique
Exemple :
e x  x
x?
y=x
y  e x
C’est une approximation du résultat exact. En général, en créant une suite qui converge
vers la solution ( limite ) .
Exemple :

1
0
e x dx  ?
2
Calcul numérique
3/ Solution analytique connue mais calculs trop longs
Problèmes de résolution de systèmes d’équations linéaires
Problèmes de résolution d’équations différentielles
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Problèmes posés par le « passage » sur machine :
1/ Notation d’infini, de continuité
-
Erreur d’affectation (la machine travaille avec un nombre fini de chiffres significatifs)
Erreur de cancellation ( différence de valeurs très grande ou très petites )
Exemple : y 
xax
avec a donné
a
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RESULTATS D’ANALYSE A CONNAITRE :
Fonction d’une variable réelle
- Domaine de définition
- Etude de fonction
- Calculer une dérivée
- calculer une primitive
- Limite
- Continuité
Dérivée :
Définition :
Limite, si elle existe,
f ( x  h)  f ( x )
h
quand h  0
( Pas d’hypothèse sur le signe de h )
(D)
p
f(x+h)
y
accroissement algébrique
de la fonction
y

M
f(x)
x
accroissement algébrique
de la variable
x
x
Limite
y
x
avec
x+h
x  0
x  0
y
: pente de la droite ( D ) en M : tangente 
x
= f '( x) ( valeur de la pente de la tangente en M )
f '( x) 
y
  (x)
x
avec
 (x) fonction qui tend vers 0 quand x  0
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f '( x) 
y
  (x)
x
Application : si x « petit » voisin de 0 => on peut approcher f '( x) par
y
x
Exemple : Calcul numérique de la dérivée de sin x sur [ 1 2 ]
Choix de h = x : pas du calcul
Données ( dont on a besoin )
fonction f(x)
x départ
a=
x arrivée
b=
pas du calcul h=
Période d’écriture
T=
écrire « x
dérivée »
x= a
C= T
*
Calcul de deriv y =
exacte »
f ( a  h)  f ( a )
h
Si C = T
écrire x
,
deriv y ,
cos x
C=0
On ajoute h à x
On ajoute 1 à C
Si x  b on revient à
*
sinon fin
On sait que f '( x) = cos x
donc on peut comparer les résultats numériques et analytique
( En rouge dans le pseudo-algorithme )
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y
  (x)
x
f ( x  x)  f ( x)
f '( x) 
  (x)
x
f ( x  x)  f ( x)  xf '( x)  x (x)
f '( x) 
Approximation f ( x  x)
f ( x)  xf '( x) : calcul des petites variations
Intérêt de cette formule : dans les applications pratiques
Exemple : T  2
L
g
g=9.81 m/s2
L=1m
En faisant varier L légèrement
Différentielle :
f '( x) 
Définition :
dy
dx
dy : différentielle de y
dx : différentielle de x
R
(T)
P
f(x+h)
accroissement algébrique
de la fonction
y
y

M
dy
f(x)
dx
x
accroissement algébrique
de la variable
x
x
x+h
Analysons le cas où x  dx
f '( x) 
=>
y
  (x)
x
avec
x  dx ( condition supplémentaire )
dy y

  ( x )
dx x
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dy  y   (x)dx
y  dy   (x)dx
On divise tout par dy
y
dx
 1   x 
dy
dy
 x 
 1
si f '( x)  0
f '( x)
=>
y
 1 lorsque x  0
dy
Calcul d’un différentielle :
Soit
g  f ( x)
dy  f '( x )dx
z  g (t )
dz  g '(t )dt
Application :
y  f ( x)
et x  g (t )
Calcul de y'(t)
dy dy dx
y '(t ) 
   y '( x)  x '(t )
dt dx dt
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Autre application :
Calcul d’une grandeur G à partir de sa différentielle dg
Exemple :
Volume d’un cône
On sait que le volume d’un cylindre est la surface de base  la hauteur
  
z
v

V(z)
z
0
R
 (    ) 2 z  V   2 z
V
  2
Z
On fait tendre z  0
V
dv
 V '( z ) 
Z
dz
dv
 2    2
dz
dv
  ( z ) 2
dz
 (    ) 2 
   ( z)
V  V ( z)
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Fonctions réciproques :
Soit f(x) définie, continue sur [ a b ]
Si f(x) est strictement croissante ( décroissante ) sur [a b]
alors elle admet une fonction réciproque g telle que x = g(y)
Exemple :
Soit y = f(x) = tan(x)
Soit g la fonction réciproque de la fonction f
y= g(x)  x = f(y) = tan ( y )
D ]    [
x = tan y (x)
On dérive les deux termes de l’égalité par rapport à x
 1  (1  tan 2 y) y '
1
1

2
1  tan y 1  x 2
y  Arctan(x)
y' 
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Exemple : fonction y = x2
x

carré
 y  x2 

On suppose que l’on ne connaît pas la fonction racine carrée
fonction réciproque
 z‘=
z  u ( x)  x  z 2 en dérivant par rapport à x => 1=2zz’ ( car z est une fonction )
1
1

2z 2 x
U(x)= x
Notation
Primitive :
Définition :
F(x) primitive de f(x) si dF ( x)
 f ( x)
dx
dF ( x)
 F '( x)
dx
Conséquence : les primitives sont définies à une constante prés
Exemple : Soit f(x) = x n n = constante
=> F(x)=
x n 1
 constante
n 1
pour n ≠ -1
résultat faux si n dépend de la variable
cas où n = -1 f(x)= x 1 
1
x
On appelle Ln(x) la primitive de
1
qui s’annule pour x = 1 et qui n’est définie que pour x > 0
x
Graphe correspondant :
y
ln(x)
1
ln(e)=1
1
e
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x
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ln(ab)  ln(a)  ln(b)
a
ln    ln(a)  ln(b)
b
ln(a b )  n ln(a)
Fonction réciproque de ln(x)

z= u(x)
x=ln(z)
Domaine de définition :
e x
Domaine d’arrivée : ]0 +  [
ex
x = ln( z )
x ln( e ) = 1 ln( z )
ln(e x )  ln( z )
z  ex
z '  ex
Formule des accroissements finis :
Soit une fonction f(x) continue sur [a b ]
On suppose que la dérivée f ‘(x) existe sur ] a b [
Alors il existe C ]a b[ tel que f(b)-f(a) = (b-a) f ‘(x )
Posons b-a = h
soit b = a+h
f(b)=f(a)+hf ‘(C)
f '( x) 
C  ]a b [
f ( x  h)  f ( x )
  ( h)
h
 ( h ) 0
h 0
Rappel de la dérivée
Soit pour x = a
f (a  h)  f (a)  hf '(a )  h (h)
f (b)
f '(a )   (h)  f '(c)
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Formule de TAYLOR :
Soit f(x) ainsi que ses n premières dérivées continues sur [a b]
la dérivée d’ordre n+1  f ( n 1) ( x)  existe sur ]a b[
en posant b = a +h
h2
hn ( n )
h( n1) ( n1)
f (b)  f (a)  hf '(a) 
f ''(a)  ... 
f (a) 
f
(c) c ]a b[
2!
n!
(n  1)!
Exemple :
f ( x )  (1  x) 2
f '( x )  2(1  x)
f ''( x )  2
f '''( x )  0
...
Cas particulier : Formule de Mac Laurin
Cas où [0 x]  [a b ] du cas précédent
 f ( x)  f (0)  xf '(0) 
x2
xn (n)
x n1
f ''(0)  ... 
f (0) 
f ( n1) (c) c ]0 x[
2!
n!
(n  1)!
Application :
Cas où x voisin de 0 « petit »
le dernier terme
x n 1
xf ( n 1) (c)
f ( n 1) (c)  x n 
  ( x)
(n  1)!
(n  1)!
0
x 0
 pour x voisin de 0
f ( x)  f (0)  xf '(0) 
x2
xn (n)
f ''(0)  ... 
f (0)  x n ( x)
2!
n!
Développement limite d’ordre n de la fonction au voisinage de 0
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Exemple :
Développement limité d’ordre 4 de ex
ex  1  x 
x 2 x3 x 4
   x 4 ( x)
2! 3! 4!
Approximation :si x est voisin de 0 ( en négligeant le dernier terme )
ex
1 x 
x 2 x3 x 4
 
