La loi exponentielle

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Loi microscopique de désintégration radioactive
Loi exponentielle
La loi microscopique de désintégration radioactive
"Au cours du temps, les corps radioactifs se désintègrent et décroissent suivant une loi exponentielle".
L’expérience montre que, si l’on considère l’évolution d’un grand nombre de noyaux radioactifs, le
nombre moyen de noyaux qui se désintègrent pendant une durée dt à partir de l’instant t, est proportionnel
à cette durée.
Voir, pour cela, le document :
La désintégration radioactive – Loi de durée de vie sans vieillissement
Si l’on note
Nt
bg
, le nombre moyen de noyaux présents à l’instant t, l'expérience permet de poser
l'équation suivante :
N' =-λNtt
. (1)
La constante de proportionnalité est appelée constante radioactive du noyau.
On en déduit la loi d'évolution :
N N ett
b
gbg
0
.
On remarquera que pour toute valeur de t et de
t0
, on a aussi :
N N et t t t
0 0
bgbg
.
Dit autrement, l'origine des temps importe peu dans l'étude de ce phénomène : on peut "repartir à 0"
quand on veut, l'équation modélisant l'évolution du nombre moyen d'atomes est toujours la même.
Considérons ce qui se passe à l'échelle des noyaux :
L'observation montre que le nombre de noyaux qui se désintègrent pendant un intervalle de temps t est
une quantité aléatoire, on fera donc l'hypothèse que la durée de vie d'un noyau d'une substance
radioactive donnée est elle aussi une quantité aléatoire.
Le taux de désintégration rapporté au nombre de noyaux présents est constant au cours du temps
(et vaut - ) d'après (1) : une interprétation est qu'il n'y a pas d'usure ou de vieillissement des noyaux.
On peut alors, pour une substance radioactive donnée, proposer le modèle microscopique de
désintégration des noyaux fondé sur les hypothèses suivantes :
1. la durée de vie d'un noyau est modélisée par une loi de probabilité, la même pour tous les noyaux
d'une même substance radioactive.
2. la désintégration d'un noyau n'affecte pas la désintégration d'un autre noyau.
3. un noyau se désintègre sans avoir vieilli.

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La loi exponentielle
La durée de vie est une quantité aléatoire, qui peut être modélisée par une loi de probabilité sur l'ensemble
des nombres réels positifs.
On a vu en 1ère la notion de probabilité sur un ensemble fini, loi caractérisée par la probabilité de chaque
événement élémentaire. Il s'agit, ici, de généraliser cette notion à des intervalles de , bornés ou non.
Voir, pour cela, le document :
Introduction aux lois de probabilités sur des intervalles
Nous cherchons ici une loi P pour modéliser la durée de vie des noyaux d'une même substance
radioactive.
On note :
F t
bg
la probabilité pour que la durée de vie d'un noyau soit comprise entre 0 et t :
F t P t
bgch
0;
.
La loi de probabilité P étant à densité continue, on a :
F t f x dx
t
bgbg
z
0
et
lim
tF t
b
g1
,
où f est une fonction continue positive sur  , appelée densité de P.
Pour tout intervalle I de bornes a et b ,
a b
, on a :
P F b F aI
bgbgbg
. (2)
F t
bg
est donc aussi la probabilité pour qu'un noyau se désintègre entre 0 et t.
La probabilité pour qu'il ne soit pas désintégré à l'instant t est donc :
1F t
bg
. (3)
L'hypothèse 3. peut être interprétée de la façon suivante :
"ne pas vieillir, c'est avoir à tout âge la même probabilité de vivre encore s années".
Tout un programme !!
La probabilité qu'a un noyau non désintégré à l'instant t de se désintégrer
dans les s unités de temps suivantes ne dépend que de s;
en particulier, comme cette probabilité ne dépend pas de t, elle est égale à
probabilité de se désintégrer entre les instants 0 et s.
Dit autrement :
La probabilité pour un noyau de se désintégrer entre les instants t et t + s,
sachant qu'il n'est pas désintégré à l'instant t , est égale, pour tout t,
à la probabilité de se désintégrer entre les instants 0 et s.
Si on appelle
It
l'événement : "le noyau se désintègre sur
t; 
, donc n'est pas désintégré à l'instant t ",
cela s'écrit encore :
P t t s F s
t; ;
chb
g
.
D'autre part, d'après (3), on a :
P F t
t
I
bgb
g
 1
.
Or :
P t t s F t P t t s
t
; ;    
chbg chch
1I
=
F t s F t 
bgbg
d'après (2).
Il s'ensuit que :
F t s F t 
bgbg
=
1 F t F s
bg
chbg
. (4)

