ÉCOULEMENT DES FLUIDES RÉELS

FCMN 22 février 2005
PhG-Sciences
Dans les systèmes hydrauliques (du grec hudor, eau), l'eau laisse la place à d'autres fluides, en
particulier les huiles minérales choisies pour leurs propriétés lubrifiantes.
Pour des raisons économiques, l'emploi de mélanges eau-huile ou eau-glycol se répand.
Les nouvelles techniques imposent l'usage de fluides très stables quelles que soient les conditions
d'utilisation. Les principales caractéristiques de ces nouveaux fluides sont entre autres :
 la viscosité
 la masse volumique
 le pouvoir anticorrosif
 le pouvoir lubrifiant
 la résistance à l'oxydation
 le point de congélation ou de figeage.
La viscosité est la seule grandeur que nous allons appréhender et nous étudierons l'influence de celle-
ci sur l'écoulement du fluide.
I- Viscosité d'un fluide
Observons la chute libre, sans vitesse initiale,
de bille d'acier dans trois fluides différents.
La viscosité est une grandeur qui rend compte de la résistance qu'oppose le fluide au glissement des
molécules les unes sur les autres.
La viscosité traduit l'aptitude d'un fluide à s'écouler. L'huile s'écoule avec une certaine lenteur d'un
bidon. La viscosité sera d'autant plus grande que le fluide s'écoulera lentement.
On définit deux viscosités absolues : la viscosité dynamique et la viscosité cinématique.
1- La viscosité dynamique
Lors d'un écoulement, les couches de molécules
glissent les unes sur les autres à la manière de
cartes qu'on étale sur un tapis. Les couches les
plus rapides, en surface, entraînent les couches
lentes et, inversement, les couches lentes freinent les plus rapides.
L'action du fluide se traduit par des forces tangentielles appliquées à chaque couche.
On considère deux couches superposées distantes
de z et d'aire S, et v leur différence de vitesse.
On démontre que l'intensité des forces tangentielles exercées entre les deux couches est
proportionnelle à l'aire S et au gradient des vitesses
Error!
d'où F = S
Error!
.
   est le coefficient de viscosité dynamique. lettre grecque) : lire mu

L'unité de viscosité dynamique est le poiseuille noté Pl.
Un sous-multiple du poiseuille est la poise notée Po 1 Po = 0,1 Pl
Montrer que : 1 Pl = 1 N.s.m – 2 = 1 Pa.s
2- Viscosité cinématique
Le coefficient de viscosité cinématique est le rapport du coefficient de viscosité dynamique  par la
masse volumique du fluide 
    est le coefficient de viscosité cinématique 
Error!
  lettre grecque) :
lire nu
L'unité de viscosité cinématique est le m2.s– 1.
L'unité usuelle est le stokes noté St 1 St = 10 – 4 m2.s – 1
3- Viscosités conventionnelles
- viscosité S.A.E (Society of Automobile Engineers) - viscosité Engler (°E)
- viscosité Saybolt (S.S.U: Seconde Saybolt Universal) - viscosité Redwood (R": seconde R)
II- Nombre de Reynolds
Observons l'écoulement de la fumée
d'un feu (sans vent).
Écoulement laminaire : Les particules de fumée glissent les unes sur les autres à faible vitesse.
L'écoulement est ordonné.
Écoulement turbulent : Les particules décrivent des trajectoires libres et leur vitesse est plus
grandes. L'écoulement est désordonné.
Écoulement transitoire ou critique : Écoulement situé entre les deux précédents.
Le nombre de Reynolds Re permet de déterminer le régime de l'écoulement.
Re =Error!
Re est un nombre sans unité
avec v : vitesse d'écoulement en m.s– 1
D: diamètre de la conduite en m
   : viscosité cinématique en m2.s– 1
Si
Re < 1 600
l'écoulement est laminaire
Si
1 600 < Re < 2 300
l'écoulement est transitoire
Si
Re > 2 300
l'écoulement est turbulent
ou encore
Re = Error!

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PhG-Sciences
III- Applications
1- Une conduite hydraulique a un diamètre de 26 mm. La viscosité du fluide est 30 cSt.
1- Quel est le type d'écoulement si le fluide à une vitesse de 3 m.s – 1 ?
2- Quelle est la vitesse maximale pour le régime laminaire ?
2- Le débit de la pompe étant de 80 L.min – 1, quelle est la vitesse du fluide dans une canalisation de
refoulement de 26 mm de diamètre ?
La viscosité du fluide étant de 40 cSt, quel est le régime d'écoulement ?
3- On dispose des relevés de la chute d'une bille dans de la glycérine ( = 1260 kg.m– 3).
d (cm)
0
3,5
7,0
10,5
14
17,5
t (s)
0
1,7
3,5
5,3
7,2
9
La bille a une masse m = 0,06 g et un rayon r = 1,25 mm.
Calculer le coefficient  de la glycérine.
4- Calculer le coefficient de viscosité cinématique à la température de 20°C.
 (Pl)
 (kg.m– 3)
 (m2.s – 1)
Eau
10 – 3
10 3
Glycérine
1
1 250
Alcool
1,2. 10 – 3
791
Air
1,8.10 – 5
1,3
H2
9.10 – 5
0,089
He
1,94.10 – 6
0,178
5- A 20°C, comparer la viscosité de l'air à celle de l'eau. L'air n'est-il pas un fluide plus visqueux que
l'eau dans les applications où le coefficient  intervient ?
6- La viscosité des gaz augmente lorsque la température augmente, contrairement à ce qui a
lieu pour les liquides. Dans le cas des gaz c'est le phénomène de diffusion qui détermine la
viscosité. Essayer d'interpréter le comportement de la viscosité des gaz vis-à-vis de la
température.
Exemples de dénominations commerciales d'huiles moteurs
Huiles monograde SAE 15 W (Society of Automobile Engineers)
15 indique la viscosité
W indique la température à laquelle la viscosité a été mesurée -18 °C
L'absence de lettre signifie que la température est de 100 °C. Exemple SAE 50

Huile multigrade
La viscosité est donnée pour deux valeurs de la température.
Exemple: une huile 15 W 50 15 W viscosité à -18 °C
50 viscosité à 100 °C.
Viscosimètre à chute de bille
Le liquide étudié est contenu dans un tube calibré vertical ou incliné avec précision.
On mesure la durée t de la chute d'une bille calibrée entre deux repères A et B distants
de d.
Très rapidement la bille acquiert une vitesse limite v qu'elle conserve entre A et B.
Cas d'un tube vertical
Bilan des forces:
Poids de la bille P = m.g =
Error!
..r3..g avec  la masse volumique de la
bille
Poussée d'Archimède FA =
Error!
..r3.'.g avec ' celle du liquide étudié
Force de frottement ou de viscosité
F = 6...r.v avec la viscosité dynamique
(formule de Stokes pour des vitesses faibles v < 1 m.s-1)
La vitesse limite est atteinte lorsque P = FA + F
donc
Error!
..r3..g =
Error!
..r3.'.g + 6...r.v
soit  =
Error!
.
Error!
(').g.t avec v =
Error!
On pose: K =
Error!
.
Error!
d'où  = K.(').g.t
Pour un viscosimètre donné, la constante K est fourni.
Muni d'un système à thermomètre, il permet d'étudier l'évolution de la viscosité en
fonction de la température.