2! 3! 4!
Application numérique : x=0,1
e0,1=(machine) 1,1051709…
Calcul du développement limité
e0,1  1  0,1 
(0,1)2 (0,1)3 (0,1) 4


 1,1051708
2!
3!
4!
Exemple :
m  m  1 x 2
m  m  1 ...  m  n  1 x n
 ... 
 x n ( x )
1  x   1  mx 
2!
n!
m quelconque ( constant )
m
Attention si m entier > 0 , le développement limité devient nul à partir d’un certain rang
m=-1
1  x 
1

1
 1  x  x 2  x3  ...  (1) n x n  x n ( x)
1 x
Si on change x en –x
1
 1  x  x 2  ...  x n  x n ( x)
1 x
Développement limité de f(x) connu
Développement limité de f’(x)= dérivée du développement limité de f(x)
Développement limité de F(x) = primitive du développement limité de f(x)
Exemple :
x 2 x3 x 4
xn
   ...   x n ( x)
2! 3! 4!
n!
2
x
x n 1
dérivée de e x  0  1  x   ... 
 x n 11 ( x)
2!
 n  1!
ex  1  x 
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Application
ln(1+x) primitive de
ln(1  x)  x 
1
1 x
x 2 x3 x 4
xn
   ...  (1) n 1  x n ( x)
2 3 4
n
Attention à la constante
Développements limités généralisés :
Cas où x  
1
On pose X  et on calcule le développement limité de f(X) ( au voisinage de 0 pour X )
x
Exemple : soit la fonction y  x 2  3x  1
Cas où x  
 3 1 
y  x 2 1   2 
 x x 
y  x 1
3 1

 x 1 X
X 0
x x2
x 
1
1  X  1  X  2  1 
X X2

 X 2 ( X )
2
8
2


3
1 1 3 1 
y  x 1 
 2    2   X 2 ( x ) 
 2x 2x 8  x x 



y
y
9 6 1
 
x 2 x3 x 4
3
9 
 1
x   x 2  2 
2
 2 x 8x 
3 13
x 
2 8x
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Suites et Séries
I) Suites
Soit une suite de terme général Un
Un à limite finie L quand n  
Si    0  N  /  n  N 
L Un  
Conséquence :
Si U n  L  U n1  L
 U n1  U n    0
Possibilité de test d’arrêt : on calcule tous les Un jusqu’à ce que U n1  U n  
fixé par l’utilisateur
Le résultat approché de L sera prix comme U n 1
Ecriture d’un algorithme suivi d’un programme appliqué à des suites convergentes
Rappel : Suite de Cauchy
Un
  0
N / p, q  N  U p  U q  
Dans
les suites convergentes sont de Cauchy
II ) Séries :
On appelle série de terme général : Un la suite Sn = U1  U 2  ...  U n
Exemple : n de départ Un 
1
n 1
2
U0  1
U1 
1
2
1
n(n  1)(n  2)
1
U3 
3  2 1
Un 
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Condition nécessaire ( mais pas suffisante ) de convergence :
Un doit tendre vers 0
Exemple : Un =
1
1
converge, mais Un= divergence
2
n
n
Autre exemple : de série divergente Un = (-1)n
a) Série à termes > 0
Critère de convergence
U n 1
 K 1
Un
n
Un  K  1
Comparaison avec Vn =
A
A>0
n

Comparaison avec l’intégrale
 f ( x)dx
a
avec Un = f(n)
Calcul numérique de la valeur approchée de la somme d’un série :
S  U1  U 2  ...  U p  U p 1  ...
Sp
Rp
On calcule Sp de manière que Rp soit inférieure à  donnée
d’où recherche d’une majoration du reste
Critère U n 1
 K 1
Un
R p  U p 1  U p  2  ...
On a
U p 1
Up
 K  U p 1  KU p
De même U p  2
U p 1
 K  U p  2  KU p 1  KU p
etc...
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R p  U p  K  K 2  K 3  ...
R p  KU p 1  K  K 2  ....
1
1 K
Rp 
K
Up
1 K
Valeur de K ?
Posons
U n 1
 K ( n )  limite < 1
Un
-
Si K(n)  limite en croissant
alors K = Max des K(n) = limite
Si K(n)  limite en décroissant
U p 1
 K( p)
alors K = Max des K(n) donc
Up
Exemple :
Un 
1
n!
U n 1
1
1

 n! 
 limite = 0 ( en décroissant )
Un
(n  1)!
n 1
 Rp 
Kp
1 K p
1
Up 
1 1 1
p 1
  
p! p p!
1 1
p 1
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Algorithme :
U n 1
 limite < 1 en décroissant
Un
donnée : précision du résultat : 
n = 0 ( on suppose que … )
U0 = … ( dépend de la série )
S= U0
initialisation :
FAIRE
Calcul
écrire valeur de n , U0, S
incrémentation de n
Calcul de U1
// Calcul de MR ( Majoration du Reste )
Kn 
U1
U0
Si Kn < 1
alors
Mr 
1
n!
n=0 U0 = 1 S=1
n=1 U1=1 => K=1
Problème lors du calcul de Mr
( division par zéro )
Cas { Un } =
Kn
U0
1  Kn
sinon
M r  2 ( par exemple )
On ajoute
U1 à S
On pose U0 = U1
JUSQU'A
Mr  
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1
p =5
Cas : U n 
n!
Sp = 2.71667…
Rp =
1 1
  0.0017
5 5!
or
e= 2.71828
| e – Sp | = 0.0016
Autre exemple :
Un 
1
n 2n
U n 1
n 2n
n
1
1


  ( en croissant )
n 1
Un
n 1 2
2
 n  1 2
 Rp 
K
1
1
U p avec K=  Rp  U p 
1 K
2
p2 p
Critère :
n
Un  K  1
R p  U p 1  U p  2  ...
 Un  K n
 R p  K p 1  K p  2  ...  K p 1 (1  K  K 2  ...) 
K p 1
1 K
Avec ici encore : plus grand des Kn « rencontrés »
Comparaison avec la série : Kn =
A
n
On sait que Vn est convergente si   1
On sait que Vn est divergente si   1
Résultat si Un
() Vn alors Un converge si Vn converge
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Majoration du reste :
Rp = U p 1  U p  2  ...
A
n
Up
Up+1
Up+2
0
n
p
p+1
p+2
Rp 

 Rp  
p

A
dx  A x  dx (  : constante )
x
p


 x  1 


1
 A
 A
( >1)

 1 
 (  1) x  p
   1  p
Rp  A
1
(  1) p 1
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Comparaison avec une intégrale :

