2) 3) 4) MOUVEMENT DES SATTELITES ENONCE 1

2)
4)
3)
MOUVEMENT DES SATTELITES
ENONCE
1- Le tableau ci-contre comporte des données relatives à deux type de satellites artificiels de la Terre en
rotation uniforme dans le référentiel géocentrique.
a) L’une de ces satellites est dit géostationnaire. Indiquer lequel et justifier la réponse.
b) L’autre satellite est appelé satellite à « défilement» ; il évolue dans le plan contenant l'axe des pôles.
Donner une explication de ce terme.
METEOSAT
SPOT
1977
1986
1981
1990
Altitude (km)
35 800
832
Période (min)
1 436
102
Champ d’observation au sol
Quasiment la moitié de la
surface terrestre
Carré de 3 600
km2
Date de lancement
Connaissant l'altitude de chacun de ces satellites, on se
propose de vérifier par le calcul leur période révolution.
- La valeur du champ de pesanteur (attraction terrestre) à l'altitude h est donnée par
,avec
go: intensité de la pesanteur au sol et R: rayon de la Terre.
a) En appliquant la deuxième loi de Newton au mouvement circulaire uniforme du satellite, déterminer
l'expression de la vitesse de chaque satellite.
b) Définir la période de révolution de chaque satellite et donner son expression en fonction de go, R et h .
c) Calculer les périodes des deux satellites connaissant leurs altitudes.
Données : R=6380km et go= 9,8m.s-2.
CONSEILS
SOLUTION
On doit connaître l’ordre de grandeur
de l’altitude d’un satellite
géostationnaire (environ 36 000 km).
1) a- Le satellite METEOSTAT Placé en orbite autour de la
Terre à 36 000km d’altitude, est géostationnaire.
Comparer cette période à celles
données dans le tablea ; elle doit
correspondre à un jour, période d’un
satellite géostationnaire.
En effet, sa période donnée dans le tableau ci-dessus est
égale au jour sidéral :
T = 1436 x 60 = 86 160s.
b) Dans le référentiel terrestre, le plan de la trajectoire de
Savoir qu’un satellite à défilement n’est
pas fixe par rapport à la Terre. Sa
période est différente de celle de
rotation propre de la Terre.
ce satellite n’est pas fixe, mais tourne autour de l’axe des
pôles. Ce satellite « balaie » la surface de la Terre.
Projeter la relation de la dynamique
dans le repère de Frenet et utiliser les
expressions des deux composantes de
l’accélération.
Utiliser la donnée du texte exprimant
gh.
2) a- Théorème du centre d’inertie :
Soit
Utiliser la définition de la période en
fonction de la vitesse linéaire.
Convertir les distances en mètre et
regrouper les termes constants utiles
dans les deux applications afin de ne
les calculer qu’une fois.
Soit, dans le repère de Frenet :
A l’altitude h, r = R + h, alors :
b) Par définition,
c) A.N : T = 86 200s, soit 1 437 min pour METEOSAT.
T = 6 090s, soit 102 min pour SPOT.
CONNAISSANCES
ESSENTIELLES DU COURS
1 A1 Accélération d'un satellite
1) Donner l'expression de la valeur de l'accélération d'un satellite terrestre en fonction
de G, r et MT.
2) Préciser la signification de chaque lettre.
3) Le vecteur accélération est-il centripète ou centrifuge?
2 A1 Satellite en orbite circulaire
On considère un satellite terrestre en orbite circulaire.
1) Le vecteur vitesse du satellite est-il constant?
2) La valeur de la vitesse est-elle constante?
3) Le mouvement du satellite est-il uniforme?
3 A1 Satellite géostationnaire
Afin de préciser le mouvement d'un satellite géostationnaire, répondre aux questions
suivantes:
1) La période de rotation de la Terre autour de l'axe de ses pôles est 1 jour sidéral, soit
86 164 s. Dans quel référentiel cette période de rotation est-elle mesurée?
2) a) Dans quel référentielle satellite géostationnaire est-il immobile?
b) Quelle est sa période de rotation dans le référentiel géocentrique?
