Chute d`une tartine beurrée Plan : I) Recherche de paramètres

Chute
d'une tartine
beurrée

Plan :
I) Recherche de paramètres significatifs
II) Modélisation
III) Expériences et interprétation
Introduction
L'ensemble de "lois" connues sous le nom de "lois de Murphy" est étendu, et il contient
des explications à des phénomènes divers et variés. Il y a par exemple la "loi de l'arrêt de
bus", qui prédit que les bus arrivent toujours par deux, voire par trois, la loi de Finagle ( "Si
quelque chose de mal peut se produire, cela arrivera." ), ou encore l'expression très
connue de "loi des séries". Ce sont bien sûr des exemples amusants et souvent farfelus,
mais il arrive que ceux-ci aient une réelle signification scientifique, en-dehors de toute
croyance à un hasard malveillant.
Ainsi, la "loi de l'arrêt de bus" s'explique par le fait que le premier de deux bus va devoir
ramasser un maximum de passagers, alors que le suivant ne fera monter que quelques
personnes : si les horaires sont mal pensés, il est fort probable qu'au bout d'un certain
temps, les deux bus se suivent !
L'un des "applications" les plus célèbres des "lois de Murphy" est la "loi de la tartine
beurrée". Celle-ci énonce qu'une tartine beurrée qui échappe des mains de quelqu'un est
vouée à tomber face beurrée sur le sol, provoquant ainsi l'ire du propriétaire de ladite
tartine ( et même quelques dégâts si la tartine était recouverte de confiture ! ). C'est un
phénomène que chacun a pu observer au moins une fois en prenant un petit-déjeuner, et
cela ne peut manquer de soulever des questions.
La "loi" est-elle fondée ? Quelles en sont les explications possibles ?
Des expériences plus ou moins sérieuses ont été menées à ce sujet, et l'étude menée ici
commencera donc par s'appuyer sur celles-ci afin de discerner les facteurs significatifs qui
font que la tartine retombe du côté beurré ou non.

1) Réflexions préalables.
Ce problème a été abordé sous différents angles, et plusieurs facteurs sont avancés.
Intéressons-nous à ces listes afin de voir ce qui peut réellement jouer un rôle dans
l'expérience.
Il est évident qu'il y a là un phénomène dû à de la dynamique, et il faut chercher les
causes qui amènent à une chute systématique du côté beurré. On peut considèrer
principalement deux aspects : la force de gravitation, et d'éventuelles forces de
frottements fluides lors de la chute.
Examinons le cas des forces de frottements, de façon grossière, pour voir si l'on peut les
négliger. La tartine tombe d'une table d'environ un mètre en environ une seconde, ce qui
fait une vitesse verticale d'à peu près 1 m.s-1. Elle effectue une rotation d'environ π
radians en cette même seconde ( puisqu'elle se retourne ), ce qui donne une vitesse
angulaire de π rad.s-1. Si l'on prend une tartine de 10 cm de côté ( ce qui a été choisi pour
les expériences menées ), cela donne une vitesse linéaire liée à la rotation d'environ 5.π
cm.s-1, ce qui peut être converti en à peu près 0,15 m.s-1.
Or on sait que l'on néglige toujours les frottements sur des distances aussi faibles pour les
chutes verticales, et la faible vitesse de rotation nous amène à négliger également un
éventuel couple de frottements apparaissant à cause de ce mouvement. On néglige donc
totalement les frottements.
En ce qui concerne la force de gravitation, plusieurs facteurs sont importants.
Il est amusant de se rendre compte, tout d'abord, qu'un cracker ( ou tout objet relativement
petit comparé à une tartine ) fera un tour sur lui-même, et retombera du "bon" côté : si l'on
beurrait des crackers, il n'y aurait pas de problème.
Il semble donc que la taille de la tartine joue un rôle dans le résultat obtenu.
Deuxièmement, on sait que la rotation de la tartine s'arrête au contact du sol, et que
l'angle dont a tourné la tartine depuis le début de sa chute est donc conditionné par le
temps mis à effectuer cette chute. Or, ce temps est relié à la hauteur de la table, par la
relation t= . Autrement dit, plus la table est haute, plus la tartine aura tourné d'un
angle important. Il faut donc en tenir compte.
Il faut encore examiner ce qui se passe au début de l'expérience, avant que la tartine ne
tombe en chute libre.
Deux cas sont alors possibles : soit on considère le cas où l'on lâche la tartine, en se
tenant debout ou assis, soit on considère le cas où la tartine tombe d'une table
"spontanément". Les expériences menées s'intéressent à ce deuxième cas, mais on peut
faire un parallèle avec le premier pour ce qui concerne cette partie du problème.
La tartine tourne autour d'un axe ( celui reliant les doigts du gourmet pour le premier cas,
celui du bord de la table pour le second ) lors d'une première phase, avant de se
"dégager" et de tomber. Il y a donc un angle de départ formé entre la tartine et
l'horizontale, qui n'est pas nul a priori. Cela nous fournit un autre paramètre.
La tartine se comportera différemment selon qu'elle est posée plus ou moins en équilibre
sur le bord du support : on définit alors ( cela se retrouve dans la littérature scientifique )
un coefficient de surplomb η qui est le rapport de la distance entre le centre de la tartine et