Soit Un = f(n) l’intégrale
 f ( x)dx
et la série sont de même nature ( c.a.d si l’intégrale converge
a
alors la série converge et si l’intégrale diverge alors la série diverge )
Up
Up+1
Up+2
p
p+1
p+2

Rp   f ( x)dx
p
Exemple :
1
1  n2
1
1) U n  2 qui est convergente
n
Un 

2) Comparaison avec une intégrale
dx
 1+x
2
a
“a” car il se peut que la fonction ne sont pas définit en 0 ou en 1 ...
Comparaison avec :

dx
 1  x   Arc tan x 

2
0
0


2
0 

2
 intégral convergente

dx


  Arc tan x  p   Arc tan p
2
1 x
2
p
Rp  
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Combien faut-il de terme pour avoir une certaine précision ?
Calcul : Nombre de terme pour que Rp
   103
équation : 10-3 

2
 arctan p
p?
Arc tan p 

2
 0, 001 ( Attention calcul en radians sur la batteuse )


p  tan   0, 001
2

p  999.999
p  1000
Cas des séries alternées :
Un alternée converge si |Un|  0 en décroissant
Majoration du reste ( illustration )
S = U0 – U1 + U2 – U3
avec Ui > 0  i
U1
U3
0
S1
U2
S3
S2
U0
 S2  S  U 3
Rp  U p 1  U p  2 ...  U p 1 ( 1er terme négligé )
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Résolution numériques des équations f(x) = 0 :
Exemple :
x-e-x = 0
x=?
Il n’existe pas de solution analytique à cette équation
Préliminaires :
On isole la ( ou les ) racine(s) de l’équation dans des intervalle de longueur d’un ou deux unités
Résultat :
Si sur [ a b ] f(a).f(b) < 0
et si f ‘(x) garde un signe constant sur [ a b ]
alors il existe une valeur unique  de x  ] a b [ telle que f(  ) = 0 (  racine de l’équation )
Conséquence :
On étudie les variations de y = f(x) pour déterminer les intervalles
Exemple :
f ( x)  x  e  x
D
f ‘( x ) = 1 + e-x > 0
-
y’
0
+
y
 ?
+
-1
+
1
+
+
0.63
Soit  la valeur exacte de la racine
Soit  * une valeur approchée
D’après le théorème des accroissements finis
f(  * ) – f(  ) = (  * -  ) f ’(c )
* 
f '(c)
c ]  *[
 f ( * )
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Si dans ] a b [
| f ‘(x) | > M > 0
alors  *    M f ( * )
Exemple précédent :
1
2
f '( x)  1  e  x
* 
f ''( x)  e  x  0  f ' est croissante
f '( x)  2
  0.5  2 f (0.5)  0.213
Méthode de dichotomie :
a
b
 ?
m
Soit m , le milieu de [a b ] : m 
ab
2
On calcul f(a) * f(m)
Si f(a) * f(m) < 0
on pose b = m
Si f(a) * f(m) > 0
on pose a = m
jusqu’à f (m)   donné
ou ( meilleur )
|a–b|< 
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Méthode de la sécante :
B
y
a

b
x1
x
A
m intersection de l’axe des x et de la droite AB
Equation de la sécante AB
y  f (a ) f (b)  f (a )

xa
ba
Valeur de x1 telle que y = 0
 f (a) f (b)  f (a )

x1  a
ba
 f (a)(b  a)
x1  a 
f (b)  f (a )
af (b)  af (a)  bf (a)  af (a)
 x1 
f (b)  f (a)
x1 
af (b)  bf (a)
f (b)  f (a)
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Données
intervalle
arrêt
f(x) = ?
a, b =
 =
écrire commentaire
initialisation
n
,
racine
n = 1 x1 = a ( ou b )
Faire
écrire valeur
x2 
n
,
x1
=
x1
af (b)  bf (a)
f (b)  f (a)
d  x 2  x1
Si f(a).f(x2) < 0 b = x2
sinon a = x2
n  n +1
x1 = x2
jusqu’à d < 
écrire racine approchée
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Méthode de Newton ( tangente ) :
B
T
a
b
x1

 f (a)
ba
on « partira » de ce
f '(a) 
A
Point de départ :
y  f (a )
 f '(a)
xa
 f (a)
 f '(a)
x1  a
f (a)
 x1  a 
f '(a)
Condition :
tangente en A ( ou en B )
y 0
f ’(x) et f ‘‘ ( x) garde un signe constant
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Données
Intervalle
Arrêt
f(x) = ?
f ‘(x) = ?
a, b =
=
écrire commentaire
n
,
racine
alors
x1 = b
n
,
initialisation n = 1
Point de départ
x1= a
Si f '(a )  
f (a)
ba
Faire
écrire valeur
x 2  x1 
x1
f ( x1)
f '( x1)
d  x 2  x1
n  n +1
x1 = x2
Jusqu’à d < 
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pour éviter le calcul de la dérivée f ‘(x) qui peut être compliqué, on remplacera
( approximation )
f '( x) par
f ( x  h)  f ( x )
h
Données
Intervalle
Arrêt
Derf (u, v) 
f(x) = ?
a, b =
=
f (v)  f (u )
vu
écrire commentaire
n
,
racine
initialisation n = 1
Point de départ
x2 = x1 + 0.001 ( ou 
x1= a
Si Derf ( x1, x 2)  
f (a)
ba
alors
x1 = b
,
x1
x2 = x1+0.001
Faire
écrire valeur
x3  x 2 
n
,
x2
f ( x 2)
Derf ( x1, x 2)
d  x3  x 2  
n  n +1
x1 = x2
x2=x3
Jusqu’à d < 
Un peu de Latin :
Avantages :
« Regula falsi »

fausse position
pas à calculer la dérivée de manière analytique
les écarts se resserrent à la fin des calculs lorsque l’on se rapproche de la racine
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Méthodes des itérations successives :
f(x)=0
racine   ?
Transformation de l’équation en x =  ( x )
On peut avoir x =  ( x ) = x +  ( x )
mais ce n’est pas la seule
Exemple :
ex  x4  0
x   ( x)  x  e x  x 4
ou
x  4 ln x
x
x
ex
x3
ex
x2
On choisit ( arbitrairement ) x0  ]a b[
et on calcule les termes de la suite
x1   ( x0 )
x2   ( x1 )
...
xn   ( xn 1 )
Condition pour que la
suite converge vers la
racine 
xn  xn 1   ( xn 1 )   ( xn  2 )  xn 1  xn  2   '(c)
c ]xn 1 xn  2 [] a b[
supposons que sur ]a b [
 '( x)  K  1
 xn  xn 1  xn 1  xn  2 .K
or on peut écrire de la même façon
 xn  xn1  x1  x0 .K n
xn1  xn2  xn2  xn3 .K
K n  0 car K  1
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 xn  xn1  0  Suite à une limite
xn   ( xn1 ) à la limite  = ( )
Exemple :
1
x0
x
1 1
f '( x)   2  0
x x
f ( x)  ln x 
x
0
f‘
1
2
+
f
-1
0,19

f ( x)  0  ln x 
1
x
1
1
x
 1 ( x)
x
ln x
1
1
2 / ln x   x  e x   2 ( x)
x
1
3 / x  ln x   3 ( x)
x
1 x
 '3 ( x)  1   2  1 ( ne convient pas )
x x
1/ ln x 
1
x
e
( ne convient pas )
x2
1
 '1 ( x)  
( ne convient pas )
2
x  ln x 
 '2 ( x )  
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f ( x)  0   f ( x)  0  : constante
1

 possibilité x  x    ln x     ( x)
x

On cherche  telle que  '(x)  1 sur [1 2]
1 1 
2 
x x 
 1 2
 ''( x)     2  3 
x 
 x
Première approche pour que  '( x)  1
on doit avoir  < 0
 '( x)  1    
x
1
 '( x )
-0.2
2
0.55
0.625
3
1
4
0
1  2
 ''( x)
    0
1  1  2  1
2  2  0    0
1  
1  1 
3
1
4
3
0 0
4
8  3
8

