LES NOMBRES INTERESSANTS
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LES NOMBRES INTERESSANTS C’est une activité visant à enrichir la connaissance des nombres. Elle répond à la difficulté constatée pour décomposer un nombre sous forme multiplicative en vue de simplifier l’écriture de sa racine carrée. Objectifs de l’activité - utiliser les décompositions multiplicatives d’un nombre pour exprimer n où n est un entier, sous la forme a b avec a et b entiers ; - faire prendre conscience que cette transformation n’est possible que pour certains nombres ; - élaborer une stratégie en vue de simplifier l’écriture d’une racine carrée. Matériel : - la fiche jointe en annexe et une calculatrice pour les élèves ; - éventuellement la fiche comportant le tableau photocopié sur un transparent. Déroulement : (Au cours des séances précédentes, les élèves ont découvert la nécessité des transformations d’écriture et la propriété a b = a b) 1/ Le professeur propose dans un premier temps de chercher toutes les décompositions sous forme d’un produit de deux entiers des nombres 50, 32, 49, et 10. Il demande ensuite, parmi ces décompositions, lesquelles sont intéressantes pour simplifier : 50 ; 32 ; 49 ; 10. Puis il introduit le vocabulaire propre à cette activité : Dans cet exercice, on dira que : 49 est « un carré parfait », 50 est « un nombre intéressant », 32 « un nombre très intéressant » et 10 est « un nombre non intéressant » 49 est : « un carré parfait », 49 = 7. On peut écrire sa racine carrée sous la forme d’un entier. 50 est : « intéressant » car on peut écrire 50 = 25 2 = 5 2. On obtient une seule écriture simplifiée du type a b avec a 1. 32 est : « très intéressant » car on peut écrire 32 = 4 8 = 2 8 ou 32 = 16 2 = 4 2 On peut obtenir deux écritures simplifiées du type a b avec a 1. 10 est : « non intéressant », 10 = 10. On ne peut pas écrire sa racine sous la forme simplifiée a b avec a 1. 49 I R E M d e L y o n l ’ a r i t h m é t i q u e a u c o l l è g e ? 2/ L’enseignant distribue alors le tableau et invite les élèves à le compléter : - en mettant une croix pour les racines carrées des nombres «non intéressants» ; - en écrivant le nombre entier correspondant à la racine carrée pour les nombres qui sont des carrés parfaits (on peut aussi donner d’autres écritures pour certains de ces nombres, par exemple 16 = 4 = 2 4 ) ; - en écrivant la ou les écritures différentes pour les autres racines carrées. Le travail peut se faire individuellement ou par deux. Le professeur précise qu’il sera à terminer à la maison. Les élèves commencent par décomposer les nombres un à un. Un certain nombre d’élèves perçoivent rapidement que les multiples de 4, puis de 9 sont au moins « intéressants ». A partir de ce moment, le professeur peut procéder à une première mise en commun portant uniquement sur les méthodes justes proposées par les élèves, qui permettent de remplir plus rapidement le tableau. Avant de remettre les élèves au travail, il rappelle qu’il faut aussi chercher les nombres « très intéressants ». 3/ A la séance suivante, la mise en commun peut être conduite au rétroprojecteur. Le tableau est rempli au fur et à mesure des interventions des élèves, en mettant l’accent sur les stratégies employées. Le professeur demande par exemple : « Comment avez vous procédé ? Qu’avez vous remarqué ? Qu’est ce qui vous a permis de gagner du temps ?… » Les échanges doivent faire apparaître : - des régularités dans le remplissage de la grille (de 4 en 4, de 9 en 9, …) ; - la faible fréquence des nombres « intéressants » ; - des désaccords pour la décomposition de certains nombres en particulier 72. On peut trancher en exhibant toutes les décompositions produites. Ce qui fait de 72 un nombre « très très intéressant » (72 = 4 18 = 9 8 = 36 2), sa racine possède 3 écritures simplifiées. 