3) La trajectoire du satellite géostationnaire. dans le repère géocentrique, peut-elle être
dans un plan :
a) méridien passant par l'axe des pôles?
b) passant par l'équateur?
c) contenant Paris?
4) L'altitude d'un tel satellite est-elle environ égale à:
360 km ? 3 600 km ? 36 000 km ?
5) Donner une utilisation des satellites géostationnaires.
4 A 1 Mouvement des planètes du système solaire
1) Dans quel référentielles trajectoires des planètes snt-elles approximativement
circulaires?
2) Donner l'expression littérale de la troisième loi de Kepler et préciser les termes.
3) Les satellites d'une planète obéissent-ils à la troisième loi de Kepler?
4) a) Les trajectoires des planètes dans le référentiel héliocentrique sont-elles planes?
b) Qu ' est-ce que l'écliptique?
c) Le centre du Soleil se trouve-t-il hors du plan de l'écliptique?
APPLICATIONS
DIRECTES DU COURS
Altitude, période et vitesse d'un satellite (Ex. 5 à 7)
Données utiles-pour les exercices de 5 à 8 :
vitesse du satellite:
avec G = 6,67.10-11 N. m2• kg-2, go = 9,80 m.s-1et RT = 6380km.
5 A2 Le satellite EXPLORER avait une trajectoire circulaire à une altitude de 180 km.
Calculer sa
6 A2 Un
Terre, a une
1) Calculer
vitesse et période de révolution.
satellite, placé sur une orbite circulaire dans le plan équatorial de la
période de 7,82 h par rapport au référentiel géocentrique.
l'altitude de ce satellite.
2) Déterminer la masse de la Terre.
7 A2 MÉTÉOSAT est un satellite météorologique géostationnaire.
1) a) Définir
le terme « géostationnaire ».
b) Préciser le plan de l'orbite.
2) Quelle est la période de révolution de ce satellite par rapport au référentiel
géocentrique?
Donnée: période de rotation propre de la Terre: T=86164s.
3) À quelle altitude MÉTÉOSAT est-il placé?
8 A2 Satellite à trajectoire circulaire
La Terre est supposée sphérique, de rayon RT et de masse MT. La répartition des masses
géo est de symétrie sphérique. Le champ gravitationnel terrestre, à l'altitude h
sa pour expression
, où G est a constante de gravitation
universelle.
Donnée: MT = 5,98.1024 kg.
1) Établir l'expression de la valeur du champ gravitationnel g à l'altitude h en fonction de
h, RT et go.
2) On considère un satellite artificiel de la Terre décrivant une trajectoire circulaire de
centre 0, à l'altitude h = 350 km.
a) Nommer le référentiel d'étude du mouvement du satellite.
b) Donner l'expression du vecteur accélération du satellite
c)Justifier le fait que le mouvement est uniforme.
d) Calculer la vitesse du satellite et calculer sa période.
6)
5)
7)
8)
9 Satellite SPOT
Le 22 février 1986, la fusée ARIANE 3 plaçait sur une orbite circulaire, à l'altitude de 832 km, un
satellite du programme SPOT (satellite spécialisé dans l'observation de la terre et dans la
télédétection).
G étant la constante de gravitation universelle, la valeur du champ gravitationnel pour des points
d'altitude h par
à la Terre est donnée par la relation:
MT est la masse de la Terre et RT le rayon de la Terre sphérique et homogène.
1- Déterminer l'expression de g en fonction de RT, h et gO (valeur du champ gravitationnel au sol).
2- Un satellite artificiel de masse m décrit autour de la Terre une orbite circulaire de rayon r = RT
+ h , où h représente l'altitude du satellite par rapport à la Terre.
a) Montrer que le mouvement circulaire du satellite est uniforme
b) Déterminer l'expression de la vitesse v du satellite sur son orbite en fonction de g o, RT et h.
Calculer sa valeur pour le satellite SPOT.
c) Définir la période de révolution T du satellite. Déterminer son expression en fonction de g o, RT et
h. Calculter la valeur en seconde, puis en heure et minute.
