1 Modélisation des actions mécaniques
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Formation des enseignants ET24 : modèle de comportement d’un système Corpus de connaissance : Comportement Mécanique des systèmes Table des matières 1 Modélisation des actions mécaniques.......................................................................................... 2 1.1 Définition ................................................................................................................................... 2 1.2 Frottement ................................................................................................................................. 3 1.2.1 1.2.2 2 Mécanique du solide ...................................................................................................................... 6 2.1 Notion de solide ........................................................................................................................ 6 2.2 Repérage des solides ................................................................................................................ 6 2.3 Notion de degré de liberté ......................................................................................................... 6 2.4 Notion de système matériel ....................................................................................................... 7 2.5 Mécanisme ................................................................................................................................ 7 2.6 Modélisation des liaisons........................................................................................................... 7 2.6.1 2.6.2 2.6.3 3 Notion de liaison ...................................................................................................................................7 Repère local lié à la liaison ...................................................................................................................7 Liaisons usuelles ...................................................................................................................................8 Principe fondamental de la statique ............................................................................................11 3.1 Notion d’équilibre......................................................................................................................11 3.2 Principe Fondamental de la Statique ........................................................................................11 3.2.1 3.2.2 4 Frottement « Solide »............................................................................................................................4 Frottement visqueux .............................................................................................................................5 Théorème de la résultante statique ................................................................................................... 11 Théorème du moment statique .......................................................................................................... 11 Résolution d’un problème de statique .........................................................................................12 4.1 Notion d’isostatisme et d’hyperstatisme....................................................................................12 4.2 Cas des mécanismes statiquement plans ................................................................................12 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.3 Définition ............................................................................................................................................ 12 Résolution .......................................................................................................................................... 13 Cas particulier d’un système soumis à 2 glisseurs ............................................................................ 13 Cas particulier d’un système soumis à 3 glisseurs ............................................................................ 