1 Modélisation des actions mécaniques

STI2D – Parcours ET24 – Module de Ressources
Formation des enseignants
ET24 : modèle de comportement d’un système
Corpus de connaissance : Comportement Mécanique des systèmes
Table des matières
1 Modélisation des actions mécaniques .......................................................................................... 2
1.1 Définition ................................................................................................................................... 2
1.2 Frottement ................................................................................................................................. 3
1.2.1 Frottement « Solide »............................................................................................................................4
1.2.2 Frottement visqueux .............................................................................................................................5
2 Mécanique du solide ...................................................................................................................... 6
2.1 Notion de solide ........................................................................................................................ 6
2.2 Repérage des solides ................................................................................................................ 6
2.3 Notion de degré de liberté ......................................................................................................... 6
2.4 Notion de système matériel ....................................................................................................... 7
2.5 Mécanisme ................................................................................................................................ 7
2.6 Modélisation des liaisons ........................................................................................................... 7
2.6.1 Notion de liaison ...................................................................................................................................7
2.6.2 Repère local lié à la liaison ...................................................................................................................7
2.6.3 Liaisons usuelles ...................................................................................................................................8
3 Principe fondamental de la statique ............................................................................................11
3.1 Notion d’équilibre......................................................................................................................11
3.2 Principe Fondamental de la Statique ........................................................................................11
3.2.1 Théorème de la résultante statique ................................................................................................... 11
3.2.2 Théorème du moment statique .......................................................................................................... 11
4 Résolution d’un problème de statique .........................................................................................12
4.1 Notion d’isostatisme et d’hyperstatisme ....................................................................................12
4.2 Cas des mécanismes statiquement plans ................................................................................12
4.2.1 Définition ............................................................................................................................................ 12
4.2.2 Résolution .......................................................................................................................................... 13
4.2.3 Cas particulier d’un système soumis à 2 glisseurs ............................................................................ 13
4.2.4 Cas particulier d’un système soumis à 3 glisseurs ............................................................................ 14
4.3 Démarche de résolution ...........................................................................................................14

STI2D – Parcours ET24 – Module de Ressources
Formation des enseignants
1 Modélisation des actions mécaniques
1.1 Définition
On appelle effort (ou action mécanique) un phénomène physique susceptible de :
 provoquer ou de modifier le mouvement d’un système matériel
 maintenir en équilibre un système matériel
 déformer un système matériel
Conséquence : il ne faut pas confondre l’effort (la cause) avec les effets qu’il provoque. On ne détecte
les composantes d’un effort que par l’observation de ses effets ! (voir chapitre « principe de causalité »)
Modèle de connaissance :
En mécanique classique, les actions mécaniques sur un système matériel peuvent avoir pour origine :
 Un contact avec un autre système matériel (solide ou pas)
 Un champ de pesanteur
 Un champ magnétique
 …
Chacune de ces « sources » agit à différents niveaux sur la matière :
 Contact : action surfacique (sur des éléments de surface du système matériel : dS)
 Champ de pesanteur : action sur les éléments de masse du système : dm
 Champ électromagnétique : action sur les éléments de courant électrique parcourant le système
di
 …
Et font appel à des lois physiques très variés (lois de Hertz et tribologie pour les contacts par exemple).
Modèle de comportement :
On modélise habituellement les actions mécaniques de manière globale. A une cause, on associe une
expression d’effort. Ainsi, l’action mécanique d’un système matériel S1 sur un système matériel S2
pourra être notée de la manière suivante :
12
12
SS
12 ASS
A
R
F S S M
Torseur
1
d’action mécanique
A est appelé point de réduction du torseur d’action mécanique.
1
Voir « Formulaire de Mathématiques »
12
SS
R
est appelée résultante de l’action mécanique de (S1)
sur (S2) (unité : Newton – N);
12
ASS
M
est appelé moment au point A de l’action
mécanique de (S1) sur (S2) (unité : Newton Mètre –
N.m);

STI2D – Parcours ET24 – Module de Ressources
Formation des enseignants
On peut également se passer de la notation torseur en modélisant une action mécanique à l’aide de
deux vecteurs :
 Une force
12
SS
F
(en N) et un point d’application (on parle alors de glisseur)
 Un couple
2
12
SS
C
(en Nm)
Les 4 notations suivantes décrivent une même action mécanique, on parle également d’actions
mécaniques statiquement équivalentes :
Notation torseur
12
SS
F
appliquée en B
12
SS
F
appliquée en A
12
SS
C
Notation vecteurs
12
SS
B
R
0
12
12
SS
ASS
A
R
M
1.2 Frottement
Définition : les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif
entre deux systèmes en contact. (wikipédia)
L’étude des frottements entre systèmes matériels s’appelle la tribologie.
2
En anglais « force » et « torque ». L’outil torseur n’est pas employé dans les pays anglo-saxons. Le point
d’application de la force n’est pas toujours donné explicitement.
Figure 1 : Notations d’actions mécaniques statiquement équivalentes
(image : Wikipédia - annotations : C. FAURY)
A
A
B
12
SS
R
12
SS
R
12
ASS
M
S2
S2
S1
12
SS
F
12
SS
F
12
SS
C
A
A
B
S2
S2
S1