3
2 
Les valeurs de   ] -1 0[ conviennent
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Choix de  pour que  ( xn ) converge le plus rapidement
xn  xn 1  x1  x0 .K n
On veut  '(1)   '(2)
1  2   1 
3
4
3
11
 2 
4
4
8

 0.73
11
2 
Calcul à faire :

1 
xn  xn1  0.73  ln xn1 
  '( x)
x
n 1 

départ x0  0.5
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Accélération de la convergence :
Méthode du delta 2 (  2 )
d’Aïtken ( 1926 )
Soit une suite Xn qui converge vers 
On construit une suie Wn qui converge vers  plus vite que Xn  X n   ( X n1 ) 
Wn  X n 
 X n1  X n 
2
X n  2  2 X n 1  X n
X n 1  X n  X n ( Accroissement de X n )
X n  2  X n 1  X n 1
X n 1  X n   2 X n
X n  2  2 X n 1  X n   X n  2  X n 1    X n 1  X n 
X n 1
Wn  X n
Etude de
 X n 

X n
2
2 X n
Wn  
Xn 
On montrera que ce rapport tend vers 0 quand n tend vers + 
Posons e  x  
n
n
xn 1     ( xn )   ( )   xn     '(c) c ]xn  [
 en 1  en '(c)
lorsque n  
 '(c)   '( )  
 '(c)     n
en 1  en     n 
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xn 1  xn   xn 1      xn   
 en     n   en
 en    1   n 
xn  2  2 xn 1  xn   xn  2     2  xn 1      xn   
en  2  en 1     n 1   en     n     n 1 
 en  2  2en 1  en  en     n     n 1   2     n   1
 en  2  2  1   ( gros  ) 
Wn  xn 
en 2    1   n 
2
2
en    1   


Wn    xn   
en    1   n 
2
2
   1  
2
 1  n 

Wn  
 1
2
xn  
   1  
  et  n  0 
n 
avec xn    en
Wn  
0
xn  
Critère d’arrêt du calcul :
Wn  
 1
xn  
 xn 
 2 xn
 xn 
2
 2 xn
xn  
1
2
représente bien la précision du résultat à savoir | xn -  |
Si on accélère la suite Wn
zn  wn
 xn 

2
 2 xn
 xn 
2
zn  
 2 xn
 1
wn  
wn  
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Finalement on prendra comme critère d’arrêt

 xn 
 2 xn
2

précision du résultat
Méthode de Steffensen :
Soit xn =  ( xn  1)
Intervalle de recherche
 ]a b[
[ a b]
Soit x0  ]a b[
( par Exemple x0=
A partir de
on calcul
ab
)
2
x0
x1
=
 ( x0 )
x1
x2
=
 ( x1 )
w0  1 
 x1  x0 
2
x2  2 x1  x0
On pose x0 = w0 et on recommence
Que prendre comme critère d’arrêt ?
On peut considérer la méthode de Steffensen comme une méthode itérative
xn   ( xn1 )
w0  x  x0 
 x1  x0 
2
x2  2 x1  x0
 ( x )  x 
 x
   x    2 ( x)  x
2
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Critères d’arrêt du calcul :
1/
xn1  xn  
e  x  104  0
e x  104
Résolution analytique :
 x  4 ln10  9, 21...
Exemple :
Soit x = 8
e8  104  0, 0002...
Fonction « douce » car elle coupe l’axe des « x » avec une tangente proche de zéro
Méthode numérique :
x   ( x)  x  e  x  104
  ]9 10[
 '( x)  1  e  x  1 et > 0
x 0  9,5  x1  9.5  e 9,5  10 4
x1  9, 49998
 x1  x0  2,5.105
xn   ( xn 1 )
xn     ( xn 1   )   ( )
xn    ( xn 1   ) '(c)
Hypothèse :
 '( x)  0 sur ]a b[
  '( x)  1
xn 1  xn  
xn

xn+1
xn-1
 xn    

représente une majoration de la précision du résultat
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Hypothèse :
 '( x)  0 sur ]a b[
 '( x)  1
xn-1

xn
xn
xn-1
converge vers 
Dans ce cas xn1  xn  
 ne représente pas la précision car
2 / Critère d’arrêt « Amélioré »
en  xn    xn  xn 1  xn 1  xn  2  xn  2 ....  
 xn    xn  xn 1  xn 1  xn  2  ....
Si la suite xn converge vers  alors à partir d’un certain rang
xi  2  xi 1
 K 1  i  n
xi 1  xi
 xn    xn  xn 1 1  K  K 2  ...

xn  xn 1
1 K
1
1 K
Que prendre pour K ?
Arbitrairement on prendra le premier K =
xn 1  xn
à condition que K < 1
xn  xn 1
D’où le critère d’arrêt
xn  xn 1

1 K
avec K =
xn 1  xn
xn  xn 1
si < 1
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Exemple :
f ( x)  e  x  x  0
  ]0 1[
 ( x)  2 x  e  x
 '( x)  2  e x
 '( x)  1  Suite divergente
 f ( x)  0   ( x)  x    x  e  x 
 '( x)  1   1  e x 
0
d’où le critère d’arrêt
0
1
 ''( x)
+
 '( x )
  1 
1    1   
  e 
1  2
 ''( x)    e x 
1  1  2   '(0)    1
 
 
1 
 '(1)  1    1     1    0
e

Finalement –1 <  < 0
Meilleur  a priori
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Chapitre IV) POLYNOMES
Soit Pn(x) un polynome de degré n = a0+a1x+a2x2+…+anxn ( ai donné pour i = 0 à n )
Calcul de Pn(x) pour x donné
Méthode de Hoïner
Pn ( x)  a0  x  a1  a2 x  ...  an x n 1 
Pn ( x)  a0  x  a1  x  a2  ...  an x n  2  
et ainsi de suite
ai donné
x donné
i=0 à n
( n+1 coefficient )
Départ P = 0
Boucle I allant de n à 0
P  P*x + ai
Déroulement
P0
P  an
P  an x  an 1
P  an x 2  an 1 x  an  2
.
.
.
P  an x n  an 1 x n 1  ....  a0
Dérivée :
DP( x)  DPn 1 ( x)
 b0  b1 x  b2 x 2  ....  bn 1 x n 1
 a1  2a2 x  3a3 x 2  ....  nan x n 1
 bi   i  1 ai 1 i  0 à n-1
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Primitives:
PP( x)  PPn 1 ( x)  c0  c1 x  c2 x 2  ....  cn 1 x n 1
a x n 1
x2
 ....  n
2
n 1
C0  0 ( ou une constante )
 a0  a1
Ci 
ai 1
avec i allant de 1 à n+1
i
Division de Pn ( x) par x-m ( m donné )
Pn ( x)   x  m Qn1 ( x)  reste
Calcul des coefficients de Qn-1(x) et du reste
a0  a1 x  a2 x 2  ....  an x n   x  m   q0  q1 x  ....  qn 1 x n 1   reste
Terme constant : a0  mq0  reste
Terme en x = a1 = q0 – mq1
Terme en x2 = a2 = q1 – mq2
…
Terme en xn-1= an-1 = qn-2 – mqn-1
Terme en xn = an = qn-1
qn-1 = an
 qn  2  an 1  mqn 1
...
q0  a1  mq1
reste  a0  mq0
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Recherche des racines de Pn ( x) = 0
1/ Méthode « classique » ( f(x) = 0 )
2/ Méthode spécifique
Méthode de LIN :
Pn ( x)  0
Pn ( x)  a0  xPn 1 ( x)  x  