14 Démarche de résolution ...........................................................................................................14 STI2D – Parcours ET24 – Module de Ressources Formation des enseignants 1 Modélisation des actions mécaniques 1.1 Définition On appelle effort (ou action mécanique) un phénomène physique susceptible de : provoquer ou de modifier le mouvement d’un système matériel maintenir en équilibre un système matériel déformer un système matériel Conséquence : il ne faut pas confondre l’effort (la cause) avec les effets qu’il provoque. On ne détecte les composantes d’un effort que par l’observation de ses effets ! (voir chapitre « principe de causalité ») Modèle de connaissance : En mécanique classique, les actions mécaniques sur un système matériel peuvent avoir pour origine : Un contact avec un autre système matériel (solide ou pas) Un champ de pesanteur Un champ magnétique … Chacune de ces « sources » agit à différents niveaux sur la matière : Contact : action surfacique (sur des éléments de surface du système matériel : dS) Champ de pesanteur : action sur les éléments de masse du système : dm Champ électromagnétique : action sur les éléments de courant électrique parcourant le système d i … Et font appel à des lois physiques très variés (lois de Hertz et tribologie pour les contacts par exemple). Modèle de comportement : On modélise habituellement les actions mécaniques de manière globale. A une cause, on associe une expression d’effort. Ainsi, l’action mécanique d’un système matériel S1 sur un système matériel S2 pourra être notée de la manière suivante : F S1 S2 R S1S2 MA S1S2 A Torseur1 d’action mécanique R S 1S2 MA S est appelée résultante de l’action mécanique de (S1) sur (S2) (unité : Newton – N); 1S2 est appelé moment au point A de l’action mécanique de (S1) sur (S2) (unité : Newton Mètre – N.m); A est appelé point de réduction du torseur d’action mécanique. 1 Voir « Formulaire de Mathématiques » STI2D – Parcours ET24 – Module de Ressources Formation des enseignants On peut également se passer de la notation torseur en modélisant une action mécanique à l’aide de deux vecteurs : Une force F S S (en N) et un point d’application (on parle alors de glisseur) 1 2 Un couple2 C S S (en Nm) 1 2 Les 4 notations suivantes décrivent une même action mécanique, on parle également d’actions mécaniques statiquement équivalentes : A B S1 S2 F S F S 1S2 Notation torseur C S 1S2 appliquée en B 1S2 F S appliquée en A 1S2 A S2 F S 1S2 C S 1S2 A B S1 S2 R S 1S2 Notation vecteurs MA S 1S2 R S1S2 0 B R S1S2 MA S1S2 A A S2 R S 1S2 Figure 1 : Notations d’actions mécaniques statiquement équivalentes (image : Wikipédia - annotations : C. FAURY) 1.2 Frottement Définition : les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif entre deux systèmes en contact. (wikipédia) L’étude des frottements entre systèmes matériels s’appelle la tribologie. En anglais « force » et « torque ». L’outil torseur n’est pas employé dans les pays anglo-saxons. Le point d’application de la force n’est pas toujours donné explicitement. 2 STI2D – Parcours ET24 – Module de Ressources Formation des enseignants Modèle de connaissance : La tribologie est une science complexe par le fait que les frottements ne sont pas dus à une interaction élémentaire mais résultent de causes diverses, principalement des forces électromagnétiques et de l'interaction d'échange entre les atomes des surfaces en contact. Ces mêmes forces sont également en jeu dans l'adhérence (s'opposant à la création d'un mouvement), qui pour cette raison peut être étudiée conjointement. (d’après wikipédia) Modèle de comportement : On distingue deux modèles complémentaires de frottement : Le frottement « sec » : modèle de Coulomb3 (modèle non linéaire) Le frottement « fluide » ou « visqueux » : modèle linéaire 1.2.1 Frottement « sec » Soient S1 et S2 deux solides en contact. Localement (au point de contact P) l’action mécanique de S1 sur S2 ( fP(S1S2 ) ) se décompose en une action normale nP(S1S2 ) et une action tangentielle tP(S1S2 ) au plan tangent commun aux solides (). 1er cas : Frottement cinétique ou de glissement4 V(P S 2 / S 1 ) 0 : Il y a glissement en P entre S1 et S2. nP(S1S2 ) fP(S1S2 ) Alors tP(S1S2 ) est colinéaire et de sens opposé à la vitesse de glissement : V(P S2 / S1) 0 La norme de la densité surfacique tangentielle au point P, est proportionnelle à la norme de la densité surfacique normale au point P des actions de contact de (S1) sur (S2) : P t P (S1 S2 ) f n P (S1 S2 ) tP(S1S2 ) Figure 2 : Frottement cinétique (C. FAURY) f est appelé coefficient (ou facteur) de frottement sec. Ce frottement sec est indépendant de la vitesse de glissement. On définit l’angle tel que f tan , ce qui permet de placer fP (S1 S2 ) sur la surface d’un cône de sommet P, d’axe normal au plan (), et de demi-angle au sommet , appelé cône de frottement. est appelé angle de frottement. 