mecanique du point matériel

TS1G
MECANIQUE DU POINT MATERIEL
Programme
Dynamique du point matériel :
Notion de référentiel galiléen. Première loi de Cette rubrique pourra être traitée selon une
Newton : principe de l’inertie. Référentiel de dimension historique.
Copernic.
Le concept de vecteur quantité de mouvement est
Seconde loi de Newton : notion de force.
introduit uniquement en vue de l’énoncé de la
Vecteurs force et quantité de mouvement.
seconde loi de Newton et l’illustration par quelques
exemples simples.
Masse d’inertie et masse gravitationnelle.
Troisième loi de Newton : Loi des
réciproques ; énoncé et conséquences.
On se limitera à affirmer leur identité.
actions Les exemples seront pris dans le domaine de la vie
courante mais aussi dans le domaine professionnel.
On se limitera au seul cas de l’entraînement de
Lois de la mécanique dans un référentiel non rotation uniforme.
galiléen ; forces d’inertie, cas de la force On étudiera, en se limitant au seul modèle
centrifuge.
sphérique, la variation de la pesanteur en fonction
de la latitude (on pourra la comparer
numériquement avec la variation en fonction de
l’altitude).
Déviation vers l’est de la chute libre.
Moment cinétique par rapport à un axe, moment L’étude est très limitée et sert essentiellement à
d’une force par rapport à un axe. Théorème du préparer le cours sur le solide.
moment cinétique.
Energie d’un point matériel :
Travail et puissance d’une force.
Energie cinétique ; théorème de l’énergie
cinétique.
Forces
conservatives ;
énergie
potentielle ;
énergie mécanique.
Forces non conservatives.
Poly TSG : mécanique du point matériel
Travail, énergie en translation comme en rotation
donneront essentiellement lieu à des applications
pratiques.
L’objectif visé est de faire comprendre pourquoi
l’énergie mécanique ne se conserve pas.
Mme CHEN
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Chapitre 1
Le modèle du point matériel
Un point matériel est un point de l'espace physique auquel on associe une grandeur
scalaire positive m, mesurable, appelée masse.
Cette grandeur caractérise la quantité de matière que "contient" le point matériel.
I- La masse
1) Unité
La masse est une grandeur fondamentale du système S.I. Sa dimension se note [M].
L'unité de masse est le kilogramme (kg).
2) Masse volumique
Soit un corps de masse m et de volume V.
On appelle masse volumique la grandeur :  
m
V
Remarque : la masse volumique peut aussi être notée  .
L'équation aux dimensions de  est :
L'unité S.I. de masse volumique est :
Rq : la masse volumique de l’eau vaut 1 kg.L-1, soit 1000 kg.m-3
3) Densité
On définit la densité d'un solide ou d'un liquide comme le rapport de la masse m c d'un volume
mc
mc V