a0 x
Pn 1 ( x)
a0 x
Pn ( x)  a0
Méthode itérative avec  ( x)  
a0 x
Pn ( x)  a0
 '( x)  1?
 '( x) 
  Pn ( x)  a0  a0  a0 P '( x)
 Pn ( x)  a0 
2
Si ça marche xn   / Pn ( )  0
Lorsque n  
Pn ( x)  0
  '( x)
 1
a02  a0 xP '( x)
a02
xP '( x)
a0
 (on doit avoir ) -1<1 
2 
xP '( x)
1
a0
xP '( x)
 0 en supposant ( a0  0 toujours possible )
a0
-2a0  xP '( x)  0
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Méthode de BERNOUILLI :
Soit Pn ( x)  a0  a1 x  a2 x 2  ....  an x n
Méthode donne la racine de plus grand module
On crée une suite xn dont on se donne arbitrairement les K premiers termes
x0 , x1 ,..., xn1
Le terme suivant
xn 
  a0 x0  a1 x1  ...  an1 xn1 
an
xn
xn 1
L’approximation de la racine  est donnée
Exemple :
x3+x-3=0
-x3
3
-x
a0
a1
a2
a3
3
-1
0
-1
Je prends les termes arbitrairement
1
2
3
1
2
3
1
3
3
1
3
8




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1
3
8
0
3
3
1
8
3
0
0
8
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Chapitre V) RESOLUTION DES SYTEMES
D’EQUATIONS LINEAIRES :
écriture
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
ai1 x1  ai 2 x2  ...  aij x j  bi
axy
x :numéro de ligne
y : numéro de colonne
an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn  bn
écriture matricielle
 A X    B 
 A  aij 
 X  :"vecteur colonne" inconnu
 B  :"vecteur colonne" connu
Rappel :
Pour faire le produit de deux matrices [A][B].
Il faut qye le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B.
 aij  bij   cij 
n
Cij   aik  bkj
k 1
Méthode de Gauss ( Pivot ) :
a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1
a21 x1  a22 x2  a23 x2  b2
a31 x1  a32 x2  a33 x3  b3
 a11 a12
 A   a21 a22
a
 31 a32
 x1 
 X    x2 
 x3 
a13 

a23 
a33 
 b1 
 B   b2 
 b3 
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Triangularisation de [A] :
x1 
b   a
1
x  a13 x3  
12 2
a11
x1 que l'on reporte dans les équations suivantes
a22 * x2  a23 * x3  b2 *
a32 * x2  a33 * x3  b3 *
x2  b2 *
x2 
 b2 * a23 * x3 
a22 *
Le système devient
a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1
a22 * x2  a23 * x3  b2 *
a33 **x3  b3 **
Résolution « montante » :
Dernière équation  x3 
b3 **
a33 **
Equation précédente x2 =
et ainsi de suite
x1=
Précautions ( informatique )
division par les pivots : aii
Si aii = 0
 Il faut mettre un test
Si le pivot est nul, le programme doit aller changer la ligne abec un pivot non nul, avec la
première ligne ne comportant pas un pivot nul.
 On intervertit deux lignes tel que le pivot devient  0
En général, on prend le pivot le plus grand.
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Résultat : déterminant d’un tableau
a11
a12
a13
a21
a31
a22
a32
a23
a33
  a11
et
a22
a23
a32
a33
a22
a23
a32
a33
 a21
a12
a13
a32
a33
 a31
a12
a13
a22
a23
 a22 a33  a23 a32
1012 opérations par secondes
n=7
quelques secondes
n = 15
1 an et ½
n = 25
48 milliards d’années
Nombre d’opération ~ ( n+1) !
Le déterminant d’une matrice [A] est égal au produit des termes diagonaux aii de la matrice traingulaire
Recherche d’une matrice inverse
Soit [A]
Matrice inverse [A-1]
[A][A-1] =[I] matrice identité
1

I   

0
0 


1
 a11 a12   x11 x12  1 0 
a



 21 a22   x21 x22  0 1 
a11 x11  a12 x21  1
a21 x11  a22 x21  0
a11 x12  a12 x22  0
a21 x12  a22 x22  1
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Méthode de CHOLEVSKI :
[A][X] =[B]
avec [A] matrice symétrique, définie, positive ( toutes ls valeurs propres sont réelles et > 0 )
Résultat : On démontre que la matrice [A] peut s’écrire [A] = [M][MT]
avec [M] : matrice triangulaire inférieure
avec [MT] : matrice triangulaire supérieure
 [M][MT][X] = [B]
[Y] vecteur colonne inconnu
[M][Y] = [B]  résolution « descendante » donne [Y]
triangulaire inférieure
 m11





.
0
.





.
[MT][X] =[Y]  résolution « montante » donne [X]
triangulaire supérieur
 a11 a12
[A] =  a21 a22

 a31 a32
a13   m11 0
a23    m21 m22
a33   m31 m32
0   m11 m21
0   0 m22
m33   0
0
m31 
m32 
m33 
1ier ligne .1ier colonne
a11=m11m11= a11  0
ier
1 ligne .2ièm colonne
a
a12  m11m21  m21  12
m11
ier
ièm
1 ligne .3 colonne
a
a13  m11m31  m31  13
m11
ièm
ièm
2 ligne . 2 colonne
2
2
a22  m21
 m22
 m22  a22  m21
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2ièm ligne . 3ièm colonne
a23  m21m31  m22 m32  m32 
a23  m21m31
m22
3ièm ligne . 3ièm colonne
2
2
2
2
a33  m31
 m32
 m33
 m33  a33  m31
 m322
Méthode de Doolitlle :
[A][X] = [B] A quelconque
0
 1

On demande que l’on peut décomposer [A] sous la forme [L][U] avec [L] =
... 

termes
1 
u11

u22
[U] = 


 0
terme 




unn 
Conditionnement d’une matrice [A] :
[A][X] = [B]
Exemple :
2x +6y = 8
/1
2x + 6.00001y = 8.00001
/2
/2 - /1  0,0001y = 0.00001  y= 1  x = 1
2x +6y = 8
/1
2x + 5.99999y= 8.00002
 -0.00001y = 0.00002
 y = -2 et x = 10
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/2
« Effet papillon »
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Chapitre VI) INTERPOLLATION POLYNOMIALE
1/ Cas de points expérimentaux
(xi, yi ) i = 0 à n ( donc n+1 points )
Intéressant : trouver une relation y = f(x)
Relation la plus simple : relation polynomiale
Condition : pour une valeur de xi correspond à un yi
Résultat :
On démontre qu’il existe un polynôme unique de degré  n tel que
Pn ( xi )  yii  0 à n
Polynôme de degré 2
xi
Cas particulier : Interpolation linéaire
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Droite de
régression
y=ax+b
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2/
On a une fonction y = f(x) connue que l’on veut étudier sur un intervalle [a b ]
On choisit des points d’interpolation sur [a b] et on construit le polynôme Pn(x)
Pn ( xi )  yi  f ( xi )
Détermination de Pn(x) :
Connaissance des ai i = 0 à n
Pn ( x)  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n

a0  a1 x0  a2 x0 2  ...  an x0 n  y0
a0  a1 x1  a2 x2 2  ...  an x1n  y1
....
a0  a1 xn  a2 xn 2  ...  an xn n  yn
 1 x0

