chapitre_8_probabilite

Chapitre 8
Probabilités
I
Calcul de probabilité
A]
Langage des évènements
Si nous connaissons les conditions d'une expérience sans pouvoir prévoir son résultat, nous sommes
en présence d'une expérience aléatoire. Chaque résultat possible est une issue ou une éventualité.
L'ensemble de toutes les éventualités de cette expérience aléatoire est l'univers des possibles .
Toute partie de l'univers est un événement.  est l'événement certain ;  est l'événement
impossible.
Un événement qui ne contient qu'une seule éventualité est un événement élémentaire.
Exemple :
On lance une fois un dé cubique usuel non truqué;
 = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
A : "obtenir un nombre pair" est l'événement {2 ; 4 ; 6}.
B : "obtenir 5" est un événement élémentaire { 5 }.
C : "obtenir un multiple de 3" est l'événement {3 ; 6}.
D : "obtenir un nombre impair" est l'événement {1 ; 3 ; 5}.
L'événement A  C, c'est l'événement formé de tous les résultats favorables à la fois à l'événement A
et à l'événement C.
Donc A  C = {6}.
L'événement A  C, c'est l'événement formé de tous les résultats favorables à l'un au moins des
évènements A ou C.
Donc A  C = {2 ; 3 ; 4 ; 6}.
Deux évènements qui n'ont aucune éventualité commune sont des évènements incompatibles (ou
disjoints).
Si A  B = , alors les évènements A et B sont incompatibles.
L'événement constitué de toutes les éventualités de  qui n'appartiennent pas à A est appelé
l'événement contraire de A, noté A . A = { 1, 3, 5 }.
Donc A et D sont des évènements contraires car A  D =  et A  D = .
Un schéma important :
AB