V de ce corps à la masse me du même volume V d'eau : d 

 c
me me  e
V
La densité est le rapport de la masse volumique du corps sur la masse volumique de l'eau ;
c'est un nombre sans dimension.
II- Le système mécanique
1) Définition
Un système mécanique est un sous-ensemble de l'ensemble des éléments de l'espace (points
matériels) constitué des points matériels appartenant au système que l'on désire étudier.
- Les éléments appartenant à ce sous-ensemble sont les éléments intérieurs au système.
- Les éléments n'appartenant pas à ce sous-ensemble sont extérieurs au système.
Le choix du système dépend essentiellement du type de problème étudié il faut faire le choix
qui permet la plus grande simplicité d'expression des lois de la mécanique.
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2) Exemple
Pour étudier un système, on doit définir sa limite (ce qui en fait partie et ce qui n'en fait pas
partie), pour pouvoir remplacer l'extérieur au système (tout ce qui n'en fait pas partie) par
l'ensemble des forces qui représentent l'action sur ce système de l'extérieur au système.
Soit le dispositif expérimental constitué d’une masselotte m suspendue à un fil accroché au
plafond.
Déterminer les forces extérieures qui s’exercent sur les trois systèmes suivants :
Système : {masselotte}
Système : {fil}
Système : {fil+masselotte}
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Chapitre 2
Dynamique du point matériel
I- Les lois de Newton
TD1
1) La première loi de Newton ou principe d’inertie
La première loi de Newton a permis de définir les référentiels galiléens.
Nous l’appliquerons pour étudier l’équilibre des corps.
Dans un référentiel galiléen, en l'absence de force (ou si les forces appliquées se
compensent), un point matériel est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme.
2) La seconde loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique
La deuxième loi de Newton permet de calculer les effets sur le mouvement d'un corps causés
l'application de forces.
Soit m la masse du point matériel d’accélération a , soumis à des forces extérieures :
dans un référentiel galiléen,
F
ext
 m.a .
3) La troisième loi de Newton ou principe de l’action et de la réaction
Lorsqu'un objet exerce une force sur un corps, ce corps exerce une force égale et opposée
sur cet objet.
II- Quelques forces usuelles
Une force est toute action susceptible de déformer un corps, de le mettre en mouvement ou
de modifier son mouvement.
Rq : Comment faire un bilan de forces
Lors de l’étude d’un système mécanique, il faut systématiquement recenser toutes les forces
extérieures qui s’appliquent sur le système.
Pour cela, il est nécessaire :
- d’identifier clairement le système étudié,
- de déterminer les forces à distance (poids, force magnétique, force
électrostatique),
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-
de déterminer les forces de contact (une force à chaque point de contact entre le
système et les objets extérieurs).
1) Interaction gravitationnelle et poids
a) interaction gravitationnelle
Deux corps M1 et M2 de masses m1 et m2 exercent l’un sur l’autre des forces attractives
gravitationnelles :
FM / M
m .m
M2 (m2)
FM1 / M 2  G 1 2 2 e12
r
e12
F en Newton (N) ;
M1 (m1)
m1 et m2 en kilogramme (kg) ;
r est la distance entre les centres d’inertie des corps, en mètre (m) ;
G est une constante universelle : G  6,67 1011 N.kg 2 .m2
1
2
b) poids d’un corps
Le poids d’un corps de masse m est la force d’attraction gravitationnelle exercée par la Terre
sur ce corps. Cette force est verticale, dirigée vers le bas, et appliquée au centre d’inertie du
corps.
Le poids d’un corps est P  m.g , où g est l’accélération de la pesanteur.
M
On a : g  G. 2T
d
MT est la masse de la terre (MT = 5,98.1024kg)
d est la distance entre le centre d’inertie de la terre et celui du corps. En première
approximation : d = RT = 6,38.106m).
 TD 4 : ex.1
2) Force de rappel élastique
L’élasticité est la propriété de certains matériaux à reprendre leur forme initiale après
déformation. Dans le cas de petites déformations, il est souvent possible de faire l’hypothèse
de la linéarité : la déformation est proportionnelle à sa cause.
Pour ressort linéaire, on a : T  k.( L  L0 ).ex  k.x.ex
T est le tension en N ;
L la longueur du ressort en m ;
L0 sa longueur à vide en m;
x est l’allongement en m (il peut être négatif)
k : raideur du ressort en N.m-1
 TD 4 : ex.2
O
x
L0
L
T
3) Réaction du support
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Si on considère un corps de masse m posé sur un support, ce dernier exerce une force de
contact sur le corps, R , appelée réaction du support. On distingue deux cas :
- il n’y a pas de frottement (surfaces lisses): la réaction du support est perpendiculaire
à la surface de contact.
- il y a des frottements (surfaces rugueuses): la réaction du support, R , se décompose
en une composante, RN , perpendiculaire (ou normale) à la surface de contact et une
composante, RT ou f , parallèle (ou tangente) à cette surface. Le paragraphe suivant
traite de cette force RT .
4) Force de frottement solide
Le frottement solide intervient entre des surfaces rugueuses en contact. Les forces de
frottement s'opposent toujours au déplacement relatif d'une surface par rapport à l'autre. Il
y a deux types de frottement solide: statique et cinétique.
a) force de frottement statique
La force de frottement statique, f S , est celle qui maintient un corps au repos, même en
présence de forces extérieures. La force de frottement statique est parallèle à la surface du
corps et possède juste la bonne valeur pour empêcher le corps de glisser.
RN
F
fS
Par conséquent, la valeur de la force f S augmente lorsque la force appliquée augmente ; elle
atteint une valeur maximale f S , Max au-delà de laquelle le solide est mis en mouvement.
On a donc : f S

f S ,Max .
La valeur maximale du frottement statique dépend de la nature des surfaces en contact. On
admet que : f S , Max   S .RN , où S est le coefficient de frottement statique (sans dimension).
 TD 4 : ex.3,4,5
b) force de frottement cinétique
La force de frottement cinétique,
f C , est celle qui s’oppose au mouvement lors du
déplacement d’un corps sur une surface rugueuse. Elle est parallèle à la surface du corps et
orientée dans le sens opposé au déplacement.
On a : f C   C .RN , où S est le coefficient de frottement cinétique (sans dimension).
 TD 4 : ex.6
Remarques :
- le coefficient de frottement cinétique, , est parfois noté f.
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-
on exprime parfois les coefficients de frottement sous la forme : f 
RT
 tan  . Dans
RN
cette expression,  est l’angle entre les deux composantes de R et est indépendant de
l’inclinaison du support (voir figure page suivante)..
R
R