...
 1 xn

x02
xn2
x0n   a0   y0 
   
  ...    ... 
n
xn   an   yn 
d’où
1/ Construction de la matrice carré à partir des xi
2/ Résolution du système qui donne les ai
3/ Calcul de Pn(x) pour x donné
Inconvénients : longueur des calculs
En général on veut calculer Pn(x), pour x donné mais la valeur explicite des ai n’est pas indispensable
Formule de LAGRANGE :
n
Pn ( x)   lK ( x)  yk
K 0
n
lK ( x )  
i 0
i K
yk  f ( xk )
 x  xi    x  x0  x  x1  ...  x  xk  ...  x  xn 
 xk  xi   xk  x0  xk  x1  ...  xk  xk  ...  xk  xn 
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Vérification :
Soit x = xj un des points d’interpolation
lk ( x j ) si K = j
l j (x j )  1
si K  j
lk ( x j )  0
Pn ( x j )  y j j  0 n
Construction de la fonction LK qui dépend de x valeur où on veut calculer le polynôme ( réel )
K, n : entier
x[i] : vecteur
Exemple :
1
sur [0 2]
1  x2
avec les points d’interpolation
Soit y 
x0 =0
x1 =1
x2 = 2
y0  1
y1  0.5
y2  0.2
l0 ( x) 
( x  x1 )( x  x2 )
( x  1)( x  2)

( x0  x1 )( x0  x2 )
(1)(2)
l1 ( x) 
( x  x0 )( x  x2 ) ( x)( x  2)

( x1  x0 )( x1  x2 )
(1)(1)
l2 ( x ) 
( x  x0 )( x  x1 )
( x)( x  1)

( x2  x0 )( x2  x1 )
2(1)
P2 ( x) 
( x  1)( x  2)
( x)( x  2)
( x)( x  1)
1 
*0.5 
*0.2
2
(1)(1)
2(1)
A FAIRE
Résoudre Pn(x)= yi
d’où a0 = ? a1=? a2=?
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1
0.5
0.2
0
1
2
Evaluation de l’erreur commise :
n
Pn ( x)  f ( x) 
 (x  x )
i
i 0
(n  1)!
f ( n 1) ( )
  [ a b]
Si f(n+1)(x) continue sur [a b]
n
Pn ( x) 
 (x  x )
i
i 0
(n  1)!
Max f ((x)1)
Pour réduire l’erreur : on peut jouer sur les xi
Points de TCHEBYCHEFF :
  2 K  1 
Sur l’intervalle de référence [-1 +1] les xK données par xk  cos 
 2  n  1
K=0àn



Passage de [-1 +1] à [a b]
t
x
x  t  
avec
a =   
b=   
 xK   a b   
 
ab
et
2
  2 K  1 
ab ba

 cos 
2
2
 2  n  1
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
ba
2



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Exemple :
Trois points
x0  cos

6
[ -1
+1]
  2 K  1  
cos 

6


 0,866...
x1  0
x2  cos
5
 0,866...
6
Spline cubique :
On impose que Pn(xi)=yi
et on impose la continuité des dérivées
première et seconde.
a
xi
xi+1
b
Calcul numérique des intégrales :
b
Soit à calculer I   f ( x)dx a et b finis données, f(x) donné
a
On interpôle f(x) sur [a b] par un polynome Pn(x) = a0 + a1x + …+anxn
b
I
 P ( x)dx  a
n
0
 a1 x  ...  an x n 
b
a
a
Opérations :
Calcul des ai à partir des données ( xj,yj = f(x) )
Points d’interpolation pas de problème mais long
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Formulation de Lagrange :
n
Pn ( x)   li ( x)  yi
yi  f ( xi )
i 0
n  xx
j
li ( x)   

x

x
j 0  i
j
j i



b
b
a
a i 0
n
 Pn ( x)dx    li ( x)  yi dx
I
n b

    li ( x)  yi dx 
i 0  a

b
n 

   yi  li ( x)dx 
i 0 
a

b
 l ( x)dx
est indépendant de f(x) dépend uniquement des xi
i
a
b
On note Wi cette intégrale
Wi =  li ( x)dx = « poids » attaché à xi
a
n
I
W  y
i
i 0
i
Détermination des Wi


L’intégration directe des li(x) est compliquée
On sait que l’intégration est exacte pour f(x) = tout polynôme de degré  n
b
 f ( x)dx
a
f(x) intégrale pour P2(x) ( 3 points )
Soit f(x) = x2 + 2
x0
a
x1
x2
b
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De plus pour faciliter et unifier les calculs on travaille sur un intervalle de référence [-1 +1]
b
1
a
1
I   f ( x)dx 
b
I 
a

dt
1
ba
ba
ba
f ( x)dx 
f
x
dx

2 1  2
2 
x  t  
b  
a    
ba
b+a
 
et  =
2
2
1
On est ramené à calculer
 g ( x)dx
1
Soit g(x)=x avec  = 0,1,2,...,n
 =0  g(x)=1
y(x)=(x)
1
 1dx  2  W
0
 1  W1  1  ...  Wn  1
1
  1  g ( x)  x
1
 xdx  0  W
0
 x0  W1  x1  ...  Wn  x n
1
  2 g ( x)  x 2
1
2
 x dx  3  W x
2
2
0 0
 W1 x12  ...  Wn xn2
1
Et ainsi de suite
Remarque : Si  = 2p+1  I = 0
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A partir de ce système d’équation
On a 3 méthodes
1) les xi sont équidistants ( donc connus )
Cas n = 1
x0 = -1
(n+1 ) : 2 points
x1 = 1
2 = W0 + W1
0 = -W0 + W1  W0 = W1 = 1
I
f (1)  f (1) pour f(x) quelconque
-1
+1
Cas n = 2
x0 = -1
(n+1) : 3 points
x1 = 0
x2 = 1
2 = W0 + W1 + W2
0 = -W0+0+W2
2
= W0+0+W2
3
W0 = W2
 W0 = W2 =
I
1
4
, W1 =
3
3
1
 f (1)  4 f (0)  f (1)
3
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Formule de SIMPSON :
Pour n > 2 : formule de NEWTON COTES
A partir de ce système d’équation, on a 3 méthodes
1) Les xi sont équidistants ( donc connus )
2) Méthode de TCHEBYCHEFF
Les Wi sont tous égaux et on cherche les xi tels que l’intégration soit exactes pour les polynômes de
degré les plus élevé possible.
2  W0  W1  ...  Wn  W1 
2
n 1
2
 x0  x1  ...  xn 
n 1
2
2

x02  x12  ...  xn2 

3 n 1
0
Les inconvénients sont les xi et le système n’est plus linéaire.
Cas n = 2
( 3 points )
2
3
2
0   x0  x1  x2 
3
2 2 2
  x0  x12  x22 
3 3
Wi 
Par « symétrie »
x1  0
x0   x2
x0  
2
2
x1  0
x2 
2
2
d’où I
2
f
3 