Données: go=9,80m.s-2 et RT=6,38.103km.
10 la lune, un satellite naturel
La Lune et la Terre sont considérées comme des solides répartitions sphérique de masse,
respectivement de centre C et O.
Le centre de la Lune décrit une trajectoire quasi circulaire de rayon r dans le référentiel géocentrique.
Données: go=9,8m.s-2 et RT=6380km.
Exprimer la valeur du champ gravitationnel terrestre au centre de la Lune, en fonction de go, R T et r =
OC.
2) Appliquer le théorème du centre d'inertie à la Lune, dans le référentiel géocentrique, pour exprimer
l'accélération du centre d'inertie de la Lune.
3) Déterminer, en fonction de go, RT et r, la vitesse et période de révolution.
4) La période de révolution de la Lune dans le référentiel géocentrique est 27 j 7 h 44 min. Calculer la
distance Terre- Lune.
11 Mouvement de la planète Mars
Dans le référentiel héliocentrique, la planète Mars décrit une orbite quasi circulaire autour du
centre d'inertie du Soleil de rayon r.
1 Définir le référentiel héliocentrique.
2) Exprimer le champ de gravitation dû au Soleil au centre d'inertie de Mars. Préciser
l'hypothèse envisagée pour exprimer ce champ de gravitation.
3) Dans le référentiel héliocentrique, exprimer l'accélération du centre d'inertie de Mars en
fonction de r, MS et G.
4) En déduire la période de révolution de Mars. Calculer numériquement cette période.
Données: le rayon de la trajectoire r = 227,94.106 km, la masse du Soleil MS = 1,98 . 1030 kg et
la constante de gravitation G = 6,67.1011S.I.
1 2 A2 Détermination de la masse d'une planète
Lorsqu'un satellite est animé d'un mouvement circulaire autour d'une planète, le rayon r de son
orbite et la période T de son mouvement vérifient la loi de Kepler:
1) Les satellites géostationnaires de la Terre ont une orbite circulaire de rayon G = 42 164 km et
une période TG = 86 164 s. Calculer la masse MT de la Terre.
Données: G = 6,67.10-11 S.I.
2) Mars a deux satellites naturels, Phobos et Deimos. Phobos gravite à 9380 km du centre de Mars
avec une période de 7 h 39 min. Deimos a une trajectoire quasi circulaire de rayon rD = 23 460 km
et une période de révolution T D = 30 h 18 min .
a) Calculer la masse de la planète Mars à partir des caractéristiques du mouvement de Phobos, puis
de Deimos.
b) Comparer les valeurs obtenues.
3) Au cours de la mission APOLLO XVII en 1972, le module de commande en orbite circulaire
autour de la Lune, à une distance de 2 040 km du centre de celle-ci, avait une période de 8 240 s
dans le repère sélénocentrique. Calculer la masse de la Lune.
UTILISATION DES ACQUIS
1 3 Station orbitale
La station orbitale SALIOUT, de masse 20 t, est en orbite autour de la Terre (rayon RT). Son
altitude varie entre 219 km et 278 km.
Données: go = 9,8 m.s-2 et RT = 6 380 km.
1) Quelle est la trajectoire de cette station dans le référentiel géocentrique? "
2) Quelle est l'altitude moyenne de SALIOUT?
3) a) Calculer sa période de révolution en admettant que la station orbitale décrit une trajectoire
circulaire à cette altitude moyenne.
3) La comparer avec la période réelle qui est de 89,2 min.
1 4 Télescope spatial HUBBLE
Le télescope spatial HUBBLE a été mis sur une orbite circulaire autour du centre T de la Terre. Il évolue
à une altitude h = 600 km .
Ce télescope, considéré comme un objet ponctuel, est noté H et a une masse m = 12.103 kg. Les
images qu'il fournit sont converties en signaux électriques et acheminées vers la Terre par
l'intermédiaire de satellites en orbite circulaire à une altitude égale à hG = 35 800 km.
1) a) Appliquer la loi de l'attraction universelle de Newton au télescope situé à l'altitude h.
b) Donner, en fonction de m , go, R et h , l'expression littérale de la valeur de la force de gravitation
qu'il subit.
c) Calculer la valeur de cette force pour h = hH = 600 km.
