EXERCICE N°2 (10 points) 4 On considère l’équation différentielle : ( E ) 10 y ' 3 y 0 où y est une fonction de la variable t, définie et dérivable sur . 1) a) Résoudre l’équation différentielle ( E ). b) Déterminer la solution particulière f de ( E ) telle que f ( 0 ) = 1. 2) On désigne par T la variable aléatoire qui mesure, en heures, la durée de fonctionnement sans panne d’un appareil ménager. On admet que pour tout réel t positif ou nul, la probabilité pour que T soit supérieur à t est donnée par f t , c’est à dire que : 0,0003t P ( T t) = e . a) Donner la moyenne des temps de bon fonctionnement ( M T B F ). (on donnera le résultat sous sa forme arrondie à l’unité près) 3 b) Calculer à 10 près la probabilité pour que l’appareil ménager tombe en panne avant 200 heures d’utilisation. 1 c) Calculer l’instant t où la fiabilité est égale à 2 , c’est-à-dire l’instant t où on a P ( T t ) = 0,5. On donnera le résultat sous sa forme arrondie à l’heure près. Comment peut-on interpréter ce résultat ? Correction Exercice II 1)a) La solution générale de (E) est donc : 3 t 104 y k e k e où k est une constante réelle quelconque. 1)b) 0,0003 t Pour t = 0, y = k donc k = 1. L’unique solution cherchée est donc la fonction définie par f (t ) = e( - 0,0003 t ) 2)a) 2)b) 2)c) 2 La MTBF est . 1 , avec ici = 0,0003 . La MTBF est donc égale à c’est-à-dire à 3333 pour sa valeur arrondire à l’unité près. La valeur demandée est 1 - f (200) = 1 - e - 0,0003´ 200 = 0,058. e( - 0,0003 t ) = 1 10000 , 3 1 ln2 Û t= = 2310 (valeur décimale arrondie à l’heure près). 2 0,0003 La probabilité pour que l’appareil soit encore en marche au bout de 2310 heures est égale à 0,5. 2 2 3