3 4 Charles de Coulomb (voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Coulomb_(mécanique) ) « Coulomb friction » dans SimMechanicsTM STI2D – Parcours ET24 – Module de Ressources Formation des enseignants 2ème cas : Frottement statique ou d’adhérence5 V(P S 2 / S 1 ) 0 : Il n’y a pas glissement en P entre S1 et nP(S1S2 ) S2. fP (S S 1 2) fP(S1S2 ) est alors à l’intérieur du cône d’adhérence : tP(S1S2 ) f0 0 nP(S1S2 ) Le coefficient d’adhérence f0 a en général une valeur légèrement supérieure au coefficient de frottement f. Cette différence explique les phénomènes de « grincement » (« stick-slip »). P tP(S1S2 ) En pratique, cette différence est souvent négligeable. Figure 3 : Frottement statique (C. FAURY) Quelques valeurs de coefficients de frottement Couple de matériaux en contact f f0 acier / glace mouillée 0,02 0,02 acier / PTFE (téflon) 0,05 0,05 0,05 0,1 0,2 0,15 bronze / acier acier / acier acier / garniture de friction (frein, embrayage,…) 0,25 0,4 pneu / chaussée sèche 0,5 0,8 pneu / chaussée mouillée 0,35 0,5 Il faut noter que le coefficient de frottement f est caractéristique du couple de matériaux constituant les solides en contact (S1) et (S2), ainsi que de leurs états de surface (rugosité) , et des conditions de lubrification. Au delà de certaines conditions de lubrification, les lois de Coulomb ne s’appliquent plus (non linéarité) et il faut faire appel à de plus précises lois de la tribologie (science du frottement) 1.2.2 Frottement « visqueux » C’est un modèle beaucoup plus simple, car linéaire. Au contact entre deux solides (liaison), à chaque composante de mouvement (translation, rotation) est associée une composante d’action mécanique de frottement proportionnelle à la vitesse du mouvement. Par exemple : pour une liaison pivot6 : cf f f : coefficient de frottement visqueux7 (en Nm/(rad/s)) 5 « Breakaway friction » dans SimMechanicsTM « Revolute joint » en anglais. 7 « Viscous friction coefficient » dans SimMechanicsTM 6 STI2D – Parcours ET24 – Module de Ressources Formation des enseignants pour une liaison glissière8 : ff f v f : coefficient de frottement visqueux (en N/(m/s)) 2 Mécanique du solide 2.1 Notion de solide Le solide réel est déformable. Le solide parfait9 est le modèle théorique que nous utiliserons : solide à masse constante solide indéformable, quelles que soient les sollicitations qu’il subit. 2.2 Repérage des solides La position d’un point dans l’espace est définie par rapport à un référentiel. On appelle référentiel, l’association d’un repère géométrique R(O,,,) et d’un repère temporel T(t0, 1s). Pour définir la position d’un point dans ce référentiel, on utilise 3 coordonnées dans un repère orthonormé direct10, lié à ce référentiel. Un repère est composé d’une origine (un point) et d’une base (un système de trois vecteurs directeurs orthonormés). On peut ne noter ainsi : R(O,,,) Pour connaitre la position de tous les points d’un solide (un infinité !) dans l’espace, il suffit de connaitre la position d’un repère lié à ce solide. La position du solide est alors déterminée par 6 paramètres indépendants. 1 Si on note R(O,,,) le repère de référence et R1(O1,1,1,1) le repère lié au solide, les paramètres de position de se solides, exprimés dans R correspondent à : Position du point O1 dans R : 3 coordonnées (cartésiennes, cylindriques ou polaires) = 3 paramètres de position linéaire Orientation de (1,1,1) par rapport à (,,) : 3 angles (par exemples angles d’Euler) = 3 paramètres de position angulaire On appelle « libertés » d’un solide par rapport à un référentiel, les mouvements indépendants de ce solide pour passer d’une position à une autre. On dit que le solide possède des degrés de liberté11, chacun contrôlés par : 8 Soit un paramètre de position linéaire = translation « Prismatic joint » en anglais Cette notion correspond au « Body » dans SimMechanicsTM 10 « Coordinate System (CS) » dans SimMechanicsTM 11 « Degrees of Freedom (DoFs) » dans SimMechanicsTM 9 O 1 1 Figure 4 : Référentiel et Repère lié à un solide (C. FAURY) 2.3 Notion de degré de liberté O1 Rz Tz O Ty Tx Rx Figure 5 : Degrés de liberté d’un solide (C. FAURY) STI2D – Parcours ET24 – Module de Ressources Ry Formation des enseignants Soit un paramètre de position angulaire = rotation Dans un repère R(O,,,), on pourra les noter : Tx, Ty, Tz et Rx, Ry, Rz. 2.4 Notion de système matériel En mécanique classique, un système matériel est un système composé de matière (solide, fluide,…) dont la masse est constante (on parle de système matériel à masse conservative). 2.5 Mécanisme Un mécanisme est un ensemble de solides reliés entre eux par des contacts, en vue de réaliser une ou plusieurs fonctions. Un ensemble de contact entre deux solides forme une liaison12. L’étude de ces liaisons est fondamentale pour décrire les mouvements et les actions mécaniques (forces et couples) qui vont être en jeu dans le fonctionnement de ce mécanisme. 