RN
RN
RT
RT

5) Poussée d’Archimède
Cette force s’exerce pour des corps immergés dans un fluide.
Soit Vim le volume de corps immergé ; la poussée d’Archimède a les caractéristique suivantes :
- point d’application : centre du volume immergé Vim
- direction : verticale
- sens : vers le haut
- valeur : poids qu’aurait un volume Vim de fluide.
Remarque : cette force existe pour les corps dans l’air, mais elle est en général négligeable.
 TD 4 : ex.7
6) Force de frottement visqueux
Cette force permet de rendre compte des interactions microscopiques entre un solide et les
particules du fluide qui l’entoure. Pour un corps en translation à faible vitesse, on peut utiliser
l’approximation suivante : f  h.v
h est un coefficient de frottement visqueux en kg.s-1
v est la vitesse en m.s-1
 TD 4 : ex.8
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Chapitre 3
Energie du point matériel
I- Travail et puissance d’une force
1) Travail d’une force
Le travail d’une force F appliquée au point matériel M dans le déplacement élémentaire
dM  MM ' est défini par : dW  F .dM  F .dM .cos 
F (M )
 dM
M M’
B
A
Si la force F s’oppose au déplacement, alors elle exerce un travail résistant (sa valeur sera
négative).
Au contraire, si la force F contribue au déplacement, son travail est dit moteur (valeur
positive).
 F .dM
Pour un déplacement fini AB, le travail est : W 
AB
2) Puissance d’une force
Pour un travail dW  F .dM , la puissance est définie par : P 
 TD 5 : ex.1,2,3,4
dW
dM
 F.
 F .v
dt
dt
II- Energie cinétique
1) Définition
L'énergie cinétique est l'énergie que possède un système du fait de son mouvement.
L'énergie cinétique d'un point matériel de masse m animé d'une vitesse v est :
1
Ec 
m v2 .
2
2) Théorème de l’énergie cinétique
Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique d'un solide entre deux instants t 1
et t2 est égale à la somme algébrique des travaux de toutes les forces extérieures appliquées
à ce solide entre les deux instants considérés.
Ec (t2 ) - Ec (t1 ) 
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W (F
ext
)
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 TD 5 : ex.5,6
III- Energie potentielle des forces conservatives
a) définition
Certaines forces possèdent une propriétés particulière : leur travail, lorsque leur point
d’application se déplace d’un point A à un point B, ne dépend pas de la trajectoire suivie pour
aller de A à B. (p.ex. le poids). De telles forces sont dites conservatives.
Dans les exemples que nous allons rencontrer toutes les forces, excepté les frottements,
seront conservatives.
b) énergie potentielle de pesanteur
L’énergie associée au poids P  mg est l’énergie potentielle de pesanteur est E p  mg . z  z0  ,
en prenant l’origine de Ep à l’altitude z0.
c) énergie potentielle d’élasticité
La force de rappel est F  kxi , où x est l’allongement du ressort.
1
L’énergie potentielle associée au ressort est : E p  kx 2
2
IV- Energie mécanique
1) Définition
L’énergie mécanique d’un système est la somme des énergies cinétique et potentielles :
Em  Ec  E p
2) Conservation de l’énergie mécanique
Pour un système soumis à des forces conservatives, l’énergie mécanique se conserve.
Pour un système soumis à des forces non conservatives (frottements), l’énergie mécanique
diminue au cours du mouvement. La perte d’énergie se fait sous forme de chaleur (le travail
des forces de frottement est transformé en chaleur).
 TD 5 : ex.7,8,9,10,11
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Chapitre 4
Etude de la rotation
On étudie le mouvement un point M animé d’un mouvement de rotation : le point M décrit un
cercle de rayon R.
I- Rappels de cinématique
Angle :
sans dimension

unité : rad
x  R.
Vitesse angulaire :
 
dimension : T-1
v  R.
unité : rad.s-1
vecteur v tangent au cercle
Accélération angulaire :
  
dimension : T-2
unité : rad.s-2
a  aT .uT  aN .u N
dv

aT  R.  dt

2
a  v  R. 2
 N R
cas particulier : mouvement circulaire uniforme : le vecteur accélération est dirigé vers le
centre du cercle.
  0  a  aN .u N
aT  0


v2
a

 R. 2
 N

R
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II- Moment d’une force
Le moment d’une force permet de mesurer « l’efficacité » de cette force sur un mouvement
de rotation.
M F /O
On considère par exemple une barre OM libre de tourner
O
F
autour d’une axe passant par O.