4/ L’activité se termine par la recherche des exercices proposés en annexe. Commentaires : Bien qu’au premier abord, cet exercice présente un côté répétitif, les élèves sont actifs et participent beaucoup au débat. Les élèves apprécient la grille qu’ils trouvent très utile lors des premiers exercices. Le danger est, bien sur, qu’ils n’arrivent pas à s’en passer. Il convient d’être vigilant et de limiter son usage. Comme prolongement, on peut proposer des exercices type brevet : 2 112 – 3 175 + 7 63 = … où on ne « souffle » pas le 7 facteur commun aux 3 nombres écrits sous le radical. Les élèves gardent de cette activité le réflexe de tester si un nombre sous un radical est divisible par 4 et par 9 (plus rarement, par 16 et 25) ; ils se sentent moins démunis devant une simplification de racine carrée. Dans les exercices d’addition de nombres sous forme de racines, ils ont une méthode pour trouver le diviseur commun et réussissent mieux les exercices type brevet. 50 I R E M d e L y o n l ’ a r i t h m é t i q u e a u c o l l è g e ? On peut imaginer d’adapter « le jeu de Pénélope » (voir p 41 de cette brochure), et de proposer aux élèves une méthode analogue. On part d’un nombre, on veut l’écrire sous la forme d’un produit et on lui applique les transformations suivantes : règle 1 : A chaque ligne, le produit doit contenir un nombre de plus qu’à la ligne précédente et un des facteurs du nouveau produit doit être un carré parfait. Lorsqu’on ne peut plus continuer, on passe à la règle 2. règle 2 : A chaque ligne, le produit doit contenir une ligne de moins qu’à la ligne précédente et un des facteurs est un carré parfait. D’autre part, on ne doit pas retrouver une décomposition déjà écrite (8 4 est la même décomposition que 4 8). 32 Pour 32 Pour 50 4 4 x 8 x 2 x 16 x 2 4 Pour 10 il n’existe pas de décomposition 50 2 x 25 50 32 51 I R E M d e L y o n l ’ a r i t h m é t i q u e a u c o l l è g e ? Les no mb r e s i n tér e s sa n ts 1 25 49 2 26 50 3 27 4 An ne x e 73 97 121 74 98 122 51 75 99 123 28 52 76 100 124 5 29 53 77 101 125 6 30 54 78 102 126 7 31 55 79 103 127 8 32 56 80 104 128 9 33 57 81 105 129 10 34 58 82 106 130 11 35 59 83 107 131 12 36 60 84 108 132 13 37 61 85 109 133 14 38 62 86 110 134 15 39 63 87 111 135 16 40 64 88 112 136 17 41 65 89 113 137 18 42 66 90 114 138 19 43 67 91 115 139 20 44 68 92 116 140 21 45 69 93 117 141 22 46 70 94 118 142 23 47 71 95 119 143 24 48 72 96 120 144 2 8 4 2 5 2 53 D e I R E M d e L y o n l ’ a r i t h m é t i q u e a u c o l l è g e ? 1 Les no mb r e s i n tér e s sa n ts An ne x e 2 Exercices : 1) 72 est un nombre « très très intéressant » car : 72 = 2 18 = 3 12 = 6 2. Y en a-t-il d’autres dans le tableau ? Lesquels ? 2) Trouver les nombres « très très intéressants » compris entre 144 et 200. 3) Trouver un nombre impair « très très intéressant ». 4) Trouver le plus petit nombre se terminant par 5 qui soit « intéressant », puis le plus petit nombre se terminant par 5 qui soit « très intéressant ». 5) Trouver un nombre « très intéressant » dont une décomposition est 7 … . Exercices : 1) 72 est un nombre « très très intéressant » car : 72 = 2 18 = 3 12 = 6 2. Y en a-t-il d’autres dans le tableau ? Lesquels ? 2) Trouver les nombres « très très intéressants » compris entre 144 et 200. 3) Trouver un nombre impair « très très intéressant ». 4) 5) Trouver le plus petit nombre se terminant par 5 qui soit « intéressant », puis le plus petit nombre se terminant par 5 qui soit « très intéressant ». Trouver un nombre « très intéressant » dont une décomposition est 7 … . Exercices : 1) 72 est un nombre « très très intéressant » car : 72 = 2 18 = 3 12 = 6 2. Y en a-t-il d’autres dans le tableau ? Lesquels ? 2) Trouver les nombres « très très intéressants » compris entre 144 et 200. 3) Trouver un nombre impair « très très intéressant ». 4) Trouver le plus petit nombre se terminant par 5 qui soit « intéressant », puis le plus petit nombre se terminant par 5 qui soit « très intéressant ». 5) Trouver un nombre « très intéressant » dont une décomposition est 7 … . 55 D e I R E M d e L y o n l ’ a r i t h m é t i q u e a u c o l l è g e ?