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En posant :
G t F t
bgbg
 1
, l'égalité (4) devient :
G t s G t G s  
bgbgbg
La fonction G est, comme F, dérivable sur  et vérifie de plus :
G0 1
bg
La fonction G est donc une fonction exponentielle :
G t at
b
g
e
.
Comme F est positive sur  et majorée par 1, G est aussi positive sur  et majorée par 1.
On peut donc poser :
a 
avec
  0
, d'où :
G t t
b
g
e
et
F t t
b
g
1 e 
.
La densité f est la dérivée de F , ainsi :
f t t
b
g
e
et :
F t P t
bgch
0;
=
e
zx
tdx
0
La densité de la probabilité modélisant la durée de vie d'un noyau qui meurt sans vieillir est donnée par :
f t t
b
g
e
où  est un réel strictement positif. On dit que P suit une loi exponentielle.
Remarques :
1. La probabilité qu'a un noyau, existant à l'origine, de se désintégrer entre les instants t et t + s est
donnée par :
P t t s;
ch
=
F t s F t 
bgbg
=
e e
 t s
1
ch
=
etP s0;
ch
.
Cette probabilité tend vers 0 lorsque t tend vers l'infini, ce qui est cohérent avec le fait que la
probabilité qu'a un noyau de se désintégrer entre 0 et t tend vers 1 lorsque t tend vers l'infini.
2. Un exemple d'absence d'usure dans le cas discret :
On lance un dé toutes les secondes : par analogie avec la radioactivité, on dira que s'il tombe sur
un 6, il se désintègre et l'on arrête. L'absence d'usure (non vieillissement) est ici intuitive :
sachant que le dé n'est pas désintégré à la seconde n, la probabilité qu'il se désintègre à la seconde
n1
vaut toujours p = 1/6 ; la probabilité qu'il se désintègre à la seconde
n1
est :
P n p p
n
  1 1
bgbg
.
Cette loi de probabilité P définie sur  par :
P n p p
n
bgbg
11
est appelée loi géométrique.
(hors programme).
3. Dans la loi d'évolution :
N N et t
b
gbg
0
, avec les résultats donnés plus haut, la loi du nombre de
noyaux qui se désintègrent entre les instants 0 et t est une loi binomiale de paramètres
N(0) et p = F(t) = 1-
t
e
.
L’espérance (ou moyenne théorique) de cette loi est N(0).(1-
t
e
) et peut s’écrire N(0) – N(t),
où N(t) est le nombre moyen de noyaux présents à l’instant t ou encore l’espérance du nombre de
noyaux à l’instant t.
On a donc : N(0) –N(t) = N(0).(1-
t
e
) .
D’où N(t) = N(0).
t
e
Et l’on retrouve l’équation de désintégration trouvée précédemment N(t)=N(0).
-t
e
en posant :  =  .

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4. Le temps requis T pour que le nombre de noyaux soit divisé par deux est la médiane de la loi de
probabilité P, elle est appelée demi-vie , cette médiane est définie par :
N 0
2N 0 e T
bgbg
d'où :
T=ln2
soit encore :
T= ln2
5. (hors programme)
L'espérance mathématique (moyenne théorique) d'une loi de probabilité sur  de densité f , par
analogie avec le cas d'un ensemble fini, est définie par :
   z lim
t
tx f x dx
bg
0
.
Dans le cas de la loi exponentielle,  se calcule en intégrant par parties :
xdx xdx t t
x
txtx ttxt
tt
e e e e eee
z z
L
N
MO
Q
P   
0000
1
.
Donc :
F
H
GI
K
J
lim
t
tt
tee 1 1
.
Dans la loi d'évolution
N N ett
b
gbg
0
, la durée moyenne de vie, appelée vie moyenne, vaut :
1
.
Dit autrement : si on mesure les durées de vie d'un grand nombre de noyaux, la moyenne de ces
durées sera voisine de 1/.
Le nombre de noyaux non désintégrés à l'instant  est :
N N 0 e N 0 e N 0
e
bgbgbgbg
 1