STI2D – Parcours ET24 – Module de Ressources
Formation des enseignants
Modèle de connaissance :
La tribologie est une science complexe par le fait que les frottements ne sont pas dus à une interaction
élémentaire mais résultent de causes diverses, principalement des forces électromagnétiques et de
l'interaction d'échange entre les atomes des surfaces en contact. Ces mêmes forces sont également en
jeu dans l'adhérence (s'opposant à la création d'un mouvement), qui pour cette raison peut être étudiée
conjointement. (d’après wikipédia)
Modèle de comportement :
On distingue deux modèles complémentaires de frottement :
 Le frottement « sec » : modèle de Coulomb
3
(modèle non linéaire)
 Le frottement « fluide » ou « visqueux » : modèle linéaire
1.2.1 Frottement « sec »
Soient S1 et S2 deux solides en contact.
Localement (au point de contact P) l’action mécanique de S1 sur S2 (
12
P(S S )
f
) se décompose en une
action normale
12
P(S S )
n
et une action tangentielle
12
P(S S )
t
au plan tangent commun aux solides ().
1er cas : Frottement cinétique ou de glissement
4
0)S/SP(V 12
: Il y a glissement en P entre S1 et S2.
Alors
12
P(S S )
t
est colinéaire et de sens opposé à la
vitesse de glissement :
La norme de la densité surfacique tangentielle au point P,
est proportionnelle à la norme de la densité surfacique
normale au point P des actions de contact de (S1) sur (S2) :
)SS(
P
)SS(
P2121 nft  
 f est appelé coefficient (ou facteur) de frottement
sec.
Ce frottement sec est indépendant de la vitesse de glissement.
On définit l’angle  tel que
 tanf
, ce qui permet de placer
)SS(
P21
f
sur la surface d’un cône de
sommet P, d’axe normal au plan (), et de demi-angle au sommet , appelé cône de frottement.
  est appelé angle de frottement.
3
Charles de Coulomb (voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Coulomb_(mécanique) )
4
« Coulomb friction » dans SimMechanicsTM
P
12
P(S S )
f
12
P(S S )
n
12
P(S S )
t
21
V(P S /S ) 0
Figure 2 : Frottement cinétique (C. FAURY)

STI2D – Parcours ET24 – Module de Ressources
Formation des enseignants
2ème cas : Frottement statique ou d’adhérence
5
0)S/SP(V 12
: Il n’y a pas glissement en P entre S1 et
S2.
)SS(
P21
f
est alors à l’intérieur du cône d’adhérence :
1 2 1 2
P(S S ) 0 P(S S )
t f n
Le coefficient d’adhérence f0 a en général une valeur
légèrement supérieure au coefficient de frottement f. Cette
différence explique les phénomènes de « grincement »
(« stick-slip »).
En pratique, cette différence est souvent négligeable.
Quelques valeurs de coefficients de frottement
Couple de matériaux en contact
f
f0
acier /
glace mouillée
0,02
0,02
acier /
PTFE (téflon)
0,05
0,05
bronze /
acier
0,05
0,1
acier /
acier
0,2
0,15
acier /
garniture de friction (frein, embrayage,…)
0,25
0,4
pneu /
chaussée sèche
0,5
0,8
pneu /
chaussée mouillée
0,35
0,5
1.2.2 Frottement « visqueux »
C’est un modèle beaucoup plus simple, car linéaire.
Au contact entre deux solides (liaison), à chaque composante de mouvement (translation, rotation) est
associée une composante d’action mécanique de frottement proportionnelle à la vitesse du mouvement.
Par exemple :
 pour une liaison pivot
6
:
f
cf
f : coefficient de
frottement visqueux
7
(en Nm/(rad/s))
5
« Breakaway friction » dans SimMechanicsTM
6
« Revolute joint » en anglais.
7
« Viscous friction coefficient » dans SimMechanicsTM
P
12
P(S S )
f
12
P(S S )
n
12
P(S S )
t
0
Figure 3 : Frottement statique (C. FAURY)
Il faut noter que le coefficient de frottement
f est caractéristique du couple de
matériaux constituant les solides en
contact (S1) et (S2), ainsi que de leurs
états de surface (rugosité) , et des
conditions de lubrification.
Au delà de certaines conditions de
lubrification, les lois de Coulomb ne
s’appliquent plus (non linéarité) et il faut
faire appel à de plus précises lois de la
tribologie (science du frottement)