2) Le mouvement du télescope est étudié dans le repère géocentrique dont l'origine est T.
a) Montrer que son mouvement circulaire est uniforme.
b) Exprimer littéralement sa vitesse v sur son orbite en fonction de R , go et h , puis la calculer en m.s1
et en km.h-1quand h = hH = 600 km.
c) Déterminer sa période de révolution TH
Données: R=6380km et go=9,80m.s-2.
15~ Vol de COLUMBIA
On désigne par R le rayon de la Terre, supposée sphérique et homogène, M la masse de la Terre,
G la constante de gravitation universelle et h l'altitude.
1) La navette spatiale COLUMBIA a été placée sur une orbite circulaire, à l'altitude h = 250 km .
Établir, dans un repère géocentrique. les expressions de la vitesse v de cette navette et de sa
période de révolution T en fonction de go, R et h.
Données: R = 6 380 km et go = 9,80 m.s-1.
2) Le plan de l'orbite de COLUMBIA passait le 28 novembre 1983 par Cherbourg et Nice. Ces deux
villes sont distantes de 940 km. On néglige la rotation propre de la Terre.
Calculer l'intervalle de temps séparant les passages de COLUMBIA au-dessus de ces deux villes.
16 Satellite de télévision directe
Le 2 avril 1989, ARIANE V30 a été lancée depuis la base de Kourou (proche de l'équateur, en
Guyane) pour placer en orbite le satellite de télévision directe TÉLÉ X.
À l'issue du processus d'installation, le satellite est en orbite circulaire, dans un plan équatorial,
à l'altitude h.
Données: masse de la Terre: MT = 5,975.1024 kg, rayon équatorial: RT = 6 380 km , constante
de gravitation G = 6,670.10-11 S.I., masse du satellite en orbite: m = 277 kg , altitude: h = 35
782 km et jour sidéral: To= 86164 s.
1) C1 Montrer que ce satellite, se déplaçant d'Ouest en Est, est géostationnaire.
2) C1 Pourquoi la base de Kourou est-elle « intéressante» pour la mise en poste de tels
satellites?
17 Satellite sur orbite équatoriale
La fusée ARIANE V au moment du décollage a une masse de 7,50 t. La poussée de ses moteurs
est 900. 104 N.
1) A2 Calculer l'accélération de la fusée lorsqu'elle le sol, sachant que les moteurs exercent une force
2) C2 Avant d'être lancé en orbite géostationnaire, le satellite est placé sur une orbite équatoriale
circulaire basse à 200 km d'altitude. Il tourne d'Ouest en Est, c’est-à-dire dans le sens de rotation
propre de la Terre.
Déterminer, pour un observateur terrestre, L'intervalle de temps qui sépare deux passages
successifs du satellite à la verticale d'un point de l'équateur.
3) A2 Ce satellite est placé sur orbite géostationnaire
Calculer sa vitesse angulaire dans le repère géocentrique.
Données: gO = 9,8 m. s-2 et rayon terrestre: RT = 6 380 km.
1 8 Masse d'Uranus
1) B3 On donne la période de révolution et le rayon r de l'orbite des cinq satellites d'Uranus
découverts depuis la Terre. Dix autres ont été découverts par la sonde interplanétaire
VOYAGEUR 2 en 1986.
T (jour)
Miranda
r (km
1,4135
130 000
Ariel
2,520
192 000
Umbiel
4,144
267 000
Titania
8,706
438 000
Obéron
13,46
586 000
2
3
000x:
a) Pour chaque satellite, calculer T et r .
b) Sur un système d'axes orthogonaux, porter en abscisses r3 et en ordonnées T2, et ce, pour
chaque satellite
2) B3 Montrer que
cte (troisième loi de Kepler
3) C1 Calculer la masse d'Uranus en utilisant la droite tracée.
