exo_loi_exp02n

EXERCICE N°2 (10 points)
On considère l’équation différentielle : ( E )
4
10 ' 3 0yy
où y est une fonction de la variable t, définie et dérivable sur .
1) a) Résoudre l’équation différentielle ( E ).
b) Déterminer la solution particulière f de ( E ) telle que f ( 0 ) = 1.
2) On désigne par T la variable aléatoire qui mesure, en heures, la durée de fonctionnement sans
panne d’un appareil ménager.
On admet que pour tout réel t positif ou nul, la probabilité pour que T soit supérieur à t est
donnée par
,ft
c’est à dire que :
P ( T  t) =
0,0003
et
.
a) Donner la moyenne des temps de bon fonctionnement ( M T B F ).
(on donnera le résultat sous sa forme arrondie à l’unité près)
b) Calculer à
3
10
près la probabilité pour que l’appareil ménager tombe en panne avant 200
heures d’utilisation.
c) Calculer l’instant t où la fiabilité est égale à
1
2
, c’est-à-dire l’instant t où on a P ( T  t ) = 0,5.
On donnera le résultat sous sa forme arrondie à l’heure près.
Comment peut-on interpréter ce résultat ?
Correction
Exercice II
1)a)
La solution générale de (E) est donc :
340,0003
10
e e
où est une constante réelle quelconque.
tt
y k k
k
2
1)b)
Pour t = 0, y = k donc k = 1. L’unique solution cherchée est donc la
fonction définie par
( )
( )
0,0003
e .
t
ft - =
1
2)a)
La MTBF est
1
, avec ici
0,0003=
. La MTBF est donc égale à
10000
3
,
c’est-à-dire à 3333 pour sa valeur arrondire à l’unité près.
2
2)b)
La valeur demandée est
( )
0,0003 200
1 200 1 e 0,058.f-´ - = - =
2
2)c)
( )
0,0003 1 ln2
e 2310
2 0,0003
tt -= Û = =
(valeur décimale arrondie à l’heure près).
La probabilité pour que l’appareil soit encore en marche au bout de 2310
heures est égale à 0,5.
3