le bord de la table sur sa largeur.
Plusieurs remarques à propos de l'angle de départ : tout d'abord, c'est un paramètre plutôt
difficile à déterminer. A l'oeil nu, il est impossible de discerner clairement le moment où la
tartine cesse de glisser et commence à tomber, et même après une acquisition vidéo,
l'exploitation n'est pas beaucoup plus évidente. En effet, en supposant une fréquence
d'acquisition de 30 images/seconde ( fréquence effectivement utilisée lors des
expériences ), on obtient une incertitude d'à peu près 0,06 secondes sur la détermination
du moment où la seconde phase du mouvement commence ( cela représente donc une
incertitude proche de π/15 rad ).
De plus, c'est au début du mouvement que l'incertitude expérimentale est la plus grande.
Dans le cas qui nous intéresse ici, il faut distinguer deux possibilités : le fait de lâcher une
tartine, ou de la lancer en l'air. Un exemple frappant de la variabilité des résultats obtenus
est visible dans deux études très sérieuses : Robert Matthews, en 2001, a fait lancer à des
écoliers du Royaume-Uni près de 21 000 tartines, et n'obtint un taux de tartines tombant
sur le côté beurré que de 62 %. Cela conforte l'idée qu'il y a une cause profonde et
statistiquement importante qui fait que la tartine retombe du côté beurré, mais on est loin
d'une valeur aux alentours de 100 % à laquelle on pourrait s'attendre. Dans une deuxième
série d'expériences, le taux a même chuté à 53 % !
En fait, cette fluctuation du résultat est dû au fait que les lancers ne sont pas tous
équivalents : les élèves donnaient plus ou moins de hauteur, de vitesse de rotation et
même d'inclinaison lors du lancer, ce qui veut dire que les résultats obtenus sont
réellement sujets à caution.
Reste la question d'une éventuelle discontinuité de la densité causée par la présence du
beurre, et sur ce point la littérature disponible n'est pas unanime. Le site h2g2 ainsi qu'un
article de Sciences et Vie lui concèdent une importance réelle mais très faible, alors que
Robert Matthews, qui a reçu en 1996 un prix Ig Nobel pour son étude de la question, n'en
prend pas compte. La densité du beurre est ( moyenne de trois sources ) d'environ 0,85.
On compare cette valeur à la densité du pain : on a trouvé une moyenne de 0,35 à peu
près, ce qui représente effectivement une différence importante. Toutefois, si on considère
que la couche de beurre représente une épaisseur très mince ( de l'ordre de 0,5 mm, voire
moins ) comparée à la hauteur de la tartine ( au moins 1 cm ), on en arrive à négliger cet
effet. Avec les valeurs proposées, on obtient un volume de beurre 20 fois plus petit que
celui de pain. L'influence d'une couche de beurre "normale" est donc très limitée.
On garde en définitive quatre paramètres principaux ( en éliminant le problème de la non-
homogénéité de la masse volumique ), qui doivent permettre de décrire le mouvement de
la tartine : la hauteur de la table, l'angle où la tartine quitte la table, les dimensions de la
tartine et le coefficient de surplomb.
L'idée est alors de modéliser dans un premier temps l'effet de ces paramètres par rapport
à une tartine "standard" ( les expériences se sont appuyées sur une tartine carrée de dix
centimètres de côté, et on prend donc cette valeur ), et de voir à quelles occasions la
tartine pourrait retomber du côté non beurré.

2) Modélisation
a) Première phase : rotation autour du bord de la table
On repère l'angle θ comme indiqué sur la figure suivante.
On cherche dans un premier temps à calculer θ(t), puis sa variation au cours du temps,
ω(t), en raisonnant sur la conservation de l'énergie mécanique.
Ep = - m.g.zG. Or : zG = η.a.sin(θ), par définition de η et θ.
Ec = (JΔ.ω²)/2.
On calcule JΔ.
Par théorème de Huygens, on a : JΔ = JG + m.(GΔ)², où GΔ représente la distance de G
au bord de la table, qui vaut η.a. De plus, JG = (m.a²)/3 pour un rectangle en son centre
d'inertie.
D'où : Em = Ec + Ep = - m.g.η.a.sin(θ) + m.(a²/3 + (η.a)²).ω²/2.
On sait que Em(t) = Cte, or Em(t=0) = 0, en prenant l'origine à la hauteur de la table.
D'où : A tout instant t, on a : - m.g.η.a.sin(θ) + m.(a²/3 + (η.a)²).ω²/2 = 0.
On a alors : ω² = (g/a) . (η.sin(θ)) / (1/6 + η²/2).
ω² = (g/a) . ((6.η) / (1 + 3.η²)) . sin(θ). On voit que la vitesse de rotation au moment
d'aborder la deuxième phase est entièrement déterminée par la donnée de l'angle auquel
la tartine quitte la table. Notons cette vitesse ω0, et cet angle θ0.