Leçon 4

QUATRIEME
MATHÉMATIQUE – COURS – LECON 4 - Page 13
E.BECCHETTI
Leçon 4 TRAVAUX GEOMETRIQUES
TRIANGLES ET PARALLELES
Séquence 1 :
Dans cette séquence, on admet la propriété suivante
Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère
est un parallélogramme
Compétence
Connaître et utiliser le théorème suivant : dans un triangle, si une droite passe par
les milieux de deux côtés, elle est parallèle au troisième côté
 Effectue le tracé suivant : trace un triangle ABC. Place le milieu I du segment [AB] et J le milieu du
segment. [AC]. Trace la droite IJ.
En observant ta figure et celles du tableau, que remarques-tu pour les droites (IJ) et (BC) ?
Elles semblent être parallèles
Cette remarque faite sur quelque chose qui n’est pas prouvé s’appelle une conjecture. Le verbe
correspondant est conjecturer (Ces mots sont à connaître)
Démontrons cette conjecture
Données : ABC triangle. I milieu du segment [AB] et J le milieu du segment. [AC]
Figure :

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Rédaction :
a) Construis le symétrique K de I par rapport à I. Que représente J pour le segment [IK] ?
K représente le milieu de [IK]
b) Montrons que IAKC est un parallélogramme. [IK] et [AC] sont les diagonales de IAKC
i) On sait que J est le milieu de [IK] On sait que J est le milieu de [AC]
ii) Rédaction : Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors
ce quadrilatère est un parallélogramme
iii) Conclusion : IAKC est un parallélogramme
c) Montrons que (IA) est parallèle à (KC)
i) On sait que IAKC est un parallélogramme
ii) Rédaction : un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés parallèles.
iii) Conclusion : (IA) est parallèle à (KC) donc (IB) est parallèle à (KC)
d) Montrons que IA = KC
i) On sait que IAKC est un parallélogramme
ii) Rédaction : dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur
iv) Conclusion : AI = KC donc IB = KC
e) Montrons que IBCK est un parallélogramme
i) On sait que (voir conclusion du c) (IB) est parallèle à (KC) et on sait que (voir
conclusion du d) IB = KC
ii) Rédaction : Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de
même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme
iii) Conclusion : IBCK est un parallélogramme
f) Montrons que (IJ) est parallèle à (BC)
i) On sait que (voir conclusion du e) IBCK est un parallélogramme
ii) Rédaction : un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés parallèles
iii) Conclusion : (IK) est parallèle à (BC) donc (IJ) est parallèle à (BC)
Récapitulation
Données : ABC triangle. I milieu du segment [AB] et J le milieu du segment. [AC]
Conclusion : (IJ) est parallèle à (BC)
Cette propriété est connue sous la forme suivante :
PROPRIETE
Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté

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Comment utiliser cette propriété ?
Si je sais que MNP est un triangle, que K est le milieu de [MN] est que L est le milieu de [MP] alors je peux dire
que les droites (KL) et (NP) sont parallèles.
Séquence 2 :
Compétence
Connaître et utiliser le théorème suivant : dans un triangle la longueur du segment
joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté
 Sur l’une des figures de la séquence 1, mesure IJ et BC. En comparant tes deux résultats et en
comparant ceux qui sont au tableau, complète : BC = 2 x IJ soit IJ =
Error!
BC
Démontrons cette conjecture :
Données : ABC triangle. I milieu du segment [AB] et J le milieu du segment. [AC]. K symétrique de
I par rapport à J
Figure
Rédaction : On veut démontrer que IJ =
Error!
BC
Dans la séquence 1, on a démontré que IBCK est un parallélogramme
IK = BC car dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur
IK = IJ x 2 car J est le milieu de [IK]
Conclusion : BC = IK = 2 x IJ ou IJ =
Error!
Cette propriété est connue sous la forme suivante :
PROPRIETE
Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du
troisième côté.
Comment utiliser cette propriété ?

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Si je sais que MNP est un triangle, que K est le milieu de [MN] est que L est le milieu de [MP] alors
je peux dire que KL =
Error!
NP
Séquence 3 :
Compétence
Connaître et utiliser le théorème suivant : dans un triangle, si une droite passe par le
milieu d'un côté et est parallèle à un second côté, elle coupe le troisième en son milieu
 On trace un triangle ABC et on construit le point I milieu de [AB]. On construit ensuite la droite (d)
passant par I et parallèle à la droite (BC). On appelle J le point d’intersection de (d) et de (AC).
Conjecture : Sur la figure, il semble que J soit le milieu de [AC]
Démonstration :
Données : ABC triangle, I milieu de [AB], (d) droite passant par I et parallèle à (BC)
Rédaction : On construit le milieu K de [BC]. Pourquoi les droites (IK) et (AC) sont-elles parallèles ?
Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième
côté
Ici le triangle est BAC, la droite (IK) passe par les milieux I et K des côtés (AB) et (BC) donc elle est
parallèle au troisième côté ((AC)
Pourquoi IKCJ est-il un parallélogramme ? IKCJ est un parallélogramme car les droites (IK) et(JC)
sont parallèles d’une part et d’autre part les droites (IJ) et (BC) sont aussi parallèles
...................................................................................................................................................................
Que peut-on alors dire de IK et de JC ? IK = CJ car dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la
même longueur.
Pourquoi IK =
Error!
AC ? IK =
Error!
AC car dans un triangle, la longueur du segment joignant les
milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.
Conclusion : On a donc IK = JC = AJ donc J est le milieu de[AC]

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PROPRIETE
Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle au troisième côté, alors elle
coupe le troisième côté en son milieu
Comment utiliser cette propriété ?
Si je sais que MNP est un triangle, que S est le milieu de [MN] et que la droite parallèle à ((NP) coupe
la droite ((MP) en L, je peux dire que L est le milieu de [(MP]
Séquence 4 :
Compétence
Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux
triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes : dans un
triangle ABC, si M est un point du côté [AB], N un point du côté [AC] et si [MN] est
parallèle à [BC], alors Error!= Error! = Error!
 On trace un triangle ABC. On appelle M un point de [AB]. On trace la parallèle à (BC) passant par
M. Celle-ci coupe la droite (AC) en N. Complète en utilisant la figure du tableau.
Figure 1
Error! = .......
Error! = .......
Error! = .......
Figure 2
Error! = .......
Error! = .......
Error! = .......
Figure 3
Error! = .......
Error! = .......
Error! = .......
Figure 4
Error! = .......
Error! = .......
Error! = .......
Figure 5
Error! = .......
Error! = .......
Error! = .......
Figure 6
Error! = .......
Error! = .......
Error! = .......
Que remarques-tu ? Pour chaque figure, les quotients sont égaux
Quelle conjecture peux-tu faire ? il semble que
Error!
=
Error!
=
Error!