2.6 Modélisation des liaisons 2.6.1 Notion de liaison Deux solides en contact sont dits « liés » : ils ne sont pas complètement libres l’un par rapport à l’autre : le contact limite le nombre de degrés de liberté. La liaison entre 2 solides est définie par la nature et la position des zones de contact, elle renseigne sur : les mouvements relatifs rendus impossibles par ce contact, des degrés de liberté sont supprimés. les actions mécaniques (forces et couples) transmissibles par ce contact. Remarque : Une liaison entre 2 systèmes matériels permet et bloque certains déplacements d'un système par rapport à l'autre. Pour un liaison parfaite, on remarque qu'il y a une relation entre les déplacements possibles et les actions transmissibles par une liaison. Transmission des actions : Une action mécanique sera transmise par une liaison parfaite si cette action n'entraîne pas de déplacement relatif entre les 2 systèmes matériels en contact. 2.6.2 Repère local lié à la liaison C’est un repère orthonormé direct, choisi de manière à caractériser simplement la géométrie du contact entre les deux solides, noté R(O,,,); où O est le centre géométrique du contact, et les vecteurs ,, sont orientés dans les directions privilégiées tenant compte des symétries du contact. 12 « Joint » dans SimMechanicsTM STI2D – Parcours ET24 – Module de Ressources Formation des enseignants 2.6.3 Liaisons usuelles Les cas les plus courants de liaison sont répertoriés dans par une Norme13, qui fournis à chaque liaison normalisée, un nom et des symboles de représentation (schéma) dans le plan et en perspective. Toute description d’une liaison doit préciser en plus du nom de la liaison, toutes les caractéristiques nécessaires à son positionnement dans l’espace : éléments géométriques (points, vecteurs) ou paramètres intrinsèques (pas pour la liaison hélicoïdale). Le tableau suivant présente les principales liaisons usuelles, leur symbolisation (faisant apparaitre le repère local de liaison) et leurs degrés de liberté exprimés dans ce repère local. Liaison sphère-plan de normale (P, ) ponctuelle Symbole 3D Equivalent SimMechanicsTM Symboles 2D Degrés de liberté Ru Rv Rw P . Tv Tw Non prédéfini, faire une liaison personnalisée : Custom joint P Equivalent SimMechanicsTM Liaison appui plan de normale Symbole 3D Symboles 2D Degrés de liberté Planar joint Ru . . . Tv Tw Liaison sphère-cylindre d’axe (P, ) linéaire annulaire Symbole 3D 13 Symboles 2D Equivalent SimMechanicsTM Degrés de liberté Telescoping NF EN 23952 / ISO 3952-1 STI2D – Parcours ET24 – Module de Ressources Formation des enseignants P P Ru Rv Rw P Tu . . joint Bearing joint Liaison cylindre-plan de normale et de ligne de contact (P, ) linéaire rectiligne (d’arête) Symbole 3D Symboles 2D Degrés de liberté Ru Rv . P Equivalent SimMechanicsTM P P . Tv Tw Custom joint Liaison sphérique de centre P rotule Symbole 3D Non prédéfini, faire une liaison personnalisée : Equivalent SimMechanicsTM Symboles 2D Degrés de liberté Spherical joint P Ru Rv Rw P . . . Liaison sphérique à doigt de centre P, de rotation interdite rotule à doigt Symbole 3D Symboles 2D Equivalent SimMechanicsTM Degrés de liberté Universal joint P P . Rv Rw . . . Equivalent SimMechanicsTM Liaison pivot glissant d’axe (P, ) Symbole 3D Symboles 2D Degrés de liberté Cylindrical joint STI2D – Parcours ET24 – Module de Ressources Formation des enseignants P P P Ru . . Tu . . Equivalent SimMechanicsTM Liaison pivot d’axe (P, ) Symbole 3D Symboles 2D Degrés de liberté Revolute joint P Ru . . P P . . . Equivalent SimMechanicsTM Liaison glissière de direction Symbole 3D Symboles 2D Degrés de liberté Prismatic joint . . . Tu . . Equivalent SimMechanicsTM Liaison hélicoïdale d’axe (P, ) et de pas p Symbole 3D P Symboles 2D P Degrés de liberté P Ru . . Tu . . Screw joint Liés par le pas p Figure 6 : Tableau de description des liaisons mécaniques usuelles (C. FAURY) STI2D – Parcours ET24 – Module de Ressources Formation des enseignants 3 Principe fondamental de la statique 3.1 Notion d’équilibre Un système matériel (S) est en équilibre dans un référentiel R(R,T) si, à tout instant t de T, chaque point de (S) conserve la même position par rapport à R. 3.2 Principe Fondamental de la Statique Il existe au moins un référentiel Rg, appelé référentiel galiléen, tel que pour tout système matériel (S) en équilibre dans Rg, le torseur des actions mécaniques de ( S ) sur (S) est nul. Equilibre de S par rapport à Rg F(S S) 0 Traduction analytique : Cela signifie que les éléments de réduction du torseur des actions extérieures sont nuls : la résultante est nulle le moment résultant est nul en tout point. 