droites

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DROITES
I) Coefficient directeur ; ordonnée à l’origine
On considère le plan muni d’un repère
( , , )O i j
.
1) Droites non parallèles à l’axe des abscisses
Définitions : On considère une droite  non parallèle à l’axe des abscisses.
 Quels que soient les points A et B sur la droite , le rapport
BA
BA
yy
xx
est constant et est appelé le coefficient
directeur a de la droite  :
horizontalt déplacemen t verticaldéplacemen
AB
AB xx yy
a
.
 L’ordonnée à l’origine est l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.
Coefficient directeur positif Coefficient directeur négatif
Remarque : Les droites parallèles à l’axe des ordonnées ou « verticales » n’ont pas de coefficient directeur.
2) Des méthodes
Méthode 1 : Dessiner un coefficient directeur (méthode de l’escalier).
a = 
3
1
Méthode 2 : Lire le coefficient directeur d’une droite sur un graphique.
 Choisir deux points A et B sur la droite.
 Se déplacer de A vers B par la méthode de l’escalier.
 En déduire le coefficient directeur :
horizontaltdéplacemen verticaltdéplacemen
.
Exemple : On se déplace de A vers B
- en se déplaçant vers la droite de 3 graduations
- puis en descendant de 2 graduations.
Le coefficient directeur de la droite (AB) est : a =
Remarque : on peut aussi lire les coordonnées de A et de B et calculer a ;
A ( ; ) B ( ; )
AB
AB xx yy
a
4
2
3
1
y
A
B
O
x
0
1
Ordonnée
à l’origine
Ordonnée
à l’origine
x
x
y
y
1
1
1
0
a = 2 =
2
4
1
1

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Méthode 3 : Tracer une droite dont on connaît un point et le coefficient
directeur.
 Placer le point.
 Dessiner le coefficient directeur en partant de ce point.
Exemple : Tracer la droite  passant par A (1 ; 2)
 de coefficient directeur a =
3
4
3) Coefficients directeurs et droites parallèles
Propriété : On considère deux droites  et  non parallèles à l’axe des ordonnées.
 Si  et  sont parallèles, alors elles ont le même coefficient directeur.
 Réciproquement : si  et  ont même coefficient directeur, alors  et  sont parallèles.
II) Equations de droites
On considère le plan muni d’un repère
( , , )O i j
.
1) Théorème
Théorème :
 Toute droite  non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme y = a x + b où a et b sont deux nombres
réels. Cette équation y = a x + b est appelée équation réduite de . Le nombre a est le coefficient directeur de  et le
nombre b est l’ordonnée à l’origine de .
 Toute droite ’ parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme x = c où c est un nombre réel et correspond
à l’abscisse constante de tous les points de ’.
Exemples :
O
i
i
j
D1
y = 2x +3
1
2
O
i
j
y = 3
D2
O
i
j
x = 2
D3
D1 a pour équation y = 2x + 3.
Coefficient directeur a = 2 ;
ordonnée à l’origine b = 3.
D2 a pour équation y = 3.
Coefficient directeur a = 0.
D2 est parallèle à l’axe des abscisses.
Ordonnée à l’origine b = 3.
D3 a pour équation x = 2.
D3 n’a pas de coefficient directeur.
D3 est parallèle à l’axe des
ordonnées.
2) Des méthodes
a) Tracer une droite dont on connaît une équation
 Méthode 4 :  Placer l’ordonnée à l’origine.
 Dessiner le coefficient directeur.
Exemple : Tracer la droite d’équation y =
x
3
1
 2.
y
O
x
y
O
x
1
1
1
1

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 Méthode 5 :  Déterminer les coordonnées de deux points.
 Placer ces deux points.
Exemple 1 : Tracer la droite d’équation y = 
x
2
1
+ 3
Si x = 0, alors y = ......
Si x = 4, alors y = ......
On place les points A (0 ; ) et B (4 ; )
Exemple 2 : Tracer la droite d’équation 2x + 3y + 3 = 0
Si x = 0, alors y = ...... .
Si x = 3, alors y = ...... .
Remarque : on peut aussi déterminer l’équation réduite sous la forme
y = a x + b, puis utiliser la méthode 4.
2x + 3y + 3 = 0 donne y =
Conseils :  Pour avoir un tracé précis, les points doivent être suffisamment éloignés.
 Prendre des valeurs donnant des calculs simples et si possible des nombres entiers.
b) Déterminer l’équation d’une droite
 Méthode 6 : Déterminer graphiquement l’équation d’une droite.
 Lire le coefficient directeur par la méthode de l’escalier.
 Lire l’ordonnée à l’origine.
Exemple :
 Le coefficient directeur est a =
 L’ordonnée à l’origine est b =
L’équation de la droite est donc : y =
 Méthode 7 : Déterminer par le calcul l’équation d’une droite passant par deux points A et B.
L’équation est de la forme y = a x + b.
 Calculer a en écrivant
AB
AB xx yy
a
.
 Pour trouver b, utiliser le fait que A (ou B) est un point de la droite, c’est-à-dire que ses coordonnées vérifient
l’équation cherchée.
Exemple : Déterminer l’équation de la droite (D) passant par A (1 ; 2) et B (3 ; 4)
On a :
AB
AB xx yy
a
2
3
46 )1(3 24 
.
L’équation de (D) est donc de la forme : y = 
x
2
3
+ b.
Comme A est un point de (D), on peut écrire :
2 = 
2
3
 ( 1) + b d’où
32
2b
, soit b =
31
222
.
L’équation de (D) est donc : y = 
2
3
x +
2
1
.
y
O
x
x
y
y
O
x
x
y
y
O
x
y
O
x
1
1
1
1
1
1
1
1