EXERCICE 2 Soit c un cercle de centre O et de rayon 3 cm. A

2nde 4
CORRECTION DU CONTRÔLE 2
14/10/2008
QUESTIONS DE COURS On considère un triangle ABC.
1) Que peut-on dire du point d’intersection des bissectrices de ce triangle ?
Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point I qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle. Le point I
est équidistant de chacun des côtés du triangle.
2) Comment s’appelle le point d’intersection des médianes de ce triangle ? Que peut-on en dire ?
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point G, appelé le centre de gravité du triangle et AG =
Error!
AA
’,
où A’ est le milieu de [BC] (On dit que G est au 2/3 du segment médian à partir du sommet).
3) Donner les deux définitions de la médiatrice du segment [AB].
La médiatrice du segment [AB] est la perpendiculaire à (AB) passant par le milieu de [AB].
La médiatrice  du segment [AB] est l’ensemble des points équidistants de A et B.
EXERCICE 1 On considère un cercle c de diamètre [AB].
C et D sont deux points de ce cercle tels que [AD] et [BC] se coupent au point E.
Les droites (AC) et (BD) se coupent au point F.
2) Que représente la droite (AD) dans le triangle ABF ? Justifier la réponse.
La droite (AD) est la hauteur issue de A du triangle ABF.
On sait que D est un point du cercle de diamètre [AB] donc le triangle ABD est rectangle en D.
La droite (AD) est donc perpendiculaire à (AB) ou encore à à (BF).
3) Démontrer que les droites (EF) et (AB) sont perpendiculaires.
On sait que C est un point du cercle de diamètre [AB] donc le triangle ABC est rectangle en C.
La droite (BC) est donc perpendiculaire à (AC) ou encore à (AF).
La droite (BC) est donc la hauteur issue de B du triangle ABF.
On sait les hauteurs (AD) et (BC) se coupent en E qui est donc l’orthocentre du triangle ABF.
La droite (EF) est donc la hauteur issue de F du triangle ABF et, par définition d’une hauteur, elle est perpendiculaire à (AB).
EXERCICE 2 Soit c un cercle de centre O et de rayon 3 cm. A, B, C sont trois points de ce cercle tels que ;ABC = 35°.
Le point D est diamétralement opposé à C sur ce cercle.
1) Déterminer la mesure en degrés de l’angle  ;AEC.
Les angles  ;AEC et  ;ABC sont inscrits dans le cercle c et interceptent l’arc ;AC donc  ;AEC =  ;ABC = 35 °.
2) Déterminer la mesure en degrés des angles ;AOC et ;CAO.
L’angle  ;ABC est inscrit dans le cercle c et interceptent l’arc ;AC.
;AOC est un angle au centre qui intercepte le même ;AC donc ;AOC = 2 ;ABC = 2  35 = 70 °.
On sait que [OA] et [OC] sont deux rayons du cercle c donc AOC est un triangle isocèle en O.
Ses deux angles à la base ont même mesure donc ;ACO = ;CAO = (180 – 70) ÷ 2 = 110 ÷ 2 = 55 °.
3) Déterminer la mesure en degrés des angles du triangle ACD.
On sait que D est diamétralement opposé à C et que A est un point du cercle c diamètre [CD], donc ;CAD = 90 °.
Les points C, O et D sont alignés dans cet ordre donc, d’après la question précédente, ;ACD = ;ACO = ;CAO = 55 °.
;ADC = 180 – 90 – 55 = 35 °.
4) Calculer AC. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au millimètre près.
Le triangle ACD est rectangle en A d’après la question précédente.
sin ;ADC =
Error!
donc AC = DC  sin
Error!
= 6 sin 35 ° ≈ 3,4 cm.

EXERCICE 3 ABC est un triangle isocèle en A tel que BC = 4 cm et AB = 6 cm, H est le milieu de [BC], M est le
point de [AC] tel que AM = 5 cm et P est le point d’intersection de (AH) avec la perpendiculaire à (AH) passant par M.
1) Justifier que AH = .
On sait que H est le milieu de [BC] donc (AH) est la médiane issue de A du triangle ABC.
On sait que le triangle ABC un isocèle en A donc (AH) est également la hauteur issue de A.
On peut donc utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle AHC rectangle en H.
On a AH ² + HC ² = AC ² donc AH ² = AC ² – HC ² = 6 ² – 2 ² = 32 et AH =  = 4  cm.
On vérifie bien que AH ≈ 5,7 cm.
2) Calculer AP.
Les droites (HC) et (PM) sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (AH).
On a donc une configuration de Thalès.
On a
Error!
=
Error!
donc AP = AH 
Error!
= 5,7  5/6 = 4,75 cm.
EXERCICE 4 On donne AB = 5, AC = 1,4 et BC = 4,8. On note I le milieu de [AB].Démontrer que IA = IC.
On a AB ² = 5 ² et AC ² + BC ² = 1,4 ² + 4,8 ² = 25 donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est
rectangle en C.
Le triangle ABC est donc inscrit dans un cercle de diamètre [AB] et de centre I le milieu de [AB].
On a donc IA = IC = IB =
Error!
AB.