moyenne et dispertion

TD
LA MESURE DES INEGALITES
I) LES VALEURS CENTRALES
Pour étudier une série statistique ou deux séries entre elles, on peut calculer certains
indicateurs qui nous permettent d'analyser, voire de résumer l'information contenue dans ces
séries, toutefois se contenter du calcul de certaines valeurs centrales peut engendrer une forte
déperdition d'information, voire conduire à des erreurs d'interprétation :
- LA MOYENNE ARITHMETIQUE :
C'est la plus connue des valeurs centrales , mais se contenter de la calculer pour
apprécier l'ampleur d'un phénomène peut être réducteur
Ex : un professeur a deux groupes dans une classe sont les notes sont réparties de la façon
suivante
GROUPE 1
NOTE
3
4
5
6
7
16
17
19
EFFECTIF
3
1
1
1
1
2
1
2
GROUPE 2
NOTE
8
9
10
11
12
EFFECTIF
3
3
2
1
3
Pour comparer ces deux groupes, le professeur peut faire la moyenne arithmétique des
notes, mais on voit bien que dans ce cas même si les moyennes sont identiques, elles ne
tiennent pas compte de la dispersion des notes qui est très différente dans les deux groupes.
Pour exprimer cette dispersion il peut calculer la médiane qui est la note qui divise l'effectif en
deux.
Ainsi dans le groupe 1, 6 élèves sur 12 ont moins de ... alors que dans le groupe 2,
50% des élèves ont plus (ou moins ) de ..... Toutefois on voit bien ici que dans le groupe 1 il
aurait suffi que l'élève qui a 7 ait 15 pour changer de façon très nette la médiane sans changer
de beaucoup la moyenne.
II) LES VALEURS DE DISPERSION
Pour exprimer la dispersion des valeurs d'une série on peut calculer les valeurs du
caractère qui partagent l'effectif total de la série en n groupes égaux, appelés quantiles d'ordre
n
- les quartiles sont les valeurs de la variable qui permettent de partager l'effectif en 4 il en
existe donc 3 quartiles ( Q1, Q2, Q3 ) et quatre intervalles. Ainsi le prof peut présenter ces
résultats de la façon suivante. Le premier quart du groupe 1 a une note inférieure à ...le
deuxième quart a une note inférieure à .... etc..Le deuxième quartile est égal à la médiane
- Les déciles sont les valeurs qui partagent l'effectif en 10 ( il en existe donc 9). On pourra
ainsi dire par exemple que 10 % de l'effectif est situé sous le premier décile etc... On calcule
parfois le rapport interdécile ( D9 / D1) qui permet d'exprimer le rapport entre les 10 % qui
possèdent les valeurs du caractère les plus fortes et les 10 % qui possèdent les plus faibles (ce
type de rapport est souvent utilisé pour rendre compte des inégalités salariales ou de revenus)
Le cinquième décile est égal à la médiane

- L'écart type permet d'exprimer de façon synthétique la dispersion de la série. Il est égal à la
racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés des écarts à la moyenne. Plus il est élevé
plus la série est dispersée.
moyenne
écart type
médiane
1er quartile
2eme quartile
3eme quartile
groupe 1
groupe 2
Le prof peut alors présenter ses résultats de la façon suivante " Le groupe 1 et 2 ont des
moyennes très proches mais les niveaux sont pourtant fort disparates , en effet les notes sont
beaucoup plus dispersées dans le groupe 1 puisqu' un quart des élèves ont en dessous de ..., la
moitié est en dessous de ...., et que le dernier quart a plus de ..... Dans le groupe 2 les notes
vont de .... à ..... la moitié des élèves ayant au dessus de ..... En moyenne, les écarts à la
moyenne sont de ....dans le groupe 1 et de .... dans le groupe 2."
- La mesure de la pauvreté : on distingue la pauvreté absolue, mesurée par l’évolution du
niveau des plus faibles revenus et la pauvreté absolue, l’évolution des revenus des plus
pauvres par rapport aux plus riches. Attention dans le principe de Rawls, une inégalité
peut être juste par ce qu’elle réduit la pauvreté absolue alors qu’elle peut amener à
l’augmentation de la pauvreté relative. Le seuil de pauvreté est alors mesuré comme étant
situé en dessous de la moitié du revenu médiant.
III) LA MESURE DE LA CONCENTRATION
Pour étudier certains phénomènes comme la concentration industrielle ou la
concentration des revenus, on peut mesurer cette concentration. Ainsi lorsque un petit nombre
d'entreprise réalisent un grand pourcentage du chiffre d'affaires d'un secteur, ou qu'un faible
pourcentage d'individus perçoive un % élevé du total des revenus on dira que la concentration
des salaires ou des revenus est forte. Pour cela il est nécessaire que l'addition des modalités du
caractère est un sens et que le partage de la masse totale du caractère soit possible. Dans notre
exemple l'addition des notes détenues ou le partage de l'ensemble des points distribués par
certains élèves aurait peu de sens.
ENTREPRISE A
SALAIRES
EFFECTIF
EFFECTI
F
CUMULE
%
CUMULE
DES
EFFECTIFS
MASSE
SALARIALE
MASSE
SALARIALE
CUMULEE
% CUMULES
DE LA MASSE
SALARIALE
5 000
500
8 000
300
10 000
150
20 000
50
Entreprise B
Salaires
effectif
effectif
cumule
% cumulé
des effectifs
masse salariale
Mass sal
cumulee
% cumulés
de la masse
salariale
6 000
400
9 000
300
11 000
200
15 000
100
Tracez sur un même graphique la courbe de Lorenz, concernant la répartition des salaires dans
ces deux entreprises. Dans laquelle les salaires sont ils le plus concentrés ?( Plus la courbe est
éloignée de la diagonale, plus la concentration est grande, en effet sur la diagonale il y a équi-
répartition, 10 % des salariés touchent 10 % de la masse salariale, 20 % touchent 20 %..)