3.2.1 Théorème de la résultante statique Pour tout système matériel (S) en équilibre dans un référentiel Rg, la résultante des actions mécaniques exercées par (\S) sur (S) est nulle : 3.2.2 Théorème du moment statique Pour tout système matériel (S) en équilibre dans un référentiel Rg, le moment résultant en un point A quelconque des actions mécaniques exercées par (\S) sur (S) est nul : R SS 0 MA SS 0 STI2D – Parcours ET24 – Module de Ressources Formation des enseignants 4 Résolution d’un problème de statique Dans le cas général l’équilibre d’un système matériel se traduit par 2 équations vectorielles, donc par un système de 6 équations scalaires. Ceci permet de déterminer 6 inconnues au maximum. Soit un mécanisme composé de n sous ensembles, bâti non compris. En appliquant le P.F.S. aux n sous ensembles du mécanisme, on obtient au maximum Es = 6.n équations. On notera : Is = nombre d’inconnues statiques (inconnues apparaissant dans les torseurs des liaisons du mécanisme) rs = rang du système d’équations obtenu, rs 6.n N.B. : il est inutile d’écrire l’équilibre du bâti, ce qui introduirait des équations supplémentaires, mais introduirait autant d’inconnues supplémentaires (inconnues de liaisons entre le bâti et l’extérieur). 4.1 Notion d’isostatisme et d’hyperstatisme Un système est dit isostatique lorsque toutes les actions mécaniques de liaisons peuvent être déterminées par le système d’équations ci-dessus, c’est à dire lorsque Is = rs Un système est dit hyperstatique lorsque une ou plusieurs actions mécaniques de liaisons ne peuvent pas être déterminées par le système d’équations ci-dessus, c’est à dire lorsque Is rs On définit alors le degré d’hyperstatisme de ce mécanisme : h Is rs h est le nombre d’inconnues qu’on ne peut pas déterminer avec ce système d’équations. 4.2 Cas des mécanismes statiquement plans 4.2.1 Définition Un mécanisme est statiquement plan, si toutes les actions mécaniques extérieures ou intérieures sont modélisables par des torseurs dont les résultantes sont contenues dans un même plan (coplanaires), et dont les moments sont normaux à ce plan. Exemple : si un mécanisme est statiquement plan, de plan ( , ), alors (j;k) deux solides du mécanisme, le torseur modélisant l’action mécanique du solide k sur le solide j s’écrit : Cette condition est vérifiée notamment lorsque toutes les actions mécaniques sont symétriques par rapport à ce plan. Xkj 0 F(k j) Ykj 0 0 Nkj b P STI2D – Parcours ET24 – Module de Ressources Formation des enseignants 4.2.2 Résolution Il va s’agir de traduire graphiquement les équations vectorielles du P.F.S. Pour cela, on a besoins de deux espaces superposables : L’épure : un espace de points de dimension 2 permettant de représenter la géométrie (solides, points, …). Il peut s’agir d’un schéma cinématique ou de toute autre représentation plane du système (à l’échelle !) Le dynamique : un espace vectoriel permettant de représenter les vecteurs forces La superposition de ces deux espaces permet bien de représenter des glisseurs (un vecteur force + un point d’application). F3 L’équation de la résultante se traduit graphiquement des vecteurs mis bout à bout de telle sorte que la boucle soit fermée. On parle de dynamique fermé. F1 F2 F3 F4 0 Remarque : l’ordre du tracé n’a aucune importance … F3 dynamique F4 F2 F3 F1 F2 F1 F2 F4 F1 F4 Figure 7 : Fermeture du dynamique (C. FAURY) L’équation de moment ne peut pas se traduire par une représentation des vecteurs moment, mais a des répercutions sur la position des lignes d’action tracé sur l’épure. 4.2.3 Cas particulier d’un système soumis à 2 glisseurs Soit S un système matériel soumis à l’action de deux glisseurs : F1 et F2 . équation de la résultante : F1 F2 0 dynamique équation du moment au point P : MP F1 MP F2 0 F1 PA F1 PB F2 0 PA F1 F2 AB F2 0 A AB F2 0 B AB //F2 et de même AB//F1 P Si un système matériel soumis à l’action de 2 forces est en équilibre, alors ces 2 forces sont directement opposées (même droite d’action, même intensité, sens opposé) épure F2 Figure 8 : Epure et dynamique pour un système soumis à 2 forces (C. FAURY) STI2D – Parcours ET24 – Module de Ressources Formation des enseignants 4.2.4 Cas particulier d’un système soumis à 3 glisseurs Soit S un système matériel soumis à l’action de trois glisseurs seulement : F1 , F2 et F3 . équation de la résultante : F1 F2 F3 0 équation du moment au point A : AB F2 AC F3 0 dynamique AB F plan (F ; AB) et AC F plan (F ; AC) . Ces deux plans // ont le 2 2 3 F1 3 F2 point A en commun, ils sont donc confondus. Donc F1; F2 ; F3 plan ( A; B; C) F3 F1 F1,F2 etF3 sont donc coplanaires. A Soit I 2 3 . En ce point l’équation de moment donne AI F1 0 donc I 1 I C F3 3 1 , 2 et 3 sont donc concourantes. 1 B Si un système matériel soumis à l’action de 3 forces est en équilibre, alors ces 3 forces sont : coplanaires concourantes ou parallèles de somme vectorielle nulle épure F2 2 Figure 9 : Epure et dynamique pour un système soumis à 3 forces (C. FAURY) 4.3 Démarche de résolution STI2D – Parcours ET24 – Module de Ressources