Une force dont la droite d’action passe par O ne pourra
M
pas engendre un mouvement de rotation. Par conséquent,
pour tout force F , seule la composante perpendiculaire à la
H
droite (OM) aura un effet sur le mouvement de rotation de la barre.
De même l’efficacité de cette force sera d’autant plus importante que le bras de levier (c’està-dire la distance OH) est grande.
On appelle moment de la force F en O la grandeur algébrique :
- Le vecteur moment est perpendiculaire au plan de rotation,
- Le sens est donné par la règle de la main droite (si on referme la paume de la main
droite en faisant tourner le bout des doigts de OM vers F , le pouce tendu indique le
sens du produit vectoriel).
- La valeur de ce vecteur est M F / O  OH .F  OM .F .sin  . (Unité : N.m)
Remarque importante: Pour de nombreux problèmes, on se contentera d’expliciter la valeur
algébrique du moment des forces. Pour cela, on définit un sens positif de rotation : une force
qui a tendance à faire tourner le solide dans ce sens aura un moment positif, sinon il sera
négatif.
III- Lois de la dynamique de rotation
Voir feuille suivante
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+
Point matériel
Solide en rotation
aaaa exercées
Action
Forces extérieures :
F
-2
M.L.T
Moments des forces extérieures par rapport au centre de rotation O
M
M.L2.T-2
N.m
Newton (N)
M  F.d
où d est la distance entre la droite d’action de la force et le point O
M est une grandeur algébrique : on choisit un sens positif de rotation, M>0 si la
force a tendance à faire tourne le solide dans le sens positif.
Loi de l’équilibre
Un point matériel est à l’équilibre si :
Un solide est à l’équilibre si :
F  0
F  0
et
M  0
Loi du mouvement
Principe fondamental de la dynamique :
 F  m.a
Théorème di moment d’inertie :
 M  I .
2
I est le moment d’inertie en kg.m ([I]=M.L2), parfois noté J
Energie cinétique
Ec 
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1
m.v 2
2
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Ec 
1
I . 2
2
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Chapitre 5
Les lois de la dynamique du point en référentiel non galiléen
I- Lois de Newton
Dans un référentiel galiléen, le PFD s’écrit : F  ma ,
où F est la résultante des forces qui s’appliquent sur le point matériel
et a est l’accélération dans le référentiel galiléen.
Dans un référentiel non galiléen, on peut écrire le PFD sous la forme : F  fie  fiC  ma ' ,
où F est la résultante des forces qui s’appliquent sur le point matériel,
fie  mae est une force fictive appelée force d’inertie d’entraînement,
fiC  maC est une force fictive appelée force d’inertie de Coriolis,
et a ' est l’accélération dans le référentiel non galiléen (accélération relative).
II- Energie
1) Théorème de l’énergie cinétique
Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie cinétique entre deux points A et B est
égale au travail des forces lors du déplacement entre ces deux points.
Ec ( B)  Ec ( A)  WF , soit :
1
1
mvB 2  mvA2  WF
2
2
Dans un référentiel non galiléen, on pourra écrire que la variation d’énergie cinétique entre
deux points A et B est égale au travail des forces appliquées et des forces d’inertie lors du
déplacement entre ces deux points.


Or, la force d’inertie de Coriolis est fiC  maC  m 2  v ' . Elle est donc, à tout instant
perpendiculaire au vecteur vitesse v ' . Son travail est donc toujours nul.
Par conséquent, on retiendra que : dans un référentiel non galiléen, la variation d’énergie
cinétique entre deux points A et B est égale à la somme du travail des forces appliquées et du
travail de la force d’inertie d’entraînement lors du déplacement de A à B.
Ec ( B)  Ec ( A)  WF  W f , soit :
ie
1
1
mv 'B 2  mv ' A2  WF  W f
ie
2
2
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2) Conservation de l’énergie mécanique
Dans un référentiel galiléen, l’énergie mécanique d’un système soumis à des forces
conservatives se conserve.
Dans un référentiel non galiléen, on écrira également que l’énergie mécanique d’un système
soumis à des forces conservatives se conserve.
Attention : il faudra tenir compte de l’énergie potentielle dont dérive la force d’inertie
d’entraînement, appelée énergie potentielle centrifuge. ( voir calcul en exercice)
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