2
 
  f (0) 
 2 
 2 
f 
 
 2  
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1
 cos xdx  sin x
SIMPSON :
1
0
 0,841471
0
1
I
1
 x 1
cos 
dx

2 1
 2 
I
1 1 
1

 cos 0  4 cos  cos1   0,84177

2 3 
2

  
 1  2  
2 
1  2   1
1

2
2     0,84140
cos
 4 cos  cos 





 
2 3
2
2
2


 
  


 
TCHEBYCHEFF :
Méthode de GAUSS :
Wi = n+1 inconnus
2n+2 inconnus
xi = n+1 inconnus
Problème :
Le système d’équation non linéaire en xi et Wi
Cas n°2
( 3 points )
2  W0  W1  W2
0  W0 x0  W1 x1  W2 x2
2
 W0 x02  W1 x12  W2 x22
3
0  W0 x03  W1 x13  W2 x23
d'après la symétrie :
W0  W2
x0   x2
x1  0
2  W1  2W2  W1 
8
9
00
2
1
15 5
 2W2 x22  W2  2 
  W0
3
3x
3 3 9
00
2
2 3
3
3
 2W2 x2  x22    x2 
, x0  
5
5 2
5
5
I
5
9
 3 8
5
f     f (0) 
9
 5 9
 3
f 

 5
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Application à
1
I   cos xdx 
0
I
1
1
 x 1 
cos 
dx

2 1
 2 
 1  0, 6  8
 1  0, 6  
1 5
1 5
 cos 
  cos  cos 
 
2  9
2
2 9
2

 9

 
0,841471
Algorithme de GAUSS :
Ecrits une fois pour toutes
x0   0, 6
x1  0
x2   x0
5
9
8
W1 
9
W2  W0
W0 
Données : f(x)
Bornes : a et b
ba
2
ba
K2 
2
I  K1 W0 f  K1 x0  K 2   W1 f  K1 x1  K 2   W2 f  K1 x2  K 2  
K1 
Si [a b] « grand » on divise l’intervalle en nb sous intervalles égaux.
 donnée supplémentaire : nb
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Pour i allant de 0 à nb-1
a1 = a+ih
b1=a1+h
b1  a1
2
b a
K2  1 1
2
K1 
I devient I + K1 W0 f  K1 x0  K 2   W1 f  K1 x1  K 2   W2 f  K1 x2  K 2  
Exercice :
Calculer I =
1
2
1,96

e

x2
2
dx  0,95
1,96
95 %
-1,96
+1,96
1
Soit I   f ( x)dx
0
et J   f (0)   f ( x1 )
Déterminer  , ,x1
tel que I = J
Pour f(x) = polynôme de degré le plus élevé possible
1
p  0  I   dx  1    
f(x) = xp
0
1
p  1   xdx 
12
  x1
0
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Méthode de Gauss-Radau :
Calcul dans le cas ou 1 borne ( b par exemple ) est infinie


f ( x)dx
a

On cherchera b tel que

b

f ( x)dx 
 Fonction-Simple dx
  donnée
b
b
On calcul
 f ( x)dx
a

dx
 1 x
10
résultat analytique ???
0


dx
dx
0 1  x10  0 x10   donnée
valeur de b
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Chapitre VII) EQUATION DIFFERENTIELLE :
Rappels :
Equation d’ordre n une relation de la forme
( x, y, y ',..., y ( n ) )  0
x : variable
y = fonction de x ( inconnue )
Résoudre ou intégrer une équation différentielle :
c’est trouver la ( ou les ) fonction(s) y(x) satisfaisant à l’équation
y’ – y = 0
y = ex est une solution
( la solution générale de l’équation est y  e x
On peut déterminer
constante quelconque
à partir des conditions initiales
La solution générale d’une équation d’ordre n dépend de n constantes
Equation d’ordre 1 :
Résolution y ‘ = f(x,y) avec les conditions initiales x0,y0
Si la solution est calculée dans [ x0 xMAX ] et si il existe une constante L > 0 tel que
 x  [ x0 xMAX ] et  U, V 
f ( x, u)  f ( x, v)  L U  V
L’équation y’ = f(x,y ) admet une solution unique
Condition de LIPSCHITZ
Rappel :
y ( x  h)  y ( x)  hy '( x) 
h2
hn
hn1 n 1
 ...  y n ( x) 
y (c)
2!
n!
n  1!
c ]x x  h[
Si h voisin de 0 alors
hn n
y ( x )  h n ( x)
n!
Cas où n = 1 ( D.L d’ordre 1 au voisinage de x )
y( x  h)  y( x)  hy '( x)  ... 
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y(x) + hy’(x)
y(x+h)
à rapprocher de l’équation différentielle y’ = f(x,y) ( f connue )
( On vais écrire = au lieu de
)
y(x+h) = y(x)+hf(x,y)
Méthode d’Euler :
y1  y ( x0  h)  y ( x0 )  hf ( x0 , y0 )
x1  x0  h
y1
y0
Vraie solution
inconnue
x0
Algorithme :
données : fonction f(x,y)
Condition initiale x0,y0
Pas du calcul : h
Maximum de x : xMAX
Faire
Ecrire x0
y0
x1 = x0 + h
y1 = y0+h f(x0,y0)
x0 = x1
y0 = y1
Jusqu’à x1 > xMAX
Exemple :
y’ = f(x,y ) = y
x0 = 0
y0 = 1 ( Solution exacte ex )
h = 0,1
x
y
0
0,1
0,2
0,3
exacte
1
1,1
1,21
1,331
1
1,105
1,221
1,35
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y1 = y0 + 0,1 y0 = y0 ( 1+0,1 )
y2 = y1 ( 1+0,1 )
Amélioration des résultats
1/ Pas de h plus petit  plus de calculs
2/ Euler « amélioré »
y2
y1
x0
x1
h
h


y1  y0 hf  x0  , y0  f  x0 , y0  
2
2


x11
y11
3/ DL d’ordre 2 ( ou plus )
h2
y ''( x)
2
h2
 y ( x  h) y ( x)  hf ( x, y ) 
2
dy ' d  f ( x, y ) 
y ''( x) 

dx
dx
y ( x  h)
y ( x)  hy '( x) 
f
f
dx  dy Différentielle totale
x
y
df f f
dy



f
f 
dx x y
dx
df 
y1  y0  hf ( x0 , y0 ) 
h 2  f f 
f
 
2  x y 
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Exemple :
y ‘ = f(x,y) = y arctan ( x2y )
x0 = 1 y0 = 1
f
2 xy
 y
x
1  x4 y 2
f
x2
2
 Arc tan( x y )  y 
y
1  x4 y 2
4/ Méthode de RUNGE-KUTTA :
Runge-Kutta ( Ordre 2 ) ordre de la méthode
y1 = y0 + aK1 + bK2
où a et b sont des constantes ( à déterminer )
y1  y0  ahf  bhf  x0   h  ,  y0   K1  
f
f
f
f
f  x0   h, y0   K1   f ( x0 , y0 )   h   K1
 f   h   hf
x
y
x
y
y1  y0  hf 
h 2  f f 
f
 