A
AB
B
A
-1-
Chapitre 8 : BTS 2 électrotechnique
B]
Calculs de probabilités
1)
Définition
Définition :
On considère l'univers  lié à une expérience aléatoire.
Définir une probabilité sur , c'est associer à chaque événement un nombre de l'intervalle [0 ; 1] tel
que :
 La somme des probabilités de tous les évènements élémentaires de l'univers est 1.
 la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui
le composent.
Propriété :
La probabilité de l'événement certain est 1 : p() = 1.
La probabilité de l'événement impossible est 0 : p() = 0.
Exemple :
On reprend le dé de tout à l'heure.
p(A) = p({2 ; 4 ; 6}) = p({2}) + p({4}) + p({6}) = Error! + Error! + Error! = Error! = Error!.
p(A  C) = p({6}) = Error!.
2)
Propriétés
Propriété :
 Pour tout évènement A,
p( A ) + p(A) = 1 ou p( A ) = 1 – p(A).
 Pour tous les évènements A et B :
p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B).
 Pour deux évènements A et B incompatibles :
p(A  B) = p(A) + p(B).
Remarque :
Les évènements A  B et A  B sont incompatibles et leur réunion est B, d'où
p(B) = p(A  B) + p( A  B).
3)
Cas d'équiprobabilité
Définition :
Lors d'une expérience aléatoire, si tous les éléments élémentaires ont la même probabilité(c'est-àdire tous les résultats ont la même chance d'apparaître), on dit qu'il y a équiprobabilité des résultats
(l'exemple de tout à l'heure est un cas d'équiprobabilité).
Ainsi, si l'univers  a n résultats possibles, alors chaque événement élémentaire a une probabilité de
Error! et pour un événement A ayant k résultats favorables, alors :
p(A) = Error!.
Dans le cas d'équiprobabilité, la probabilité d'un évènement A de l'univers  est : Loi de Laplace
p(A) = Error!.
Il y a équiprobabilité lorsqu'on a un dé bien équilibré, un jeu de cartes bien battu .... ou lorsque
l'action s'effectue au hasard, en particulier lors du choix d'un individu dans un groupe.
Exercices 1 et 4p323.
Exercice 27p328.
C] Arbres pondérés
Exemple :
-2-
Chapitre 8 : BTS 2 électrotechnique
Dans un lycée, 45 % des élèves sont des filles. Parmi les filles, 30 % sont internes et 70 %
externes. Parmi les garçons, 60 % sont internes et 40 % sont externes.
Cette situation peut-être représentée par l'arbre pondéré ci-contre.
On tire au hasard une fiche dans le fichier de tous les élèves du
lycée.
On admettra que :
Lorsqu'une situation est représentée par un arbre pondéré, la
probabilité d'un événement correspondant à un chemin est égale au
produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin.
Ainsi la probabilité d’obtenir une fiche d'une fille externe est égale
à:
0,45  0,7 = 0,315
Propriété :
La somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1.
Exercices 2 et 3p323.
-3-
Chapitre 8 : BTS 2 électrotechnique
II
Probabilités conditionnelles
A]
Exemple
B]
Définition
Définition :
Soit P une probabilité sur un univers  et B un évènement tel que P(B)  0.
La probabilité de l’évènement A sachant que B est réalisé est notée P(A/B) ou PB(A).
Elle est définie par PError! = PError!  PError! et donc on a PError! =
Error!.
Remarque :
Si P(A)  0, on peut alors définir également P(B/A).
En outre on a PError! = PError!  PError! = PError!  PError!.
Exercices 5, 6 et 7p324.
Exercice 25p328.
C]
Evènements indépendants
Définition :
Deux évènements A et B de probabilités non nulles sont indépendants si la réalisation de l’un n’agit
pas sur la réalisation de l’autre, c'est-à-dire si P(A/B) = P(A) ou P(B/A) = P(B).
Autre Définition :
Deux évènements A et B de probabilités non nulles sont indépendants SSI P Error! = P
(A)P(B).
Démonstration :
Deux évènements A et B de probabilités non nulles sont indépendants
SSI PError! = PError!  PError! = PError!  PError! car PError!
= P(A).
Exemple :
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.
On définit les évènements : A : « Tirer un roi ».
B : « Tirer un cœur ».
C : « Tirer un roi rouge ».
L’évènement AB : « Tirer le roi de cœur ».
Ainsi PError! = Error! ; PError! = Error! et PError! = Error!. On
constate donc que PError! = PError!PError!.
Donc les évènements A et B sont indépendants.
L’évènement BC : « Tirer le roi de cœur ».
Ainsi PError! = Error! ; PError! = Error! et PError! = Error! =
Error!.
C’est pourquoi P(B)  P(C) = Error!  Error!  Error!.
Exercices 11 et 12p325.
-4-
Chapitre 8 : BTS 2 électrotechnique
III Dénombrement
A]
Listes
Définition :
Une p-liste (ou un p-uplet) d’un ensemble E à n éléments est une suite ordonnée de p éléments de E
distincts ou pas.
Exemple :
 ba 
Soit E =  c .
 de 
Alors Error!, Error!, Error! et Error! sont 4 3-uplets d’élément de E.
Ainsi pour le 1er élément il y a 5 choix possibles, pour le 2ème élément il y a 5 choix possibles et pour
le 3ème aussi. C’est pourquoi il y a 53 3-uplets possibles pour cet ensemble E.
Propriété :
Le nombre de p-liste d’un ensemble E à n éléments est np.
Remarque :
On utilise ce raisonnement essentiellement lorsqu’on effectue un tirage successif avec remise.
B]
Arrangements
Définition :
Un arrangement à p éléments d’un ensemble E à n éléments est une suite ordonnée de p éléments de
E distincts. On a donc ici obligatoirement p  n.
Exemple :
 ba 
Soit E =  c .
 de 
Alors Error!, Error!, Error! et Error! sont 4 arrangements à 3 éléments. Ces
arrangements sont absolument tous différents.
Ainsi pour le 1er élément il y a 5 choix possibles, pour le 2ème élément il y a 4 choix possibles et pour
le 3ème il y a 3 choix possibles. C’est pourquoi il y a 5  4  3 ( =60 ) arrangements possibles pour
cet ensemble E.
Propriété :
Le nombre d’arrangements à p éléments d’un ensemble E à n éléments est noté Ap;n et
Ap;n = n (n –1) (n – 2)  …  (n – p + 1).
Remarque :
On note n ! = n  (n – 1)  (n – 2)  …  2  1.
Ainsi Ap;n = Error!.
Remarque :
On utilise ce type de raisonnement pour un tirage successif sans remise.
Exercices 13 et 14p325.
Exercices 17 et 18p326.
C]
Permutation
-5-
Chapitre 8 : BTS 2 électrotechnique
Définition :
Une permutation d’un ensemble E à n éléments est un arrangement à n éléments de E. On est dans
un cas particulier des arrangements avec n = p.
Exemple :
 ba 
Soit E =  c .
 de 
Alors Error!, Error! et Error! sont 3 permutations de l’ensemble E.
Ainsi pour le 1er élément on a 5 choix possible, pour le 2ème on a 4 choix possibles, …
Donc on a 5 ! = 120 permutations possibles pour cet ensemble E.
Propriété :
Soit E un ensemble à n éléments.
Il y a donc n ! permutations possibles.
D]
Combinaisons
1)
Définition et 1ère propriété
Définition :
Soit E un ensemble à n éléments. On appelle combinaison de p éléments de E toute partie de E à p
éléments. Ici aussi, nous avons obligatoirement n  p.
Exemple :
 ba 
Soit E =  c .
 de 
 a   a   b   a 
 a 
Alors  b ,  e ,  e  et  c  sont des combinaisons à 3 éléments de E. On remarque que  b  et
 c   c   d   d 
 c 
 b 
 c  sont les mêmes. On retient que l’ordre n’est pas important contrairement au arrangements et
 a 
aux permutations.
Propriété :
Le nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n est noté Cp;n et
Cp;n = Error! = Error!.
Remarque :
On utilise ce type de raisonnement pour un tirage simultané.
Exercice 19p326.
Exercice 21p327.
2)
Propriété des Cp;n
Propriété :

Pour tout n  1, on a : C0;n = Cn;n = 1 et C1;n = n.
-6-
Chapitre 8 : BTS 2 électrotechnique
Pour tout p tel que 0  p  n, on a : Cp;n = n-p;n.

Pour tout p tel que 1  p  n, on a : Cp;n = Cp-1;n-1 + Cp;n-1.
Démonstration :
Il suffit d’écrire avec la définition.
Triangle de Pascal :
Il permet de calculer de proche en proche les Cp;n.
A faire

Propriété : Formule du binôme de Newton
Soit a et b deux nombres complexes.
Soit n  IN.
Alors on a : (a+b)n = Error! .
Démonstration :
On procède par récurrence sur n.
E]
Bilan
On peut résumer l’utilisation de ce que nous venons de voir dans le tableau suivant :
Tirage
Sans remise
Avec remise
Ordonnés
Ap;n
np
Non ordonnés
C p ;n
Exercices 23 et 24p327.
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Chapitre 8 : BTS 2 électrotechnique