exo_loi_exp02n

EXERCICE N°2
(10 points)
4
On considère l’équation différentielle : ( E ) 10 y ' 3 y  0
où y est une fonction de la variable t, définie et dérivable sur
.
1) a) Résoudre l’équation différentielle ( E ).
b) Déterminer la solution particulière f de ( E ) telle que f ( 0 ) = 1.
2) On désigne par T la variable aléatoire qui mesure, en heures, la durée de fonctionnement sans
panne d’un appareil ménager.
On admet que pour tout réel t positif ou nul, la probabilité pour que T soit supérieur à t est
donnée par f  t  , c’est à dire que :
 0,0003t
P ( T  t) = e
.
a) Donner la moyenne des temps de bon fonctionnement ( M T B F ).
(on donnera le résultat sous sa forme arrondie à l’unité près)
3
b) Calculer à 10 près la probabilité pour que l’appareil ménager tombe en panne avant 200
heures d’utilisation.
1
c) Calculer l’instant t où la fiabilité est égale à 2 , c’est-à-dire l’instant t où on a P ( T  t ) = 0,5.
On donnera le résultat sous sa forme arrondie à l’heure près.
Comment peut-on interpréter ce résultat ?
Correction
Exercice II
1)a)
La solution générale de (E) est donc :
 3 
 
 t
 104 

y  k e
 k  e
où k est une constante réelle quelconque.
1)b)
0,0003 t
Pour t = 0, y = k donc k = 1. L’unique solution cherchée est donc la
fonction définie par
f (t ) = e(
- 0,0003 t )
2)a)
2)b)
2)c)
2
La MTBF est
.
1
, avec ici  = 0,0003 . La MTBF est donc égale à

c’est-à-dire à 3333 pour sa valeur arrondire à l’unité près.
La valeur demandée est 1 - f (200) = 1 - e - 0,0003´ 200 = 0,058.
e(
- 0,0003 t )
=
1
10000
,
3
1
ln2
Û t=
= 2310 (valeur décimale arrondie à l’heure près).
2
0,0003
La probabilité pour que l’appareil soit encore en marche au bout de 2310
heures est égale à 0,5.
2
2
3