2  x y 
  y1  y0  ahf  bhf  bh 2
f
f
 bh 2 
f
x
y
hf  (a  b)hf  a  b  1
1
b 
2
1
b 
2
1
On prend a = b =
2
   1
A retenir :
1
 K1  K 2 
2
avec K1  hf ( x0 , y0 )
y1  y0 
et K 2  hf ( x0  h, y0  K1 )
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RUNGE-KUTTA ( Ordre 4 ) La plus utilisée
données
f(x,y) Equation différentielle
Condition initiale x0, yO
Pas du calcul
Max de x : xMAX
Faire
Ecrire x0 , y0
x1  x0  h
K1  hf ( x0 , y0 )
K 
h

K 2  hf  x0  , y0  1 
2
2 

K 
h

K 3  hf  x0  , y0  2 
2
2 

K 4  hf  x0  h, y0  K 3 
y1  y0 
1
 K1  2 K 2  2 K3  K 4 
6
x0  x1
y0  y1
Jusqu’à x0 > xMAX
Solution vraie
inconnue
Avantages des pas variables
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Inconvénients :
La A_Stabilité ( A comme asymptote )
Exemple :
y ‘ = - 10 y
Solution analytique :
ln
y
dy
dy
 10 y 
 10dx
dx
d
 10 x  y  e 10 x
x0  0
1
y0  1
y  e10 x
quand x  + 
y0
Méthode d’Euler :
y1  y0  hf ( x0 , y0 )
y1  y0  h(10 y0 )  y0 (1  10h)
y2  y1  h(10 y1 )  y1 (1  10h)  y0 (1  10h) 2
.
.
yn  y0 (1  10h) n  0 ?
Pour que ( 1-10h)n  0 lorsque n  
Il faut que | 1-10h| < 1

-1 < 1 –10h < 1
-2 < -10 h < 0
h < 0.2
h>0
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Méthode Runge-Kutta Méthodes à pas séparés :
On fait des calculs qui ne servent qu’une fois

Méthodes à pas liés
Ordre 2 :
h
3 f ( xn , yn )  f ( xn1 , yn1 )
2
On connait x 0 , y0
yn 1  yn 
h
3 f ( x1 , y1 )  f ( x0 , y0 )
2
x1  x0  h mais y1 inconnue
départ n = 1  y 2  y1 
sera calculée par une méthode à pas séparés ( de même ordre )
Ordre 4 :
h
55 f ( xn , yn )  59 f ( xn1 , yn1 )  37 f ( xn2 , yn2 )  9 f ( xn3 , yn3 ) 
24
avec n = 3,4,...
yn 1  yn 
y ‘ = y-x
y ‘ – y = - x ( second membre )
Résolution « sans second membre »
y‘-y=0
dy
y
dx
dy
 dx  y  e x
dy
Equation complète ( Méthode de LAGRANGE )
Y  U ( x )e ( x )
U ( x) à déterminer
Y ' = U'e x  Ue x
 Equation complète
U ' e x +Ue x  Ue x   x  U '   xe-x
 U  xe  x  e  x  K
e-x  xe-x  e-x
donc Y = x+1+Ke x
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Equations différentielles du second ordre :
Ecriture : y’’ = f(x, y, y’ )
Avec condition initiales pour x = x0, y = y0 et y’ = y’0
On décompose l’équation en un système de deux équations du premier ordre.
y '  g ( x, y , z )  z '  f ( x, y , z )
y'  z
z '  f ( x, y , z )
Les conditions initiales deviennent :
x = x0
y = y0
z = z0 ( y’ = y’0 )
Formulation d’Euler :
y ( x0  h)  y0 ( x0 )  hg ( x0 , y0 , z0 )  y0  hz0
z ( x0  h)  z ( x0 )  hf ( x0 , y0 , z0 )
Formulation de RUNGE-KUTTA ( Ordre 4 ) :
1
 K1  2 K 2  2 K3  K 4 
6
1
z ( x  h)  z ( x)   L1  2 L2  2 L3  L4 
6
avec :
y ( x  h)  y ( x ) 
K1  hg ( x, y, z )  hz
L1  hf ( x, y, z )
K
L 
L 
h


K 2  hg  x  , y  1 , z  1   h  z  1 
2
2
2
2


K
L 
h

L2  hf  x  , y  1 , z  1 
2
2
2

K
L 
L 
h


K 3  hg  x  , y  2 , z  2   h  z  2 
2
2
2 
2 


K
L 
h

L3  hf  x  , y  2 , z  2 
2
2
2 

K 4  hg  x  h, y  K 3 , z  L3   h  z  L3 
L4  hf  x  h, y  K 3 , z  L3 
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Application à un système de deux équations du 1er ordre :
y’ = g(x,y,z)
z’ = f(x,y,z)
d1
 K1 1   2 
dt
d 2
 K 2  2  1 
dt
1
K1 et K2 coefficients dépendant des « corps »
1
Remarque :
Cas où les conditions initiales sont données en deux points différents par exemple
pour x = x0 y=y0 et pour x = x1 y = y1
y1
z0 non donné. On fait le calcul avec un
z0 arbitrairement
« Méthode du tir »
y0
x0
x1
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Equation régissant le mouvement d’un pendule amorti :
accélération

vitesse
 '' 2 '10sin   0
   0 : élongation
 '0  0 ( par exemple ) : vitesse
L’équation est non linéaire ( terme en sin  )
Si  « petit »  sin 

 Equation devient linéaire  ’’ + 2  ’+10  = 0
Solution de la forme e2t
 = e2t
 =re2t
 ’’ = r2e2t
r : constante à déterminer
e 2t  r 2  2r  10   0
Equation caractéristique
  b 2  4ac  4  40  36  0
36  36i 2
2  6i
 1  3i
2
2  6i
r2 
 1  3i
2
r1 
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
Solution générale
1
et
2
er1t 
1
2
er2t
contraintes
  et 
e3it *
1
2
e 3it 
On développe
   e  t  1 cos 3t  2 sin t 
ou   K1e  t  cos 3t   
 cos 3t  i sin 3t  
cos 3t  1  2   i  1 
*
1
1
   i
2
   i
 cos 3t  i sin 3t 
2  sin 3t
2
 et  

K1et
 Ke  t
r 2  10
r  i 10
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TD 4 :
y’ = x-xy=f(x,y)
x=0
y=2
Euler : y(x+h)=y(x)+hf(x,y)
y(x+h)=y(x)+hx(1-y)
y(0,1) = 2 + 0.1 *0(1-2) = 2
y(0,2) = 2 + 0.1 * 0.1(1-2) = 1,99
y(0,3) = 1,99 +0.1*0.2( 1- 1,99 ) = 1,97
Solution analytique :
y’ = -xy

dy
  xy ( sans second membre)
dx
( y’ – x-y = x )
dy
  xdx
y
 x2
Lny 

2
 ye
 x2
2

e
 x2
2
e  Ke
 x2
2
K
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Equation complète :
Solution particulière : y’ = 1  YG = Ke
 x2
2
+1
Lagrange :
Y  U ( x )e
Y '  U 'e
U 'e
 x2
2
 x2
2
 xUe
 xUe
x
 x2
2
 x2
2
( U fonction à déterminer )
 x2
2
 xUe
 x2
2
x0
2
 U '  xe 2
x2
2
U e 

Y 


x
 x
 e  e 2  e 2 1


x2
2
2
2
 x2
2
1
x
y
e
0
2
2
0,1
2
1,995
0,2
1,99
1,980
0,3
1,97
1,956
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