9 Masse de la Terre
1) A2 On suppose que la Terre a une distribution de masse à symétrie sphérique de centre O.
a) Donner l'expression de l'intensité du champ gravitationnel g créé par la Terre à une altitude h en
de G, RT, h et MT (masse de la Terre).
b) En déduire l'expression littérale de MT de go, G et RT.
Calculer numériquement MT. (Historiquement, c'est ainsi, à partir de G, que M T a été déterminée.)
Données: constante gravitationnelle: G = 6,67.10-11 S.I., rayon de la Terre: RT = 6 400 km et
intensité du champ gravitationnel au niveau du sol: go = 9,8 m.s-2.
Le tableau ci-dessous rassemble les valeurs numériques des périodes de révolution T et des
altitudes h des orbites de quelques satellites artificiels de la Terre.
base de
lancemen
t
Kourou
Baïkonour
Chine
États-Unis
satellite
INTELSAT-V
COSMOS-1970
FEN-YUNI
U.S.A.-35
T
23 h 56 min
11 h 14 min
102,8 min
12h
h(km)
3,58.104
1,91.104
9,00.102
2,02.104
a) Montrer que les valeurs données dans le tableau permettent de vérifier la troisième loi de
Kepler.
En déduire une valeur numérique de la masse MT de la Terre.
20 ARIANE
1-Lancement du satellite. 2. Orbite basse. 3. Orbite elliptique intermédiaire. 4. Orbite
définitive.
Les différentes parties du schéma ne sont pas représentantes à la même échelle.
Voici un texte extrait d'un ouvrage scientifique: « Le lanceur européen ARIANE a été conçu pour
placer en orbite géosynchrone, c'est-à-dire en orbite circulaire équatoriale située à 35 800 km
d'altitude, des satellites qui restent immobiles dans le ciel et qu'on appelle satellites
géostationnaires. Comme il serait trop onéreux de trop onéreux de propulser la fusée porteuse
jusqu'à cette altitude, on procède par« transfert d'orbite».
- Dans un premier temps, le satellite est placé par la fusée porteuse sur une orbite basse (200
km) ;
- dans un deuxième temps, le lanceur largue le satellite en lui fournissant une impulsion qui le
place sur une orbite elliptique dont le périgée est à l'altitude 200 km et l'apogée à l'altitude 35
•800
dans
kmun
; troisième temps, le satellite assure lui-même, par une deuxième impulsion, sa
circulation en orbite circulaire.
Les deux premières phases du lancement s'effectuent grâce à trois moteurs entrant
successivement en fonctionnement et qui sont largués après avoir rempli leur rôle. »
1) B1A1 Préciser l'expression utilisée par l'auteur: « satellites qui restent immobiles dans le
ciel ».
À quel usage de tels satellites sont-ils destinés?
2) A2 L'orbite d'un satellite géostationnaire est-elle nécessairement une « orbite circulaire
équatoriale»? Justifier la réponse, éventuellement à l'aide d'un schéma.
3) A2 Dans le repère géocentrique, quel est le sens de rotation du satellite: vers l'Est ou vers
l'Ouest?
4) C1 Quelle signification l'auteur donne-t-il au mot « impulsion» ?
21 Etude d'un document
Ce document est une photographie du ciel nocturne. On observe sept satellites
géostationnaires, notés A , B, C, D, E, F et G.
De gauche à droite: le GALAXY-III de la Hughes Aircraft Company sur la position 266,r (A) ; le
S.B.S.-3 sur la position 265,2° (B) ; le TELSTAR de l'American Telephone and Telegraph
Company sur la position 264,2°
(C) ; le S.B.S.-2 sur la position 263,2° (D) ; le WESTAR-IV de la Western Union and Hughes sur
la position 261,2°
(E), de même que le S.B.S.-l (F) ; le dernier à droite est le S.B.S.-4 sur la position 259,2° (G).
1) a) C1 Cette photo n'est pas un instantané. Justifier cette affirmation.
b)C2 Calculer la durée de pause.
c)C2 Pourquoi les traces données par les étoiles sont-elles assimilables à des segments de
droite?
2) a) C2 Pourquoi les images de ces satellites sont-elles alignées ?
b) Quelle distance sépare les satellites A et B ?